From 7d3fa08f71308b7f737e35478477b745b8d20e44 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=D0=90=D0=BB=D0=B5=D0=BA=D1=81=D0=B5=D0=B9=20=D0=A8=D0=B5?= =?UTF-8?q?=D0=BF=D0=B5=D0=BB=D0=B5=D0=B2?= Date: Sat, 8 Jun 2024 22:10:33 +0200 Subject: [PATCH] fix plot captions at optic abberations, fix picture refs --- img/astigmatism.pdf | Bin 3818 -> 0 bytes sections/astrophysics/dopp-effect.tex | 2 +- sections/astrophysics/grav-lens.tex | 2 +- .../optical-atmosphere-effects/rainbow.tex | 4 +- sections/celestial-mechanics/ebb-flow.tex | 2 +- .../lagr-points-alternative.tex | 2 +- sections/celestial-mechanics/lagr-points.tex | 4 +- sections/celestial-mechanics/precession.tex | 2 +- sections/conic-sections/ellipse.tex | 2 +- .../parallax-ellipse.tex | 6 +- .../geometrical-astronomy/phase-angle.tex | 2 +- .../geometrical-astronomy/proper-motion.tex | 6 +- sections/maths/line.tex | 2 +- sections/objects/variable-stars.tex | 2 +- sections/optics/aberrations.tex | 241 +++++++++--------- sections/optics/mounts.tex | 2 +- sections/practical-astronomy/arc-radius.tex | 4 +- sections/spherical-astronomy/refrac.tex | 2 +- sections/spherical-astronomy/sun-time.tex | 2 +- 19 files changed, 142 insertions(+), 147 deletions(-) delete mode 100644 img/astigmatism.pdf diff --git a/img/astigmatism.pdf b/img/astigmatism.pdf deleted file mode 100644 index edc12bc29ce00af3a086ba0acf776408429fc66d..0000000000000000000000000000000000000000 GIT binary patch literal 0 HcmV?d00001 literal 3818 zcmd5}84NW`W@WtA*a@9#`Vul;=X{pbCB-t*5nzvp>=&v|aY=lTA$9Lz2C z5Ih-2g{WC63@O{UqZEOjN)P<@=%n zEGn3db}S*E4YtB~3Zw_)Y5Mvwkpf~g{Q(vb476=UIRU~zhzNYJWCsKLz&n^FM9ooO zt{;l&5(xPyD+CwTMsk21VDcQFxE$v=GJcM_i!2TYoc+X~a-05t;`R(jf&VjI|DU*x zU@4j^QIKc^CP7#QFs0c>U^0XShB>1?5M;)V$t;lQpw#{;4bjX^;w6aUz=+$GybJGB zY1X#k9p4WLn;A0MC$A*kxOX$d$o2Ie{IRUUfHL)nHMy&54HxVh3)PM`yo0mQ*~sX7 z=3Z2vvv2DWTeYAyqb^pDI!hSWc*C0$EpO<)DUaAo*A0EZYs+sNFMk%(nX+l8W}m;# zd1G#Ede1T)Z`?AOhq?=*H|@V&f4NsvJaPthZa8UBZaQl3aNWMT$8E5E+m@#$hpD_j ze$`R6PLV;1jp?0zZ`Lo3uy<;&`7N|OvMBddoUXDc8S>w1Un{BY=sovm?h;Oiqf4=( zkKUD~2Ug3em#BQF8e8bP>Yz^h^5@-;WEVsYUbs_Gz1MmYZs3vor?OJa`(95^&jW>Rayi-p1HVb@;cCz4SgaAuQ)|*O)NW|Z-t!gJH&yf? zk1mTpG-^IC_jY%Hf^x*2of;Ed-rO?I?BYj=Gjck0=mSt3fx+bnQI1dmNwW@$V&;Lx zL7+GAxxP-Q5b_{^p67*8EW(6VPC{@JA*}l`F%p9t%;h`rSiY#V`8hD0F!@hi1tOTE zBDOEev@-L;PA#T$k|V86Oo6m9pnh!D=dMBl6-OfzK_g)BxjZQyA<^+Ph(e>{5jp~q zXkPKDGPnVajkaqotgF|V#Hx45Y#MHRYtnvMZ~x)4!teZXGy{zi4 zvT>}!NnB$+>R-uk*HCtUV@XW8>oK}^P<3f!uE2Y3|MrnGd&dUJc=I}mKC?_>svNYz z`}b=X>%(O$y*k4pOp41*U)}UQQ5Ue~%!}Rf2O2s1MVfAB9{LYYP+R!T_18pw9WLL! zmJA6qgBw?D&zRcRa%_o;%TZQ*wS`XZp+TtGpL+(aC$Z=Wl5eM;leMHIB{@~&K662nY{6@v%LD%StLINs+|$>+ zZ0gQx^5!$r*W-$Ij&AznK2i5X)Tk1v@Am%k5PS&b)>)OZt7ik(`fM|9i5Mt4|F)*s zsK7;IcU739YLLd}dp+sn&r!1-JI-D=(;E~qmG^G;%Nc5vO<(_<;qW}^{j$QIyYPy! zFmmMK!9wC{y%Sz%8a}+TjkqN#Uuu%N!nrEJ#M>w6Vt4R-9K|LwN>mE-_6|H}n~2eqx;Cdqs=Y5>R5<$R2ivBA=sI>kFmt~{%xZ(_4A&^wcJ zp3IXR9h6^`GI$`+fWf`)E;}rzb7>;Gu%q|VyRAac+!TlV`o$mL(&JNF?0u~oYBpg3}Xoyn5no?fDx^X&s?mO6z~HA6fZ}Sp7whV!i#!T_G*8 z?MG0jw1btcV(mk>f3>0Rx=KBv_>tRn*U36k@7=OA+^(?