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\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[a4paper,left=3cm,right=2cm,top=2.5cm,bottom=2.5cm]{geometry}
\usepackage{palatino}
\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,citecolor=blue]{hyperref}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{cp2021t}
\usepackage{subcaption}
\usepackage{adjustbox}
\usepackage{color}
\definecolor{red}{RGB}{255, 0, 0}
\definecolor{blue}{RGB}{0,0,255}
\def\red{\color{red}}
\def\blue{\color{blue}}
%================= local x=====================================================%
\def\getGif#1{\includegraphics[width=0.3\textwidth]{cp2021t_media/#1.png}}
\let\uk=\emph
\def\aspas#1{``#1"}
%================= lhs2tex=====================================================%
%% ODER: format == = "\mathrel{==}"
%% ODER: format /= = "\neq "
%
%
\makeatletter
\@ifundefined{lhs2tex.lhs2tex.sty.read}%
{\@namedef{lhs2tex.lhs2tex.sty.read}{}%
\newcommand\SkipToFmtEnd{}%
\newcommand\EndFmtInput{}%
\long\def\SkipToFmtEnd#1\EndFmtInput{}%
}\SkipToFmtEnd
\newcommand\ReadOnlyOnce[1]{\@ifundefined{#1}{\@namedef{#1}{}}\SkipToFmtEnd}
\usepackage{amstext}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{stmaryrd}
\DeclareFontFamily{OT1}{cmtex}{}
\DeclareFontShape{OT1}{cmtex}{m}{n}
{<5><6><7><8>cmtex8
<9>cmtex9
<10><10.95><12><14.4><17.28><20.74><24.88>cmtex10}{}
\DeclareFontShape{OT1}{cmtex}{m}{it}
{<-> ssub * cmtt/m/it}{}
\newcommand{\texfamily}{\fontfamily{cmtex}\selectfont}
\DeclareFontShape{OT1}{cmtt}{bx}{n}
{<5><6><7><8>cmtt8
<9>cmbtt9
<10><10.95><12><14.4><17.28><20.74><24.88>cmbtt10}{}
\DeclareFontShape{OT1}{cmtex}{bx}{n}
{<-> ssub * cmtt/bx/n}{}
\newcommand{\tex}[1]{\text{\texfamily#1}} % NEU
\newcommand{\Sp}{\hskip.33334em\relax}
\newcommand{\Conid}[1]{\mathit{#1}}
\newcommand{\Varid}[1]{\mathit{#1}}
\newcommand{\anonymous}{\kern0.06em \vbox{\hrule\@width.5em}}
\newcommand{\plus}{\mathbin{+\!\!\!+}}
\newcommand{\bind}{\mathbin{>\!\!\!>\mkern-6.7mu=}}
\newcommand{\rbind}{\mathbin{=\mkern-6.7mu<\!\!\!<}}% suggested by Neil Mitchell
\newcommand{\sequ}{\mathbin{>\!\!\!>}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\usepackage{polytable}
%mathindent has to be defined
\@ifundefined{mathindent}%
{\newdimen\mathindent\mathindent\leftmargini}%
{}%
\def\resethooks{%
\global\let\SaveRestoreHook\empty
\global\let\ColumnHook\empty}
\newcommand*{\savecolumns}[1][default]%
{\g@addto@macro\SaveRestoreHook{\savecolumns[#1]}}
\newcommand*{\restorecolumns}[1][default]%
{\g@addto@macro\SaveRestoreHook{\restorecolumns[#1]}}
\newcommand*{\aligncolumn}[2]%
{\g@addto@macro\ColumnHook{\column{#1}{#2}}}
\resethooks
\newcommand{\onelinecommentchars}{\quad-{}- }
\newcommand{\commentbeginchars}{\enskip\{-}
\newcommand{\commentendchars}{-\}\enskip}
\newcommand{\visiblecomments}{%
\let\onelinecomment=\onelinecommentchars
\let\commentbegin=\commentbeginchars
\let\commentend=\commentendchars}
\newcommand{\invisiblecomments}{%
\let\onelinecomment=\empty
\let\commentbegin=\empty
\let\commentend=\empty}
\visiblecomments
\newlength{\blanklineskip}
\setlength{\blanklineskip}{0.66084ex}
\newcommand{\hsindent}[1]{\quad}% default is fixed indentation
\let\hspre\empty
\let\hspost\empty
\newcommand{\NB}{\textbf{NB}}
\newcommand{\Todo}[1]{$\langle$\textbf{To do:}~#1$\rangle$}
\EndFmtInput
\makeatother
%
%
%
%
%
%
% This package provides two environments suitable to take the place
% of hscode, called "plainhscode" and "arrayhscode".
