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假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。
示例 1： 输入： 2 输出： 2 解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
- 1 阶 + 1 阶
- 2 阶
示例 2： 输入： 3 输出： 3 解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
- 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
- 1 阶 + 2 阶
- 2 阶 + 1 阶
之前讲这道题目的时候，因为还没有讲背包问题，所以就只是讲了一下爬楼梯最直接的动规方法（斐波那契）。
这次终于讲到了背包问题，我选择带录友们再爬一次楼梯！
这道题目 我们在动态规划：爬楼梯 中已经讲过一次了，原题其实是一道简单动规的题目。
既然这么简单为什么还要讲呢，其实本题稍加改动就是一道面试好题。
改为：一步一个台阶，两个台阶，三个台阶，.......，直到 m个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
1阶，2阶，.... m阶就是物品，楼顶就是背包。
每一阶可以重复使用，例如跳了1阶，还可以继续跳1阶。
问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法。
此时大家应该发现这就是一个完全背包问题了！
和昨天的题目动态规划：377. 组合总和 Ⅳ基本就是一道题了。
动规五部曲分析如下：
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法。
- 确定递推公式
在动态规划：494.目标和 、 动态规划：518.零钱兑换II、动态规划：377. 组合总和 Ⅳ中我们都讲过了，求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];
本题呢，dp[i]有几种来源，dp[i - 1]，dp[i - 2]，dp[i - 3] 等等，即：dp[i - j]
那么递推公式为：dp[i] += dp[i - j]
- dp数组如何初始化
既然递归公式是 dp[i] += dp[i - j]，那么dp[0] 一定为1，dp[0]是递归中一切数值的基础所在，如果dp[0]是0的话，其他数值都是0了。
下标非0的dp[i]初始化为0，因为dp[i]是靠dp[i-j]累计上来的，dp[i]本身为0这样才不会影响结果
- 确定遍历顺序
这是背包里求排列问题，即：1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样！
所以需将target放在外循环，将nums放在内循环。
每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历。
- 举例来推导dp数组
介于本题和动态规划：377. 组合总和 Ⅳ几乎是一样的，这里我就不再重复举例了。
以上分析完毕，C++代码如下：
class Solution {
public:
int climbStairs(int n) {
vector<int> dp(n + 1, 0);
dp[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历背包
for (int j = 1; j <= m; j++) { // 遍历物品
if (i - j >= 0) dp[i] += dp[i - j];
}
}
return dp[n];
}
};代码中m表示最多可以爬m个台阶，代码中把m改成2就是本题70.爬楼梯可以AC的代码了。
本题看起来是一道简单题目，稍稍进阶一下其实就是一个完全背包！
如果我来面试的话，我就会先给候选人出一个 本题原题，看其表现，如果顺利写出来，进而在要求每次可以爬[1 - m]个台阶应该怎么写。
顺便再考察一下两个for循环的嵌套顺序，为什么target放外面，nums放里面。
这就能考察对背包问题本质的掌握程度，候选人是不是刷题背公式，一眼就看出来了。
这么一连套下来，如果候选人都能答出来，相信任何一位面试官都是非常满意的。
本题代码不长，题目也很普通，但稍稍一进阶就可以考察完全背包，而且题目进阶的内容在leetcode上并没有原题，一定程度上就可以排除掉刷题党了，简直是面试题目的绝佳选择！
Java：
class Solution {
public int climbStairs(int n) {
int[] dp = new int[n + 1];
int m = 2;
dp[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历背包
for (int j = 1; j <= m; j++) { //遍历物品
if (i >= j) dp[i] += dp[i - j];
}
}
return dp[n];
}
}Python3：
class Solution:
def climbStairs(self, n: int) -> int:
dp = [0]*(n + 1)
dp[0] = 1
m = 2
# 遍历背包
for j in range(n + 1):
# 遍历物品
for step in range(1, m + 1):
if j >= step:
dp[j] += dp[j - step]
return dp[n]Go：
func climbStairs(n int) int {
//定义
dp := make([]int, n+1)
//初始化
dp[0] = 1
// 本题物品只有两个1,2
m := 2
// 遍历顺序
for j := 1; j <= n; j++ { //先遍历背包
for i := 1; i <= m; i++ { //再遍历物品
if j >= i {
dp[j] += dp[j-i]
}
//fmt.Println(dp)
}
}
return dp[n]
}JavaScript:
var climbStairs = function(n) {
const dp = new Array(n + 1).fill(0);
const m = 2;
dp[0] = 1;
for(let i = 1; i <= n; i++){
for(let j = 1; j <= m; j++){
if(i >= j) {
dp[i] += dp[i - j];
}
}
}
return dp[n];
};TypeScript：
function climbStairs(n: number): number {
const m: number = 2; // 本题m为2
const dp: number[] = new Array(n + 1).fill(0);
dp[0] = 1;
// 遍历背包
for (let i = 1; i <= n; i++) {
// 遍历物品
for (let j = 1; j <= m; j++) {
if (j <= i) {
dp[i] += dp[i - j];
}
}
}
return dp[n];
};
