数字图像与视频处理
第六次作业
姓名：张心怡 班级：自动化66 学号：2160504141 提交日期：2019.4.2
摘要
第六次作业主要完成了对图像的退化、加噪声和恢复，选用了MATLAB进行处理。任务一先给图像加高斯噪声，利用公式G(u,v)= H(u,v)F(u,v)+ N(u,v) 和高斯随机变量z的PDF，然后分别编写函数，用几种均值滤波器和统计排序滤波器对图像进行恢复，并比较效果；任务二利用脉冲(椒盐)噪声的PDF；任务三基于正交性原理等推导维纳滤波器模型，并产生运动模糊和高斯噪声，再进行约束最小二乘方滤波。
题目要求：
1.在测试图像上产生高斯噪声lena图-需能指定均值和方差；并用多种滤波器恢复图像，分析各自优缺点； 2.在测试图像lena图加入椒盐噪声（椒和盐噪声密度均是0.1）；用学过的滤波器恢复图像；在使用反谐波分析Q大于0和小于0的作用；
3.推导维纳滤波器并实现下边要求； (a) 实现模糊滤波器如方程Eq. (5.6-11). (b) 模糊lena图像：45度方向，T=1； (c) 再模糊的lena图像中增加高斯噪声，均值= 0 ，方差=10 pixels 以产生模糊图像； (d)分别利用方程 Eq. (5.8-6)和(5.9-4)，恢复图像；并分析算法的优缺点.
题目分析：
Task1：1.1 噪声模型
退化过程被建模为一个退化函数和一个加性噪声项，对一幅输人图像f(x, y)进行处理，产生一幅退化后的图像g(x, y)。给定g(x, y)和关于退化函数H的一些知识以及关于加性噪声项η (x, y)的-些知识后，图像复原的目的就是获得原始图像的一个估计j(x,y)。
空间域中的退化图像可由下式给出:
g(x,y)= h(x,y)★f(x,y)+n(x,y)
其中，h(x, y)是退化函数的空间表示；符号“★”表示空间卷积。空间域中的卷积等同于频率域中的乘积，因此可以把模型写成等价的频率域表示:
G(u,v)= H(u,v)F(u,v)+ N(u,v)
空间噪声描述子就是图中模型的噪声分量中灰度值的统计特性。可以认为它们是由概率密度函数(PDF)表征的随机变量。
1.2 高斯噪声
在空间域和频率域中，由于高斯噪声在数学上的易处理性,故实践中常用这种噪声(也称为正态噪声)模型。
高斯随机变量z的PDF由下式给出:
其中，z表示灰度值，σ表示z的标准差。标准差的平方σ2称为z的方差。高斯函数的曲线如图所示。
1.3 复原图像——均值滤波器
1.3.1 算术均值滤波器
这是最简单的均值滤波器。令So表示中心在点(x, y)处、大小为mxn的矩形子图像窗口(邻域)的一.组坐标。算术均值滤波器在S定义的区域中计算被污染图像8(x, y)的平均值。在点(x, y)处复原图像f的值，就是简单地使用S定义的区域中的像素计算出的算术均值，即
这个操作可以使用大小为mxn的一个空间滤波器来实现，其所有的系数均为其值的1/mn。均值滤波平滑一幅图像中的局部变化，虽然模糊了结果，但降低了噪声。
1.3.2 几何均值滤波器
使用几何均值滤波器复原的一幅图像由如下表达式给出:
其中，每个复原的像素由子图像窗口中像素的乘积的1/mn 次幂给出。如例5.2所示，几何均值滤波器实现的平滑可与算术均值滤波器相比,但这种处理中丢失的图像细节更少。
1.3.3 谐波均值滤波器
谐波均值滤波操作由如下表达式给出:
谐波均值滤波器对于盐粒噪声效果较好，但不适用于胡椒噪声。它善于处理像高斯噪声那样的其他噪声。
1.3.4 逆谐波均值滤波器
逆谐波均值滤波器基于如下表达式产生一~幅复原的图像:
其中Q称为滤波器的阶数。这种滤波器适合减少或在实际中消除椒盐噪声的影响。当Q值为正时, .该滤波器消除胡椒噪声;当Q值为负时,该滤波器消除盐粒噪声。但它不能同时消除这两种噪声。注意，当Q=0时，逆谐波均值滤波器简化为算术均值滤波器;而当Q=-1时，则为谐波均值滤波器。
1.4 复原图像——统计排序滤波器
1.4.1 中值滤波器
最著名的统计排序滤波器是中值滤波器，如其名称所暗示的那样，它使用一个像素邻域中的灰度级的中值来替代该像素的值，即