%
% The plain environment surrounds each code block by vertical space,
% and it uses \abovedisplayskip and \belowdisplayskip to get spacing
% similar to formulas. Note that if these dimensions are changed,
% the spacing around displayed math formulas changes as well.
% All code is indented using \leftskip.
%
% Changed 19.08.2004 to reflect changes in colorcode. Should work with
% CodeGroup.sty.
%
\ReadOnlyOnce{polycode.fmt}%
\makeatletter
\newcommand{\hsnewpar}[1]%
{{\parskip=0pt\parindent=0pt\par\vskip #1\noindent}}
% can be used, for instance, to redefine the code size, by setting the
% command to \small or something alike
\newcommand{\hscodestyle}{}
% The command \sethscode can be used to switch the code formatting
% behaviour by mapping the hscode environment in the subst directive
% to a new LaTeX environment.
\newcommand{\sethscode}[1]%
{\expandafter\let\expandafter\hscode\csname #1\endcsname
\expandafter\let\expandafter\endhscode\csname end#1\endcsname}
% "compatibility" mode restores the non-polycode.fmt layout.
\newenvironment{compathscode}%
{\par\noindent
\advance\leftskip\mathindent
\hscodestyle
\let\\=\@normalcr
\let\hspre\(\let\hspost\)%
\pboxed}%
{\endpboxed\)%
\par\noindent
\ignorespacesafterend}
\newcommand{\compaths}{\sethscode{compathscode}}
% "plain" mode is the proposed default.
% It should now work with \centering.
% This required some changes. The old version
% is still available for reference as oldplainhscode.
\newenvironment{plainhscode}%
{\hsnewpar\abovedisplayskip
\advance\leftskip\mathindent
\hscodestyle
\let\hspre\(\let\hspost\)%
\pboxed}%
{\endpboxed%
\hsnewpar\belowdisplayskip
\ignorespacesafterend}
\newenvironment{oldplainhscode}%
{\hsnewpar\abovedisplayskip
\advance\leftskip\mathindent
\hscodestyle
\let\\=\@normalcr
\(\pboxed}%
{\endpboxed\)%
\hsnewpar\belowdisplayskip
\ignorespacesafterend}
% Here, we make plainhscode the default environment.
\newcommand{\plainhs}{\sethscode{plainhscode}}
\newcommand{\oldplainhs}{\sethscode{oldplainhscode}}
\plainhs
% The arrayhscode is like plain, but makes use of polytable's
% parray environment which disallows page breaks in code blocks.
\newenvironment{arrayhscode}%
{\hsnewpar\abovedisplayskip
\advance\leftskip\mathindent
\hscodestyle
\let\\=\@normalcr
\(\parray}%
{\endparray\)%
\hsnewpar\belowdisplayskip
\ignorespacesafterend}
\newcommand{\arrayhs}{\sethscode{arrayhscode}}
% The mathhscode environment also makes use of polytable's parray
% environment. It is supposed to be used only inside math mode
% (I used it to typeset the type rules in my thesis).
\newenvironment{mathhscode}%
{\parray}{\endparray}
\newcommand{\mathhs}{\sethscode{mathhscode}}
% texths is similar to mathhs, but works in text mode.
\newenvironment{texthscode}%
{\(\parray}{\endparray\)}
\newcommand{\texths}{\sethscode{texthscode}}
% The framed environment places code in a framed box.