^f#H}q!MrfeG)#$sU#xwA zujPBQX`u(Xs&(bPmAA5jqK-Xlb9?xp)!3poPvhOUUWd$08?Wuoj=$5X+;~%dp?d5d_ntM$ZGEY~jLa{- z@7TZiFC$x4#cy*$s$)!YV^ynz)dVNIWH~uk)ey@?8Oc{l;ddeWloP2>Q@Iy=jWU~* z{SWVg65}8xbHCM|lAEdDCwgr8p>hd(b6O*F*yt3M-=kM)#ap6cwWQ}c(yp(dVpt@( z*hbd8H+3W|q%_H((B`oSBKin7BZhO7-^*O>sb+;&1HAJ@X>pVroX8lLilmQpfvZq>JNB3zCAFr3Z z+ZTClzI)E-ki4~aU1g(Y%yRb<>lWOK80T}cAwP-~qx<(hJ)p82QqSLfgeOz5-z(=n zp4pPuF25l0_yrZ@@R*LPo9|+uRW=His@igc@*9d2x)nBBZcK{)IY{QgYk4ENVcguI ziqjjf*X7!4EA2g|>F4HdZr$YJ`TKVv^wqy+PuIU6t^#bjhJrx@khCq^PXOSubPO{AR{o5} z5z_S7A%J;fWCSKITZBzl42CfYTUi339oLWT&qn>U%?*e!5r)Yy9nmL|Ni-dxXND^B zv?>7CrO2Ma60(B10T|W`02ut!$RjwgQD4-WFohCL8xibjHI0F8V}1FI>y>Aipkq9m1@NdsQbqUrw)4Pa%d-1L88 zgf^Q-CQa@AET>PKvgI?4N}5GOh%m_em;WFk)!h0I2t=0> $F$ можно найти как +Найдем теперь величину аберрации сферического зеркала.\linebreak Пусть $R$~--- радиус кривизны зеркала. Рассмотрим луч, идущий параллельно оптической оси зеркала на расстоянии $d$ от неё, \lookPicRef{pic:sphere-aberrations-mirrow}. Он падает на зеркало под углом $\alpha$, где $\sin \alpha = d/R$. В силу закона отражения: угол падения равен углу отражения, то есть угол отражения также равен $\alpha$. Кроме того, угол между нормалью к зеркалу в точке отражения и оптической осью зеркала тоже равен $\alpha$, как вертикальный. Следовательно, треугольник {\slshape центр кривизны зеркала ($C$) -- точка отражения ($A$) -- точка пересечения отраженного луча с оптической осью (F)} является равнобедренным. Значит расстояние $x_F(d)$ от центра зеркала до <<фокуса>> $F$ можно найти как \begin{gather*} x_F(d) = R - \frac{R}{2} \cdot \frac{1}{\cos\alpha} = R - \frac{R}{2\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}} = R - \frac{R}{2\sqrt{1 - \dfrac{d^2}{R^2}}};\\ \left. \frac{x_F(d)}{R} \right|_{d \ll R} \simeq 1 - \frac{1}{2\left(1 - \dfrac{d^2}{2R^2} \right)} \simeq 1 - \frac{1}{2}\left(1 + \dfrac{d^2}{2R^2} \right) = \frac{1}{2} - \dfrac{d^2}{4R^2}. @@ -250,23 +247,23 @@ \subsection{Аберрации в оптике} \tikzsetnextfilename{spherical-aberration-mirrow-result} \begin{tikzpicture} \begin{axis}[ - height = 5cm, - width = 6.5cm, - xlabel = {$d/R$}, - ylabel = {$x(d)/R$}, - extra x ticks = {sqrt(2)/2}, + height = 5cm, + width = 6.5cm, + xlabel = {$d/R$}, + ylabel = {$x(d)/R$}, + xmin = -.05, + xmax = 0.85, + ymin = .15, + ymax = 0.55, extra x tick labels = {$\frac{\sqrt{2}}{2}$}, - xmin = -.05, - xmax = 0.85, - ymin = .15, - ymax = 0.55, + extra x ticks = {sqrt(2)/2}, legend cell align = left, legend style = { - draw = none, - fill = none, - font = \scriptsize, - at = {(axis cs:0, .2)}, anchor=south west, - row sep = .5pc, + draw = none, + fill = none, + font = \scriptsize, + at = {(axis cs:0, .2)}, anchor=south west, + row sep = .5pc, }, ] \addplot[smooth, gray] table[x=d, y=simple] {data/sphere-aberrations-mirrow.txt}; @@ -279,7 +276,7 @@ \subsection{Аберрации в оптике} } \end{axis} \end{tikzpicture} - \caption{} + \caption{График зависимости положения фокуса от расстояния до оптической оси от луча, ей параллельного} \end{wrapfigure} Отсюда получается, что фокус сферического зеркала находится ровно между центром зеркала и центром его кривизны. Однако в силу сферической аберрации возникает ошибка фокусировки порядка $d^2/R^2$, которая размывает изображение. Причём при $d > R/\sqrt{2}$ лучи не <<разворачиваются>>, следовательно, не вносят вклада в изображение, так как приходят на приемник с другой стороны. @@ -396,17 +393,17 @@ \subsection{Аберрации в оптике} \caption{Изображение <<хвоста>> Большой Медведицы, полученное с помощью широкоугольного объектива, страдающего ярко выраженной комой.