在(x, y)处的像素值是计算的中值。中值滤波器的应用非常普遍，因为对于某些类型的随机噪声,它们可提供良好的去噪能力，且比相同尺寸的线性平滑滤波器引起的模糊更少。在存在单极或双极脉冲噪声的情况下，中值滤波器尤其有效。
1.4.2 最大值和最小值滤波器
使用序列中的最后一个数值，称为最大值滤波器，由下式给出:
这种滤波器对于发现图像中的最亮点非常有用。同样，因为胡椒噪声的值非常低，作为子图像区域S,中这种最大值选择过程的结果，可以用这种滤波器降低它。
选择起始值的滤波器称为最小值滤波器，它由下式给出:
这种滤波器对于发现图像中的最暗点非常有用。同样,作为最小值操作的结果,它可以降低盐粒噪声。
1.4.3 中点滤波器
中点滤波器简单地计算滤波器包围区域中最大值和最小值之间的中点，即
注意，这种滤波器结合了统计排序和求平均。它对于随机分布噪声工作得最好，如高斯噪声或均噪声。
Task2：
脉冲(椒盐)噪声
(双极)脉冲噪声的PDF由下式给出:
如果b>a,则灰度级b在图像中将显示为一个亮点;反之，灰度级a在图像中将显示为一个暗点。若P0或P1为零，则脉冲噪声称为单极脉冲。如果P0和P1两者均不可能为零，尤其是它们近似相等时，则脉冲噪声值将类似于在图像上随机分布的胡椒和盐粉微粒。由于这个原因，双极脉冲噪声也称为椒盐噪声。这种类型的噪声也可以使用散粒噪声和尖峰噪声来称呼。
噪声脉冲可以为正也可以为负。标定通常是图像数字化处理的一部分。 因为，与图像信号的强度相比，脉冲污染通常较大,所以在一幅图像中脉冲噪声通常被数字化为最大值(纯黑或纯白)。这样，通常假设a和b是饱和值，从某种意义上看，在数字化图像中，它们等于所允许的最大值和最小值。由于这一结果，负脉冲以一个黑点(胡椒点)出现在图像中。由于相同的原因，正脉冲以白点(盐粒点)出现在图像中。对于一幅8比特图像，典型地，这意味着a= 0(黑)和b= 255(白)。下图显示了脉冲噪声的概率密度函数(PDF)。
Task3：3.1 推导维纳滤波器
图像的退化模型为：
其中，s(n1,n2)为原始图像，b(n1,n2)为退化函数，w(n1,n2)为噪声函数，x(n1,n2)为退化的图像。并假设s与w不相关，w为0均值的平稳随机过程。
图像的复原模型为：
其中，
为恢复的图像，h(n1,n2)为恢复滤波器。
误差度量为：
基于正交性原理，若要求误差最小，则必有下式成立：
有：
即
换元得：
等式两端同时取傅里叶变换得：
即
公式（8）中
公式（10）两端同时取傅里叶变换得：
公式（8）中
两端同时取傅里叶变换：
带入得
将符号化成与书中一致的表示
故表达式由下式给出
3.2 约束最小二乘方滤波
对于约束最小二乘方滤波，期望是找一个最小准则函数C，定义如下：
其约束为
其中，
是欧几里得向量范数，
是未退化图像的估计。
这个最佳问题在频率域中的解决由下面的表达式给出：
其中，r是一个参数，必须对它进行调整以满足约束条件，p(u,v)是函数
的傅里叶变换。
处理结果：
1.高斯噪声
2.椒盐噪声
结果对比：
①由运行结果可知，四种均值滤波方式均可对椒盐噪声实现衰减，但在恢复效果上存在细微的差别。相比于算术均值与几何均值，尽管对噪声的衰减都起到了作用，但几何均值并未像算术均值那样使图像变得模糊。
②由运行结果可知，四种统计滤波方式均可对椒盐噪声实现衰减，但在恢复效果上存在细微的差别。
③算术均值与几何均值更适合于处理高斯或均匀随机噪声。逆谐波均值更适合于处理脉冲噪声信号，但它有一个缺点，即必须知道是暗噪声还是亮噪声。
④对于逆谐波均值滤波，当Q为正时，消除胡椒信号，当Q为负时，消除盐粒信号。
⑤中值滤波对椒盐信号有很好的消除作用；最大值滤波消除胡椒信号，最小值滤波消除盐粒信号。
参考文献：
[1] https://blog.csdn.net/qq_29721419/article/details/53142320
[2] https://wenku.baidu.com/view/c4001cd2c1c708a1284a446e.html