\def\codeframewidth{\arrayrulewidth}
\RequirePackage{calc}
\newenvironment{framedhscode}%
{\parskip=\abovedisplayskip\par\noindent
\hscodestyle
\arrayrulewidth=\codeframewidth
\tabular{@{}|p{\linewidth-2\arraycolsep-2\arrayrulewidth-2pt}|@{}}%
\hline\framedhslinecorrect\\{-1.5ex}%
\let\endoflinesave=\\
\let\\=\@normalcr
\(\pboxed}%
{\endpboxed\)%
\framedhslinecorrect\endoflinesave{.5ex}\hline
\endtabular
\parskip=\belowdisplayskip\par\noindent
\ignorespacesafterend}
\newcommand{\framedhslinecorrect}[2]%
{#1[#2]}
\newcommand{\framedhs}{\sethscode{framedhscode}}
% The inlinehscode environment is an experimental environment
% that can be used to typeset displayed code inline.
\newenvironment{inlinehscode}%
{\(\def\column##1##2{}%
\let\>\undefined\let\<\undefined\let\\\undefined
\newcommand\>[1][]{}\newcommand\<[1][]{}\newcommand\\[1][]{}%
\def\fromto##1##2##3{##3}%
\def\nextline{}}{\) }%
\newcommand{\inlinehs}{\sethscode{inlinehscode}}
% The joincode environment is a separate environment that
% can be used to surround and thereby connect multiple code
% blocks.
\newenvironment{joincode}%
{\let\orighscode=\hscode
\let\origendhscode=\endhscode
\def\endhscode{\def\hscode{\endgroup\def\@currenvir{hscode}\\}\begingroup}
%\let\SaveRestoreHook=\empty
%\let\ColumnHook=\empty
%\let\resethooks=\empty
\orighscode\def\hscode{\endgroup\def\@currenvir{hscode}}}%
{\origendhscode
\global\let\hscode=\orighscode
\global\let\endhscode=\origendhscode}%
\makeatother
\EndFmtInput
%
\def\ana#1{\mathopen{[\!(}#1\mathclose{)\!]}}
%%format (bin (n) (k)) = "\Big(\vcenter{\xymatrix@R=1pt{" n "\\" k "}}\Big)"
%---------------------------------------------------------------------------
\title{
Cálculo de Programas
\\
Trabalho Prático
\\
MiEI+LCC --- 2020/21
}
\author{
\dium
\\
Universidade do Minho
}
\date\mydate
\makeindex
\newcommand{\rn}[1]{\textcolor{red}{#1}}
\begin{document}
\maketitle
\begin{center}\large
\begin{tabular}{ll}
\textbf{Grupo} nr. & 47
\\\hline
a91695 & Tiago dos Santos Silva Peixoto Carriço
\\
a91637 & Henrique Pinto Pires Lopes de Faria
\\
a91635 & Miguel Ângelo Alves de Freitas
\\
a91697 & Luís Filipe Fernandes Vilas
\end{tabular}
\end{center}
\section{Preâmbulo}
\CP\ tem como objectivo principal ensinar
a progra\-mação de computadores como uma disciplina científica. Para isso
parte-se de um repertório de \emph{combinadores} que formam uma álgebra da
programação (conjunto de leis universais e seus corolários) e usam-se esses
combinadores para construir programas \emph{composicionalmente}, isto é,
agregando programas já existentes.
Na sequência pedagógica dos planos de estudo dos dois cursos que têm
esta disciplina, opta-se pela aplicação deste método à programação
em \Haskell\ (sem prejuízo da sua aplicação a outras linguagens
funcionais). Assim, o presente trabalho prático coloca os
alunos perante problemas concretos que deverão ser implementados em
\Haskell. Há ainda um outro objectivo: o de ensinar a documentar
programas, a validá-los e a produzir textos técnico-científicos de
qualidade.
\section{Documentação} Para cumprir de forma integrada os objectivos
enunciados acima vamos recorrer a uma técnica de programa\-ção dita
``\litp{literária}'' \cite{Kn92}, cujo princípio base é o seguinte:
%
\begin{quote}\em Um programa e a sua documentação devem coincidir.
\end{quote}
%
Por outras palavras, o código fonte e a documentação de um
programa deverão estar no mesmo ficheiro.