} \label{pic:optics-aberrations-coma} \end{wrapfigure} -Один из видов аберраций оптических систем~--- аберрация широкого пучка световых лучей, проходящий наклонно к оптической оси системы, как и \imp{сферическая аберрация}, обусловлена неодинаковым преломлением световых лучей различными участками линзовых компонент системы. Кома приводит к нарушению центрированности светового пучка. В результате такой аберрации изображение точки имеет вид несимметричного пятна (см.~Рис.\,\ref{pic:optics-aberrations-coma}), по форме напоминающего запятую (англ. {\itshape comma}). +Один из видов аберраций оптических систем~--- аберрация широкого пучка световых лучей, проходящий наклонно к оптической оси системы, как и \imp{сферическая аберрация}, обусловлена неодинаковым преломлением световых лучей различными участками линзовых компонент системы. Кома приводит к нарушению центрированности светового пучка. В результате такой аберрации изображение точки имеет вид несимметричного пятна (\lookPicRef{pic:optics-aberrations-coma}), по форме напоминающего запятую (англ. {\itshape comma}). \begin{figure}[h] \centering \tikzsetnextfilename{thick-lens} \begin{tikzpicture} \tkzInit[ - xmax=5, - xmin=-2.7, - ymin=-2.5, - ymax=2.5 + xmax = 5, + xmin = -2.7, + ymin = -2.5, + ymax = 2.5 ] \tkzClip @@ -542,11 +539,11 @@ \subsection{Аберрации в оптике} \tkzLabelSegment[right](C',A'){$d$} \end{tikzpicture} - \caption{} + \caption{Схема хода лучей в толстой плосковыпуклой линзе} \label{pic:optical-aberrations-coma1} \end{figure} -Найдем положение фокуса светового пучка, идущего под углом $\alpha$ к оптической оси. Для этого рассмотрим два луча из него, вместе с оптической осью лежащих в одной плоскости, таких, что точки преломления их передней (плоской) поверхностью линзы $A_1$ и $A_2$ лежат на расстоянии $d$ от оптической оси линзы (см.~Рис.\,\ref{pic:optical-aberrations-coma1}). +Найдем положение фокуса светового пучка, идущего под углом $\alpha$ к оптической оси. Для этого рассмотрим два луча из него, вместе с оптической осью лежащих в одной плоскости, таких, что точки преломления их передней (плоской) поверхностью линзы $A_1$ и $A_2$ лежат на расстоянии $d$ от оптической оси линзы (\lookPicRef{pic:optical-aberrations-coma1}). Пусть толщина линзы~--- расстояние вдоль оптической оси от вершины выпуклой поверхности, до центра плоской поверхности $O$, равна $h$. А радиус кривизны выпуклой поверхности равен $R$. Тогда расстояние $l$ от центра кривизны задней (выпуклой) поверхности линзы до точек $A_1$ и $A_2$ можно найти из теоремы Пифагора для треугольника $\triangle COA_{1,2}$: \begin{equation*} @@ -599,7 +596,7 @@ \subsection{Аберрации в оптике} y = y_1 - (x - x_1) \tg \omega_1 = y_2 + (x - x_2) \tg \omega_2. \end{equation*} -Продемонстрируем полученные зависимости (см.~Рис.