diff --git a/astro-notebook.tex b/astro-notebook.tex index 489e6e2..883ee00 100644 --- a/astro-notebook.tex +++ b/astro-notebook.tex @@ -42,7 +42,7 @@ \input{sys/optics} \input{sys/spherical-astronomy} \input{sys/objects} - \input{sys/magnetism} + \input{sys/physics} \input{sys/maths} \input{sys/practical-astronomy} \input{sys/tables} diff --git a/sections/astrophysics/light-pressure.tex b/sections/astrophysics/light-pressure.tex index d91279f..7f4b32e 100644 --- a/sections/astrophysics/light-pressure.tex +++ b/sections/astrophysics/light-pressure.tex @@ -5,10 +5,26 @@ \subsection{Давление излучения} \end{equation} здесь $I$~--- поток падающего излучения, $c$~--- скорость света, $k$~--- коэффициент пропускания, $A$~--- коэффициент отражения, а $\beta$~--- угол падения излучения. +\term{Плотность энергии фотонного газа} — величина, отражающая количество энергии излучения в некотором объёме пространства. Рассмотрим пробную площадку $dS$ в пространстве с фотонным газом. В одну сторону за время $dt$ она излучает исходя из закона Стефана-Больцмана \eqref{eq:steff-bol-law}: +\begin{equation*} + d E=\sigma T^4 d t +\end{equation*} +С другой стороны количество частиц столкнувшихся с площадкой находящейся в идеальном газе за время $dt$ задаётся формулой \eqref{eq:mean-count-mxwl}: +\begin{equation*} +d N=\frac{1}{4} n \cdot\langle v\rangle \, d t=\frac{1}{4} n c \, d t +\end{equation*} +Если $d E=d N \cdot E_0$, где $E_0$~--- энергия одного фотона, а с другой стороны $d E=\sigma T^4 d t$, то: +\begin{equation*} +\sigma T^4=\frac{1}{4} n c E_0 \rightarrow E_0=\frac{4 \sigma T^4}{c n} +\end{equation*} +Таким образом плотность энергии: +\begin{equation} + u=\frac{d W}{d V}=\frac{n \cdot E_0 d V}{d V}=\frac{4 \sigma T^4}{c}, +\end{equation} +где $dW$~--- полная энергия в некотором объеме $dV$. + \term{Давление фотонного газа} определяется соотношением \begin{equation} p_\text{ф.г.} = \frac{u}{3} = \frac{4 \sigma T^4}{3c}, \end{equation} -где $u$~--- плотность энергии фотонного газа, $T$~--- температура фотонного газа. - Возможными областями применения являются солнечный парус, а в отдалённом будущем~--- фотонный двигатель. diff --git a/sections/astrophysics/steph-bol-law.tex b/sections/astrophysics/steph-bol-law.tex index 572185c..ada8aea 100755 --- a/sections/astrophysics/steph-bol-law.tex +++ b/sections/astrophysics/steph-bol-law.tex @@ -22,13 +22,12 @@ \subsection{Закон Стефана-Больцмана} Важно отметить, что \imp{закон Стефана-Больцмана}~--- прямое следствие формулы Планка (\ref{eq:plancks-law-nu} -- \ref{eq:plancks-law-lambda}), так как, исходя из физического смысла формулы Планка, справедливы равенства \begin{multline} \sigma T^4 - = \int\limits^\infty_0 B(\lambda, T) \,d \lambda \int\limits_0^{\pi/2} \sin \varphi \,d \varphi \int\limits_0^{2\pi} \cos \varphi \,d \theta - = \pi \int\limits^\infty_0 B(\lambda, T) \,d \lambda =\\ - = \int\limits^\infty_0 B(\nu, T) \,d \nu \int\limits_0^{\pi/2} \sin \varphi \,d \varphi \int\limits_0^{2\pi} \cos \varphi \,d \theta + = \int\limits^\infty_0 B(\lambda, T) \,d \lambda \int \cos \theta \, d \Omega = \int\limits^\infty_0 B(\lambda, T) \,d \lambda \int\limits_0^{2 \pi} \, d \varphi \int\limits_0^{\pi / 2} \cos \theta \sin \theta \, d \theta = \\ + = \pi \int\limits^\infty_0 B(\lambda, T) \,d \lambda = \pi \int\limits^\infty_0 B(\nu, T) \,d \nu. \end{multline} -Здесь интегрирование ведется в сферических координатах $(\varphi, \theta)$ по телесному углу $d\Omega = d\varphi \cos \varphi d\theta$. А $\sin \varphi$ во втором интеграле отвечает за проекцию единичной площадки на направление излучения. Вычислим данный интеграл, чтобы