O ficheiro \texttt{cp2021t.pdf} que está a ler é já um exemplo de
\litp{programação literária}: foi gerado a partir do texto fonte
\texttt{cp2021t.lhs}\footnote{O suffixo `lhs' quer dizer
\emph{\lhaskell{literate Haskell}}.} que encontrará no
\MaterialPedagogico\ desta disciplina descompactando o ficheiro
\texttt{cp2021t.zip} e executando:
\begin{Verbatim}[fontsize=\small]
$ lhs2TeX cp2021t.lhs > cp2021t.tex
$ pdflatex cp2021t
\end{Verbatim}
em que \href{https://hackage.haskell.org/package/lhs2tex}{\texttt\LhsToTeX} é
um pre-processador que faz ``pretty printing''
de código Haskell em \Latex\ e que deve desde já instalar executando
\begin{Verbatim}[fontsize=\small]
$ cabal install lhs2tex --lib
\end{Verbatim}
Por outro lado, o mesmo ficheiro \texttt{cp2021t.lhs} é executável e contém
o ``kit'' básico, escrito em \Haskell, para realizar o trabalho. Basta executar
\begin{Verbatim}[fontsize=\small]
$ ghci cp2021t.lhs
\end{Verbatim}
\noindent Abra o ficheiro \texttt{cp2021t.lhs} no seu editor de texto preferido
e verifique que assim é: todo o texto que se encontra dentro do ambiente
\begin{quote}\small\tt
\text{\tt \char92{}begin\char123{}code\char125{}}
\\ ... \\
\text{\tt \char92{}end\char123{}code\char125{}}
\end{quote}
é seleccionado pelo \GHCi\ para ser executado.
\section{Como realizar o trabalho}
Este trabalho teórico-prático deve ser realizado por grupos de 3 (ou 4) alunos.
Os detalhes da avaliação (datas para submissão do relatório e sua defesa
oral) são os que forem publicados na \cp{página da disciplina} na \emph{internet}.
Recomenda-se uma abordagem participativa dos membros do grupo
de trabalho por forma a poderem responder às questões que serão colocadas
na \emph{defesa oral} do relatório.
Em que consiste, então, o \emph{relatório} a que se refere o parágrafo anterior?
É a edição do texto que está a ser lido, preenchendo o anexo \ref{sec:resolucao}
com as respostas. O relatório deverá conter ainda a identificação dos membros
do grupo de trabalho, no local respectivo da folha de rosto.
Para gerar o PDF integral do relatório deve-se ainda correr os comando seguintes,
que actualizam a bibliografia (com \Bibtex) e o índice remissivo (com \Makeindex),
\begin{Verbatim}[fontsize=\small]
$ bibtex cp2021t.aux
$ makeindex cp2021t.idx
\end{Verbatim}
e recompilar o texto como acima se indicou. Dever-se-á ainda instalar o utilitário
\QuickCheck,
que ajuda a validar programas em \Haskell\ e a biblioteca \gloss{Gloss} para
geração de gráficos 2D:
\begin{Verbatim}[fontsize=\small]
$ cabal install QuickCheck gloss --lib
\end{Verbatim}
Para testar uma propriedade \QuickCheck~\ensuremath{\Varid{prop}}, basta invocá-la com o comando:
\begin{tabbing}\tt
~~~~~\char62{}~quickCheck~prop\\
\tt ~~~~~\char43{}\char43{}\char43{}~OK\char44{}~passed~100~tests\char46{}
\end{tabbing}
Pode-se ainda controlar o número de casos de teste e sua complexidade,
como o seguinte exemplo mostra:
\begin{tabbing}\tt
~~~~~\char62{}~quickCheckWith~stdArgs~\char123{}~maxSuccess~\char61{}~200\char44{}~maxSize~\char61{}~10~\char125{}~prop\\
\tt ~~~~~\char43{}\char43{}\char43{}~OK\char44{}~passed~200~tests\char46{}
\end{tabbing}
Qualquer programador tem, na vida real, de ler e analisar (muito!) código
escrito por outros. No anexo \ref{sec:codigo} disponibiliza-se algum
código \Haskell\ relativo aos problemas que se seguem. Esse anexo deverá
ser consultado e analisado à medida que isso for necessário.
\subsection{Stack}
O \stack{Stack} é um programa útil para criar, gerir e manter projetos em \Haskell.
Um projeto criado com o Stack possui uma estrutura de pastas muito específica:
\begin{itemize}
\item Os módulos auxiliares encontram-se na pasta \emph{src}.
\item O módulos principal encontra-se na pasta \emph{app}.
\item A lista de depêndencias externas encontra-se no ficheiro \emph{package.yaml}.