\,\ref{pic:coma}), при следующих параметрах: $R = 1$, $h = 0.3$, $\alpha = 50^\circ$, $n=1.5$. +Продемонстрируем полученные зависимости (\lookPicRef{pic:coma}), при следующих параметрах: $R = 1$, $h = 0.3$, $\alpha = 50^\circ$, $n=1.5$. \begin{figure}[h] \begin{subcaptionblock}{0.49\tw} @@ -632,7 +629,6 @@ \subsection{Аберрации в оптике} } \end{axis} \end{tikzpicture} -% \caption{} \end{subcaptionblock} \hfill \begin{subcaptionblock}{0.49\tw} @@ -649,11 +645,11 @@ \subsection{Аберрации в оптике} ymax = 1.1, ] \addplot[only marks, mark = o, mark options={scale=0.2, black}] table[x=x, y=y] {data/coma.txt}; + \draw [-latex] (axis cs:1.9,0.95) -- (axis cs:1.79,0.9) node [midway, below right=-3pt] {\footnotesize $\uparrow\!d$}; \end{axis} \end{tikzpicture} -% \caption{} \end{subcaptionblock} - \caption{} + \caption{Графики положения фокуса в зависимости от расстояния до оптической оси от точки падения луча на плоскую поверхность линзы } \label{pic:coma} \end{figure} @@ -663,11 +659,11 @@ \subsection{Аберрации в оптике} Для тонкой линзы выполняется правило, что лучи, проходящие через оптический центр не преломляются. А световые пучки, идущие под различными углами фокусируются на фокальной плоскости, перпендикулярной оптической оси. Отсюда следует, что параллельные пучки, идущие под углом $\alpha$ к оптической оси и проходящие через оптический центр тонкой линзы, фокусируются на расстоянии $F \tg \alpha$ от оптической оси. \begin{figure}[h] - \begin{subcaptionblock}{0.49\tw} + \begin{subcaptionblock}[t]{0.49\tw} \tikzsetnextfilename{distorsion-xy} + \centering \begin{tikzpicture} - \begin{axis} - [ + \begin{axis}[ height = 5cm, width = 6cm, xlabel = {$x$}, @@ -676,65 +672,68 @@ \subsection{Аберрации в оптике} xmax=3.25, ymin=-.2, ymax=1.2, - ] + ] \addplot[only marks, mark = o, mark options={scale=0.2, black}] table[x=x, y=y] {data/distorsion-xy.txt}; + \draw [-latex] (axis cs:2.9,0.0) -- (axis cs:2.85,0.25) node [midway, left] {\footnotesize $\uparrow\!\alpha$}; \end{axis} \end{tikzpicture} - \caption{} + \caption{График зависимости положения фокуса от угла $\alpha$ между оптической осью и лучом} \label{pic:pitzval} \end{subcaptionblock} \hfill - \begin{subcaptionblock}{0.49\tw} + \begin{subcaptionblock}[t]{0.49\tw} \tikzsetnextfilename{distorsion-y} + \centering \begin{tikzpicture} \begin{axis} [ - height = 5cm, - width = 6cm, - xlabel = {$\alpha$}, - ylabel = {$y(\alpha)$}, - xmin = 0, - xmax = 90, - ymin = 0, - ymax = 10, + height = 5cm, + width = 6cm, + xlabel = {$\alpha$}, + ylabel = {$y(\alpha)$}, + xmin = 0, + xmax = 90, + ymin = 0, + ymax = 10, legend cell align = left, legend style = { - draw = none, - fill = none, - font = \scriptsize, - at = {(axis cs:5, 9)}, anchor=north west, + draw = none, + fill = none, + font = \scriptsize, + at = {(axis cs:5, 9)}, anchor=north west, }, ] \addplot[smooth, gray] table[x=alpha, y=tan] {data/distorsion-y.txt}; \addplot[smooth] table[x=alpha, y=y] {data/distorsion-y.txt}; + \legend{ $2R\tg \alpha$, $y(\alpha)$ } \end{axis} \end{tikzpicture} - \caption{} + \caption{График зависимости удаления фокуса от оптической оси в зависимости от угла $\alpha$ между оптической осью и лучом для тонкой и толстой линз} \label{pic:distorsion-y} \end{subcaptionblock} \caption{} \end{figure} -Легко догадаться, что для толстой линзы это не выполняется. На рисунке Рис.