From 3835102a7076f4994f5bede82c1c243c1f1813c8 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: vobolgus <130167730+vobolgus@users.noreply.github.com> Date: Sun, 3 Nov 2024 14:10:51 +0200 Subject: [PATCH] updates to maxwell --- sections/physics/maxwell.tex | 42 ++++++++++++++++++++++++++++++++---- 1 file changed, 38 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/sections/physics/maxwell.tex b/sections/physics/maxwell.tex index a6c9fe5..91591e4 100644 --- a/sections/physics/maxwell.tex +++ b/sections/physics/maxwell.tex @@ -41,7 +41,7 @@ \subsection{Распределение Максвелла} \end{equation*} Продифференцируем уравнение \eqref{eq:ln-maxwll} по переменной $v_x$: \begin{equation*} -\frac{f^{\prime}(v)}{\int(v)} \frac{\partial v}{\partial v_x}=\frac{\varphi^{\prime}\left(v_x\right)}{\varphi\left(v_x\right)} +\frac{f^{\prime}(v)}{f(v)} \frac{\partial v}{\partial v_x}=\frac{\varphi^{\prime}\left(v_x\right)}{\varphi\left(v_x\right)} \end{equation*} Так как \begin{equation*} @@ -87,7 +87,7 @@ \subsection{Распределение Максвелла} \end{equation*} Эта величина должна быть равна $3 k T / 2$, откуда находим, что $\alpha=m /(2 k T)$. -Итак, в однородном по пространству идеальном газе со средней плотностью $n$ в равновесном состоянии число молекул, обладающих скоростями в интервале +Итак, в однородном по пространству идеальном газе со средней концентрацией $n$ в равновесном состоянии число молекул, обладающих скоростями в интервале \begin{equation*} (v_x \div v_x+d v_x), \quad (v_y \div v_y+d v_y), \quad (v_z \div v_z+d v_z) \end{equation*} @@ -111,14 +111,48 @@ \subsubsection{Распределение по энергиям} \subsubsection{Средние значения} \begin{enumerate} - \item $\overline{\mathbf{v}}=0$~--- все направления скорости равновероятны); + \item $\overline{\mathbf{v}}=0$~--- все направления скорости равновероятны; \item $v_{\text {с.к. }}=\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\int_0^{\infty} v^2 \Phi(v) d v}=\sqrt{3 k T / m}$~--- средняя квадратичная скорость; \item $\bar{v}=\int_0^{\infty} v \Phi(v) d v=\sqrt{\frac{8 k T}{\pi m}}$~--- средняя скорость; \item $\bar{\varepsilon}=\frac{1}{n} \int_{\varepsilon=0}^{\varepsilon=\infty} \varepsilon d n(\varepsilon)=\frac{3}{2} k T$~--- средняя энергия. \end{enumerate} \subsubsection*{Среднее число ударов молекул о стенку} -Рассмотрим столкновения молекул газа с неподвижной стенкой. Выделим группу молекул, имеющих скорость $v$. Плотность этих молекул обозначим $d n(v)$. Вследствие изотропии газа в телесный угол $d \Omega=2 \pi \sin \theta d \theta$ летит доля молекул, равная $d \Omega / 4 \pi$. Соответственно плотность этих молекул равна $dn(v) d \Omega / 4 \pi$. За время $dt$ до поверхности долетят молекулы, удаленные от нее на расстояние $v_z d t$, где $v_z=v \cos \theta$. Bceго в площадку $d S$ попадут молекулы, находящиеся в цилиндре объемом $v_z d t d S$, содержащем $v_z d t d S d n(v) d \Omega /(4 \pi)$ молекул выделенной группы. Суммируя результат по всем допустимым углам $\theta \in (0, \nicefrac{\pi}{2})$ и скоростям $v \in (0, \infty)$ и деля результат на $d t d S$, получаем + +\begin{wrapfigure}[9]{r}{0.35\tw} + \centering + \vspace{-1pc} + \tikzsetnextfilename{mean-particles} + \begin{tikzpicture}[] + + \tkzDefPoint(0, 0){A} + \tkzDefPoint(0, 2){B} + \tkzDefPoint(3, 1){C} + \tkzDefPoint(3, -1){D} + \tkzDefPoint(1.5, 0.5){O} + \tkzDefPoint(-0.5, 0.5){V} + \tkzDefPoint(1.5, 1){dV1} + \tkzDefPoint(1.5, 1.2){dV2} + + + \foreach \r in {0.5,0.7} { + \tkzDefShiftPoint[O](\r,0){r} + \tkzDrawCircle[gray!40, line width=0.4pt](O,r) + } + + \tkzDrawSegments[](A,B B,C C,D D,A) + \tkzDrawSegments[-latex](V,O V,dV1 V,dV2) + \tkzLabelSegments[below, font=\scriptsize](O,V){$\vec{v}_z$} + \tkzLabelSegments[above, font=\scriptsize](V,dV2){$\vec{v}$} + + \tkzMarkAngle[size=0.8, arc=l, mksize=2pt](O,V,dV1) + \tkzLabelAngle[font=\scriptsize, pos=1.05](O,V,dV1){$\theta$} + + \end{tikzpicture} + \caption{Столкновение частиц со стенкой} + \label{pic:mean-particles} +\end{wrapfigure} +Рассмотрим столкновения молекул газа с неподвижной стенкой \picRef{pic:mean-particles}. Выделим группу молекул, имеющих скорость $v$. Концентрацию этих молекул обозначим $d n(v)$. Телесный угол сферической шапки $\Omega = 2 \pi (1 - \cos \theta)$, вследствие изотропии газа в телесный угол $d \Omega=2 \pi \sin \theta d \theta$ летит доля молекул, равная $d \Omega / 4 \pi$. Соответственно плотность этих молекул равна $dn(v) d \Omega / 4 \pi$. За время $dt$ до поверхности долетят молекулы, удаленные от нее на расстояние $v_z d t$, где $v_z=v \cos \theta$. Bceго в площадку $d S$ попадут молекулы, находящиеся в цилиндре объемом $v_z d t d S$, содержащем $v_z d t d S d n(v) d \Omega /(4 \pi)$ молекул выделенной группы. Суммируя результат по всем допустимым углам $\theta \in (0, \nicefrac{\pi}{2})$ и скоростям $v \in (0, \infty)$ и деля результат на $d t d S$, получаем \begin{equation} j=\int d n(v) v \cos \theta \frac{d \Omega}{4 \pi}=n \underbrace{\int_0^{\infty} v \Phi(v) \, d v}_{\text{средняя скорость}} \times \frac{1}{4 \pi} \int_0^{\pi / 2} \cos \theta \cdot 2 \pi \sin \theta d \theta=\frac{1}{4} n \bar{v} . \label{eq:mean-count-mxwl}