\end{itemize}
Pode aceder ao \GHCi\ utilizando o comando:
\begin{tabbing}\tt
~stack~ghci
\end{tabbing}
Garanta que se encontra na pasta mais externa \textbf{do projeto}.
A primeira vez que correr este comando as depêndencias externas serão instaladas automaticamente.
Para gerar o PDF, garanta que se encontra na diretoria \emph{app}.
\Problema
Os \emph{tipos de dados algébricos} estudados ao longo desta disciplina oferecem
uma grande capacidade expressiva ao programador. Graças à sua flexibilidade,
torna-se trivial implementar \DSL s
e até mesmo \href{http://www.cse.chalmers.se/~ulfn/papers/thesis.pdf}{linguagens de programação}.
Paralelamente, um tópico bastante estudado no âmbito de \DL\
é a derivação automática de expressões matemáticas, por exemplo, de derivadas.
Duas técnicas que podem ser utilizadas para o cálculo de derivadas são:
\begin{itemize}
\item \emph{Symbolic differentiation}
\item \emph{Automatic differentiation}
\end{itemize}
\emph{Symbolic differentiation} consiste na aplicação sucessiva de transformações
(leia-se: funções) que sejam congruentes com as regras de derivação. O resultado
final será a expressão da derivada.
O leitor atento poderá notar um problema desta técnica: a expressão
inicial pode crescer de forma descontrolada, levando a um cálculo pouco eficiente.
\emph{Automatic differentiation} tenta resolver este problema,
calculando \textbf{o valor} da derivada da expressão em todos os passos.
Para tal, é necessário calcular o valor da expressão \textbf{e} o valor da sua derivada.
Vamos de seguida definir uma linguagem de expressões matemáticas simples e
implementar as duas técnicas de derivação automática.
Para isso, seja dado o seguinte tipo de dados,
\begin{hscode}\SaveRestoreHook
\column{B}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{12}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{E}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\>[B]{}\mathbf{data}\;\Conid{ExpAr}\;\Varid{a}\mathrel{=}\Conid{X}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\hsindent{12}{}\<[12]%
\>[12]{}\mid \Conid{N}\;\Varid{a}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\hsindent{12}{}\<[12]%
\>[12]{}\mid \Conid{Bin}\;\Conid{BinOp}\;(\Conid{ExpAr}\;\Varid{a})\;(\Conid{ExpAr}\;\Varid{a}){}\<[E]%
\\
\>[B]{}\hsindent{12}{}\<[12]%
\>[12]{}\mid \Conid{Un}\;\Conid{UnOp}\;(\Conid{ExpAr}\;\Varid{a}){}\<[E]%
\\
\>[B]{}\hsindent{12}{}\<[12]%
\>[12]{}\mathbf{deriving}\;(\Conid{Eq},\Conid{Show}){}\<[E]%
\ColumnHook
\end{hscode}\resethooks
\noindent
onde \ensuremath{\Conid{BinOp}} e \ensuremath{\Conid{UnOp}} representam operações binárias e unárias, respectivamente:
\begin{hscode}\SaveRestoreHook
\column{B}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{11}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{12}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{E}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\>[B]{}\mathbf{data}\;\Conid{BinOp}\mathrel{=}\Conid{Sum}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\hsindent{12}{}\<[12]%
\>[12]{}\mid \Conid{Product}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\hsindent{12}{}\<[12]%
\>[12]{}\mathbf{deriving}\;(\Conid{Eq},\Conid{Show}){}\<[E]%
\\[\blanklineskip]%
\>[B]{}\mathbf{data}\;\Conid{UnOp}\mathrel{=}\Conid{Negate}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\hsindent{11}{}\<[11]%
\>[11]{}\mid \Conid{E}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\hsindent{11}{}\<[11]%
\>[11]{}\mathbf{deriving}\;(\Conid{Eq},\Conid{Show}){}\<[E]%
\ColumnHook
\end{hscode}\resethooks
\noindent
O construtor \ensuremath{\Conid{E}} simboliza o exponencial de base $e$.
Assim, cada expressão pode ser uma variável, um número, uma operação binária
aplicada às devidas expressões, ou uma operação unária aplicada a uma expressão.