\,\ref{pic:pitzval} показаны координаты точек фокусировки бесконечно узких пучков, падающих под углом $\alpha \in [0^\circ, 90^\circ]$ к оптической оси на центр передней поверхности рассмотренной выше плосковыпуклой линзы: ($R = 1$, $h = 0.3$, $n=1.5$, шаг составляет $1^\circ$). Отсюда ясно, что фокальная <<плоскость>> является таковой только в очень узком диапазоне направлений вокруг оптической оси. В остальной области фокальная поверхность является выпуклой в сторону от линзы. +Легко догадаться, что для толстой линзы это не выполняется. На рисунке \picRef{pic:pitzval} показаны координаты точек фокусировки бесконечно узких пучков, падающих под углом $\alpha \in [0^\circ, 90^\circ]$ к оптической оси на центр передней поверхности рассмотренной выше плосковыпуклой линзы: ($R = 1$, $h = 0.3$, $n=1.5$, шаг составляет $1^\circ$). Отсюда ясно, что фокальная <<плоскость>> является таковой только в очень узком диапазоне направлений вокруг оптической оси. В остальной области фокальная поверхность является выпуклой в сторону от линзы. -А на рисунке Рис.\,\ref{pic:distorsion-y} показана зависимость $y$-координаты точки фокуса от угла падения на линзу в сравнение с функцией $F \tg \alpha = 2R \tg \alpha$. Нелинейность данной зависимости от $R \tg \alpha$ проявляется в неравномерности увеличения изображения по полю зрения: чем дальше от центра, тем меньше увеличение. Такой эффект называется \term{дисторсией}, в данном случае~--- \imp{бочкообразной}, от схожести с видом деревянных бочек. Также возможна ситуация, когда $y(\alpha)$ растет быстрее $F \tg \alpha$, тогда дисторсия имеет противоположный знак и называется \imp{подушкообразной} (достаточно вспомнить, как выглядит плотно набитая подушка). +А на рисунке \picRef{pic:distorsion-y} показана зависимость $y$-координаты точки фокуса от угла падения на линзу в сравнение с функцией $F \tg \alpha = 2R \tg \alpha$. Нелинейность данной зависимости от $R \tg \alpha$ проявляется в неравномерности увеличения изображения по полю зрения: чем дальше от центра, тем меньше увеличение. Такой эффект называется \term{дистор\-сией}, в данном случае~--- \imp{бочко\-образной}, от схожести с видом деревянных бочек. Также возможна ситуация, когда $y(\alpha)$ растет быстрее $F \tg \alpha$, тогда дисторсия имеет противоположный знак и называется \imp{подушкообразной} (достаточно вспомнить, как выглядит плотно набитая подушка). \begin{figure}[h] \centering - \begin{subcaptionblock}{0.31\tw} + \begin{subcaptionblock}[t]{0.27\tw} \centering \tikzsetnextfilename{distorsion-flat} \begin{tikzpicture} \begin{axis}[ - height = 4cm, - width = 4cm, - xmin = -1.25, - xmax = 1.25, - ymin = -1.25, - ymax = 1.25, + height = 4cm, + width = 4cm, + xmin = -1.25, + xmax = 1.25, + ymin = -1.25, + ymax = 1.25, hide axis ] \addplot[only marks, mark = o, mark options={scale=0.2, black}] table[x=x, y=y] {data/distorsion-types.txt}; @@ -744,17 +743,17 @@ \subsection{Аберрации в оптике} \label{pic:distorsion-flat} \end{subcaptionblock} \hfill - \begin{subcaptionblock}{0.31\tw} + \begin{subcaptionblock}[t]{0.3\tw} \centering \tikzsetnextfilename{distorsion-barrel} \begin{tikzpicture} \begin{axis}[ - height = 4cm, - width = 4cm, - xmin = -1.25, - xmax = 1.25, - ymin = -1.25, - ymax = 1.25, + height = 4cm, + width = 4cm, + xmin = -1.25, + xmax = 1.25, + ymin = -1.25, + ymax = 1.25, hide axis ] \addplot[only marks, mark = o, mark options={scale=0.2, black}] table[x=x_barrel, y=y_barrel] {data/distorsion-types.txt}; @@ -764,17 +763,17 @@ \subsection{Аберрации в оптике} \label{pic:distorsion-barrel} \end{subcaptionblock} \hfill - \begin{subcaptionblock}{0.31\tw} + \begin{subcaptionblock}[t]{0.33\tw} \centering \tikzsetnextfilename{distorsion-pillow} \begin{tikzpicture} \begin{axis}[ - height = 4cm, - width = 4cm, - xmin = -1.25, - xmax = 1.25, - ymin = -1.25, - ymax = 1.25, + height = 4cm, + width = 4cm, + xmin = -1.25, + xmax = 1.25, + ymin = -1.25, + ymax = 1.25, hide axis ] \addplot[only marks, mark = o, mark options={scale=0.2, black}] table[x=x_pillow, y=y_pillow] {data/distorsion-types.txt}; diff --git a/sections/optics/mounts.tex b/sections/optics/mounts.tex index bd746c6..0b81eee 100644 --- a/sections/optics/mounts.tex +++ b/sections/optics/mounts.tex @@ -1,5 +1,5 @@ \subsection{Монтировки телескопов} -Монтировки телескопов разделяют на два основных вида: \imp{экваториальная} и \imp{альтзимутальная} монтировка (см.~Рис.\,\ref{mounts}). +Монтировки телескопов разделяют на два основных вида: \imp{экваториальная} и \imp{альтзимутальная} монтировка (\lookPicRef{mounts}). \begin{figure}[h] \centering \hspace*{.4cm} diff --git a/sections/practical-astronomy/arc-radius.tex b/sections/practical-astronomy/arc-radius.tex index aa9ea76..dae3877 100644 --- a/sections/practical-astronomy/arc-radius.tex +++ b/sections/practical-astronomy/arc-radius.tex @@ -55,7 +55,7 @@ \subsection{Радиус дуги окружности} \caption{} \end{figure} -С помощью линейки можно измерить длину $l$ хорды $AB$~--- и длину $h$ отрезка перпендикуляра $HH'$, соединяющего $H$~--- точку пересечения с хордой, и $H'$~--- точку пересечения с окружностью (см.~Рис.\,\ref{pic:arc-radius-1}). Если мысленно продолжить серединный перпендикуляр, то он, очевидно, пройдет через центр окружности $C$, а значит, в одной точке (в центре) пересечется с радиусами $AC$ и $BC$, проведенными в концы хорды (см.~Рис.\,\ref{pic:arc-radius-2}). Пусть~$r$~--- искомый радиус дуги, тогда из теоремы Пифагора получаем следующее: +С помощью линейки можно измерить длину $l$ хорды $AB$~--- и длину $h$ отрезка перпендикуляра $HH'$, соединяющего $H$~--- точку пересечения с хордой, и $H'$~--- точку пересечения с окружностью (\lookPicRef{pic:arc-radius-1}). Если мысленно продолжить серединный перпендикуляр, то он, очевидно, пройдет через центр окружности $C$, а значит, в одной точке (в центре) пересечется с радиусами $AC$ и $BC$, проведенными в концы хорды (\lookPicRef{pic:arc-radius-2}). Пусть~$r$~--- искомый радиус дуги, тогда из теоремы Пифагора получаем следующее: \begin{gather*} (r - h)^2 = r^2 - \left( \frac{l}{2} \right)^2,\\ r^2 - 2rh + h^2 = r^2 - \frac{l^2}{4},\\ @@ -109,7 +109,7 @@ \subsection{Радиус дуги окружности} \end{wrapfigure} Однако для некоторых задач недостаточно величины радиуса дуги, необходимо знание положения центра окружности данной дуги. Для этого, например, можно воспользоваться предыдущим методом и найти радиус окружности, а потом отложить отрезок данной длины вдоль серединного перпендикуляра от точки пересечения с окружностью. -Но существует и другой способ. Можно провести две непараллельные хорды окружности и построить их серединные перпендикуляры. Так как они обязательно проходят через центр окружности~--- значит он будет точкой пересечения серединных перпендикуляров к хордам. В связи с возможными погрешностями при построениях рекомендуется строить не две, а три или четыре хорды и серединные перпендикуляры к ним (см.