получить значение постоянной Стефана-Больцмана: +Здесь интегрирование ведется в сферических координатах $(\varphi, \theta)$ по телесному углу $d\Omega = \sin \theta \, d\theta \, d\varphi$. Вычислим данный интеграл, чтобы получить значение постоянной Стефана-Больцмана: \begin{equation*} \sigma T^4 = \pi \int\limits_0^{\infty} \frac{2h\nu^3}{c^2}\cdot \frac{1}{\exp\left(\frac{h\nu}{kT}\right)-1} \,d \nu. \end{equation*} diff --git a/sections/magnetism/connection.tex b/sections/physics/connection.tex similarity index 100% rename from sections/magnetism/connection.tex rename to sections/physics/connection.tex diff --git a/sections/magnetism/induction.tex b/sections/physics/induction.tex similarity index 100% rename from sections/magnetism/induction.tex rename to sections/physics/induction.tex diff --git a/sections/magnetism/lorenz-amp.tex b/sections/physics/lorenz-amp.tex similarity index 100% rename from sections/magnetism/lorenz-amp.tex rename to sections/physics/lorenz-amp.tex diff --git a/sections/physics/maxwell.tex b/sections/physics/maxwell.tex new file mode 100644 index 0000000..a6c9fe5 --- /dev/null +++ b/sections/physics/maxwell.tex @@ -0,0 +1,127 @@ +\subsection{Распределение Максвелла} + +Рассмотрим газ в некотором объеме, причем движение отдельных его частиц имеет совершен­но хаотический характер. Это означает, что все направления скоростей частиц в любом элементе объ­ема газа равновероятны. +Пусть число молекул в единице объема, имеющих скорости в диапазоне +\begin{equation*} + (v_x \div v_x+d v_x), (v_y \div v_y+d v_y), (v_z \div v_z+d z_z), +\end{equation*} +или же иначе в элементе объема пространства скоростей $d^3 v=d v_x d v_y d v_z$, равно +\begin{equation*} + d n_{\mathrm{v}}=n f(v) d^3 v. +\end{equation*} +Где $n$ — концентрация частиц, а $f(v)$ — некоторая функция распределения. +Представим вероятность того, что $x$-компонента скорости имеет значение в интервале $[v_x \div v_x+d v_x]$, как +\begin{equation*} + d W\left(v_x\right)=\varphi\left(v_x\right) d v_x +\end{equation*} +Вследствие изотропности газа аналогичные распределения вероятностей должны быть и для других компонент скорости: +\begin{equation*} + d W\left(v_y\right)=\varphi\left(v_y\right) d v_y, \quad d W\left(v_z\right)=\varphi\left(v_z\right) d v_z +\end{equation*} +Предполагая, что компоненты $\left\{v_x, v_y, v_z\right\}$ — независимые случайные величины, запишем вероятность некоторого значения вектора скорости $\vec{v}$: +\begin{equation*} + d W\left(v_x, v_y, v_z\right)=\varphi\left(v_x\right) \varphi\left(v_y\right) \varphi\left(v_z\right) d v_x d v_y d v_z +\end{equation*} +С другой стороны, +\begin{equation*} + d W\left(v_x, v_y, v_z\right)=\frac{d n_v}{n}=f(v) d v_x d v_y d v_z +\end{equation*} +Таким образом, получаем +\begin{equation*} + f(v)=\varphi\left(v_x\right) \varphi\left(v_y\right) \varphi\left(v_z\right) +\end{equation*} +или +\begin{equation} +\ln f(v)=\ln \varphi\left(v_x\right)+\ln \varphi\left(v_y\right)+\ln \varphi\left(v_z\right) +\label{eq:ln-maxwll} +\end{equation} +Это функциональное уравнение должно решаться совместно с уравнением +\begin{equation*} +v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2 +\end{equation*} +Продифференцируем уравнение \eqref{eq:ln-maxwll} по переменной $v_x$: +\begin{equation*} +\frac{f^{\prime}(v)}{\int(v)} \frac{\partial v}{\partial v_x}=\frac{\varphi^{\prime}\left(v_x\right)}{\varphi\left(v_x\right)} +\end{equation*} +Так как +\begin{equation*} +\frac{\partial v}{\partial v_x}=\frac{\partial}{\partial v_x} \sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}=\frac{v_x}{v}, +\end{equation*} +то +\begin{equation*} +\frac{1}{v} \frac{f^{\prime}(v)}{f(v)}=\frac{1}{v_x} \frac{\varphi^{\prime}\left(v_x\right)}{\varphi\left(v_x\right)} +\end{equation*} +Правая часть этого равенства не зависит от $v_y$ и $v_z$, тогда как левая часть содержит эти переменные. Следовательно, обе стороны равенства должны быть постоянными: +\begin{equation*} + \frac{1}{v_x} \frac{\varphi^{\prime}\left(v_x\right)}{\varphi\left(v_x\right)}=-2 \alpha \quad \Rightarrow \quad \varphi\left(v_x\right)=A \exp \left(-\alpha v_x^2\right). +\end{equation*} +Аналогично находим +\begin{gather*} +\varphi\left(v_y\right)=A \exp \left(-\alpha v_y^2\right), \varphi\left(v_z\right)=A \exp \left(-\alpha v_z^2\right), \\ +f(v)=\varphi\left(v_x\right) \varphi\left(v_y\right) \varphi\left(v_z\right)=A^3 \exp \left(-\alpha v^2\right) +\end{gather*} +В результате для $d n_{\mathrm{v}}$ получаем выражение +\begin{equation*} +d n_{\mathrm{v}}=n A^3 \exp \left(-\alpha v^2\right) d^3 v +\end{equation*} +Константа $A$ определяется из условия нормировки +\begin{equation*} +\int d n_v=n \int f(v) d^3 v=n +\end{equation*} +откуда следует, что $A=\sqrt{\alpha / \pi}$. +Таким образом, находим для одной компоненты скорости: +\begin{equation*} +d W\left(v_x\right)=\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}} e^{-\alpha v_x^2} d v_x, +\end{equation*} +и для вектора скорости: +\begin{equation*} +d n_v=n\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^{3 / 2} e^{-\alpha v^2} d^3 v +\end{equation*} +Для выяснения смысла параметра $\alpha$ найдем среднюю кинетическую энергию молекул: +\begin{equation*} +\bar{\varepsilon}_{\text{кин}}=\frac{\overline{m v^2}}{2}=\frac{1}{n} \int \frac{m v^2}{2} n\left(\frac{a}{\pi}\right)^{3 / 2} e^{-\alpha v^2} d^3 v +\end{equation*} +Заменяя под знаком интеграла $d^3 v \rightarrow 4 \pi v^2 d v$, получим +\begin{equation*} +\bar{\varepsilon}_{\text{кин}}=\frac{1}{n} \int_0^{\infty} \frac{m v^2}{2} n\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^{3 / 2} e^{-\alpha v^2} 4 \pi v^2 d v=\frac{3 m}{4 \alpha} +\end{equation*} +Эта величина должна быть равна $3 k T / 2$, откуда находим, что $\alpha=m /(2 k T)$. + +Итак, в однородном по пространству идеальном газе со средней плотностью $n$ в равновесном состоянии число молекул, обладающих скоростями в интервале +\begin{equation*} +(v_x \div v_x+d v_x), \quad (v_y \div v_y+d v_y), \quad (v_z \div v_z+d v_z) +\end{equation*} +определяется распределением Максвелла +\begin{equation} +d n_{\vec{v}}=n\left(\frac{m}{2 \pi K T}\right)^{3 / 2} \exp \left(-\frac{m v^2}{2 k T}\right) d^3 v +\end{equation} + +\subsubsection{Распределение по модулю скорости} +Для того чтобы определить распределение по модулю скорости, от единичных клеток можно перейти с сферическим слоям радиуса $v, \, dv^3 \rightarrow 4 \pi v^2 \, dv$, таким образом в данном элементе пространства будут находиться все векторы данного модуля $v$ +\begin{gather} +\nonumber d n(v)=n \Phi(v) d v,\\ +\Phi(v)=4 \pi v^2 f(v)=4 \pi\left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{3 / 2} v^2 \exp \left(-\frac{m v^2}{2 k T}\right). +\end{gather} + +\subsubsection{Распределение по энергиям} +Распределение по энергиям. В некоторых случаях удобно перейти от распределения частиц по скоростям к распределению по кинетическим энергиям. Производя в распределении Максвелла по величине скорости замену $v=\sqrt{2 \varepsilon / m}$ и $d v=d \varepsilon / \sqrt{2 m \varepsilon}$, находим: +\begin{equation} +d n(\varepsilon)=n F(\varepsilon) d \varepsilon, \quad F(\varepsilon)=\frac{2}{\sqrt{\pi(k T)^3}} \exp \left(-\frac{\varepsilon}{k T}\right) \sqrt{\varepsilon}. +\end{equation} + +\subsubsection{Средние значения} +\begin{enumerate} + \item $\overline{\mathbf{v}}=0$~--- все направления скорости равновероятны); + \item $v_{\text {с.