Problema: Em termos de pequenas variações, sem utilizar o limite dos comprimentos tendendo a zero, qual é a relação entre ∆x∆y e ∆r∆θ?
∆x∆y e ∆r∆θ referem-se a mudanças nas posições descritas em coordenadas retangulares (x, y) e coordenadas polares (r, θ), respectivamente. Aqui está a relação deles para pequenas variações:
Relação:
∆x∆y ≠ ∆r∆θ
Eles não são diretamente iguais porque representam conceitos diferentes.
- ∆x∆y representa um elemento de pequena área no plano retangular.
- ∆r∆θ representa uma mudança na área delimitada por um pequeno setor no plano polar.
Porém, existe uma conexão entre eles através da conversão entre coordenadas retangulares e polares. Podemos expressar x e y em termos de r e θ:
x = rcos(θ) y = r sen(θ)
Fazendo pequenas alterações (∆) em ambos os lados:
∆x ≈ -r sin(θ)∆θ + cos(θ)∆r (sinal ≈ para pequenas variações) ∆y ≈ r cos(θ)∆θ + sin(θ)∆r
Compreendendo o relacionamento:
Imagine um pequeno movimento no plano polar representado por ∆r e ∆θ. Este movimento se traduz em uma mudança nas coordenadas retangulares (∆x, ∆y). Os valores específicos de ∆x e ∆y dependem da posição original (r, θ) e da direção da mudança (representada por ∆θ).
Pontos chave:
- ∆x∆y e ∆r∆θ não são diretamente intercambiáveis.
- A sua relação é estabelecida através das fórmulas de conversão entre coordenadas retangulares e polares.
- Os valores específicos de ∆x e ∆y dependem do contexto e da posição inicial.