~Рис.\,\ref{pic:arc-radius-chords}). Критерием правильности и достаточной точности всех построений будет служить тот факт, что все серединные перпендикуляры к хордами пересеклись в одной точке. +Но существует и другой способ. Можно провести две непараллельные хорды окружности и построить их серединные перпендикуляры. Так как они обязательно проходят через центр окружности~--- значит он будет точкой пересечения серединных перпендикуляров к хордам. В связи с возможными погрешностями при построениях рекомендуется строить не две, а три или четыре хорды и серединные перпендикуляры к ним (\lookPicRef{pic:arc-radius-chords}). Критерием правильности и достаточной точности всех построений будет служить тот факт, что все серединные перпендикуляры к хордами пересеклись в одной точке. Используя данный метод, очевидно, можно найти и радиус дуги (окружности), измерив расстояние от найденного центра до произвольной точки на дуге (окружности) с помощью линейки. diff --git a/sections/spherical-astronomy/refrac.tex b/sections/spherical-astronomy/refrac.tex index f14c28a..8d7ce97 100644 --- a/sections/spherical-astronomy/refrac.tex +++ b/sections/spherical-astronomy/refrac.tex @@ -54,7 +54,7 @@ \subsection{Рефракция} Однако для расчета рефракции у горизонта данная формула не подходит. Получим оценку на величину рефракции у горизонта, считая атмосферу Земли однородной, положив её высоту $h$ равной 8~км. -Рассмотрим луч зрения, лежащий в плоскости математического горизонта наблюдателя. Найдём угол между лучом и нормалью к верхней границе атмосферы в точке выхода луча из атмосферы (см.~Рис.\,\ref{pic:refraction}): +Рассмотрим луч зрения, лежащий в плоскости математического горизонта наблюдателя. Найдём угол между лучом и нормалью к верхней границе атмосферы в точке выхода луча из атмосферы (\lookPicRef{pic:refraction}): \begin{equation*} \beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - \arccos \frac{R_\oplus}{R_\oplus + h} = 87.13^\circ. \end{equation*} diff --git a/sections/spherical-astronomy/sun-time.tex b/sections/spherical-astronomy/sun-time.tex index 55d47f0..ce03b83 100644 --- a/sections/spherical-astronomy/sun-time.tex +++ b/sections/spherical-astronomy/sun-time.tex @@ -39,7 +39,7 @@ \subsection{Солнечное время. Уравнение времени} \caption{График уравнения времени} \label{pic:time-eq} \end{wrapfigure} -\term{Уравнение времени}~--- разница между истинным солнечным временем и средним солнечным временем, возникающая по причине неравномерности движения Земли по орбите и наклона земного экватора к плоскости эклиптики (см.~Рис.\,\ref{pic:time-eq}). +\term{Уравнение времени}~--- разница между истинным солнечным временем и средним солнечным временем, возникающая по причине неравномерности движения Земли по орбите и наклона земного экватора к плоскости эклиптики (\lookPicRef{pic:time-eq}). Получим приближенное выражение для величины уравнения времени. Для этого вспомним величину эксцентриситета орбиты Земли $e_\oplus = 0.017 \ll 1$, и рассмотрим выражение \begin{multline}