к. }}=\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\int_0^{\infty} v^2 \Phi(v) d v}=\sqrt{3 k T / m}$~--- средняя квадратичная скорость; + \item $\bar{v}=\int_0^{\infty} v \Phi(v) d v=\sqrt{\frac{8 k T}{\pi m}}$~--- средняя скорость; + \item $\bar{\varepsilon}=\frac{1}{n} \int_{\varepsilon=0}^{\varepsilon=\infty} \varepsilon d n(\varepsilon)=\frac{3}{2} k T$~--- средняя энергия. +\end{enumerate} + +\subsubsection*{Среднее число ударов молекул о стенку} +Рассмотрим столкновения молекул газа с неподвижной стенкой. Выделим группу молекул, имеющих скорость $v$. Плотность этих молекул обозначим $d n(v)$. Вследствие изотропии газа в телесный угол $d \Omega=2 \pi \sin \theta d \theta$ летит доля молекул, равная $d \Omega / 4 \pi$. Соответственно плотность этих молекул равна $dn(v) d \Omega / 4 \pi$. За время $dt$ до поверхности долетят молекулы, удаленные от нее на расстояние $v_z d t$, где $v_z=v \cos \theta$. Bceго в площадку $d S$ попадут молекулы, находящиеся в цилиндре объемом $v_z d t d S$, содержащем $v_z d t d S d n(v) d \Omega /(4 \pi)$ молекул выделенной группы. Суммируя результат по всем допустимым углам $\theta \in (0, \nicefrac{\pi}{2})$ и скоростям $v \in (0, \infty)$ и деля результат на $d t d S$, получаем +\begin{equation} +j=\int d n(v) v \cos \theta \frac{d \Omega}{4 \pi}=n \underbrace{\int_0^{\infty} v \Phi(v) \, d v}_{\text{средняя скорость}} \times \frac{1}{4 \pi} \int_0^{\pi / 2} \cos \theta \cdot 2 \pi \sin \theta d \theta=\frac{1}{4} n \bar{v} . +\label{eq:mean-count-mxwl} +\end{equation} +Величина $j$ представляет собой плотность потока частиц газа, т. е. число частиц, пересекающих единичную площадку в одну сторону в единицу времени, $[j]= \text{частиц}/\left(\text{см}^2 \cdot \text{c}\right)$. + diff --git a/sections/astrophysics/mkt.tex b/sections/physics/mkt.tex similarity index 100% rename from sections/astrophysics/mkt.tex rename to sections/physics/mkt.tex diff --git a/style/astro-notebook.maths.sty b/style/astro-notebook.maths.sty index a57a0e5..2cf0407 100644 --- a/style/astro-notebook.maths.sty +++ b/style/astro-notebook.maths.sty @@ -7,6 +7,7 @@ \RequirePackage{mathtools} \RequirePackage{upgreek} \RequirePackage{xfrac} +\RequirePackage{nicefrac} % Математические команды \renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} diff --git a/sys/astrophysics.tex b/sys/astrophysics.tex index 7cbb190..781f15e 100644 --- a/sys/astrophysics.tex +++ b/sys/astrophysics.tex @@ -16,7 +16,6 @@ \section{Астрофизика} %\input{sections/astrophysics/spec-theor-rel} \input{sections/astrophysics/optical-thickness} \input{sections/astrophysics/colour} -\input{sections/astrophysics/mkt} \input{sections/astrophysics/earth-atmosphere} \input{sections/astrophysics/optical-atmosphere-effects} \input{sections/astrophysics/pressure-and-temperature} diff --git a/sys/magnetism.tex b/sys/magnetism.tex deleted file mode 100644 index 2658d48..0000000 --- a/sys/magnetism.tex +++ /dev/null @@ -1,5 +0,0 @@ -\newpage -\section{Магнетизм} -\input{sections/magnetism/induction} -\input{sections/magnetism/connection} -\input{sections/magnetism/lorenz-amp} diff --git a/sys/physics.tex b/sys/physics.tex new file mode 100644 index 0000000..0336d76 --- /dev/null +++ b/sys/physics.tex @@ -0,0 +1,7 @@ +\newpage +\section{Общие вопросы физики} +\input{sections/physics/mkt} +\input{sections/physics/maxwell} +\input{sections/physics/induction} +\input{sections/physics/connection} +\input{sections/physics/lorenz-amp}