Por exemplo,
\begin{hscode}\SaveRestoreHook
\column{B}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{E}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\>[B]{}\Conid{Bin}\;\Conid{Sum}\;\Conid{X}\;(\Conid{N}\;\mathrm{10}){}\<[E]%
\ColumnHook
\end{hscode}\resethooks
designa \ensuremath{\Varid{x}\mathbin{+}\mathrm{10}} na notação matemática habitual.
\begin{enumerate}
\item A definição das funções \ensuremath{\Varid{inExpAr}} e \ensuremath{\Varid{baseExpAr}} para este tipo é a seguinte:
\begin{hscode}\SaveRestoreHook
\column{B}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{3}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{11}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{E}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\>[B]{}\Varid{inExpAr}\mathrel{=}\alt{\underline{\Conid{X}}}{\Varid{num\char95 ops}}\;\mathbf{where}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\hsindent{3}{}\<[3]%
\>[3]{}\Varid{num\char95 ops}\mathrel{=}\alt{\Conid{N}}{\Varid{ops}}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\hsindent{3}{}\<[3]%
\>[3]{}\Varid{ops}{}\<[11]%
\>[11]{}\mathrel{=}\alt{\Varid{bin}}{\uncurry{\Conid{Un}}}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\hsindent{3}{}\<[3]%
\>[3]{}\Varid{bin}\;(\Varid{op},(\Varid{a},\Varid{b}))\mathrel{=}\Conid{Bin}\;\Varid{op}\;\Varid{a}\;\Varid{b}{}\<[E]%
\\[\blanklineskip]%
\>[B]{}\Varid{baseExpAr}\;\Varid{f}\;\Varid{g}\;\Varid{h}\;\Varid{j}\;\Varid{k}\;\Varid{l}\;\Varid{z}\mathrel{=}\Varid{f}+(\Varid{g}+(\Varid{h}\times(\Varid{j}\times\Varid{k})+\Varid{l}\times\Varid{z})){}\<[E]%
\ColumnHook
\end{hscode}\resethooks
Defina as funções \ensuremath{\Varid{outExpAr}} e \ensuremath{\Varid{recExpAr}},
e teste as propriedades que se seguem.
\begin{propriedade}
\ensuremath{\Varid{inExpAr}} e \ensuremath{\Varid{outExpAr}} são testemunhas de um isomorfismo,
isto é,
\ensuremath{\Varid{inExpAr}\comp \Varid{outExpAr}\mathrel{=}\Varid{id}} e \ensuremath{\Varid{outExpAr}\comp \Varid{idExpAr}\mathrel{=}\Varid{id}}:
\begin{hscode}\SaveRestoreHook
\column{B}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{E}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\>[B]{}\Varid{prop\char95 in\char95 out\char95 idExpAr}\mathbin{::}(\Conid{Eq}\;\Varid{a})\Rightarrow \Conid{ExpAr}\;\Varid{a}\to \Conid{Bool}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\Varid{prop\char95 in\char95 out\char95 idExpAr}\mathrel{=}\Varid{inExpAr}\comp \Varid{outExpAr}\equiv\Varid{id}{}\<[E]%
\\[\blanklineskip]%
\>[B]{}\Varid{prop\char95 out\char95 in\char95 idExpAr}\mathbin{::}(\Conid{Eq}\;\Varid{a})\Rightarrow \Conid{OutExpAr}\;\Varid{a}\to \Conid{Bool}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\Varid{prop\char95 out\char95 in\char95 idExpAr}\mathrel{=}\Varid{outExpAr}\comp \Varid{inExpAr}\equiv\Varid{id}{}\<[E]%
\ColumnHook
\end{hscode}\resethooks
\end{propriedade}
\item Dada uma expressão aritmética e um escalar para substituir o \ensuremath{\Conid{X}},
a função
\begin{quote}
\ensuremath{\Varid{eval\char95 exp}\mathbin{::}\Conid{Floating}\;\Varid{a}\Rightarrow \Varid{a}\to (\Conid{ExpAr}\;\Varid{a})\to \Varid{a}}
\end{quote}
\noindent calcula o resultado da expressão. Na página \pageref{pg:P1}
esta função está expressa como um catamorfismo. Defina o respectivo gene
e, de seguida, teste as propriedades:
\begin{propriedade}
A função \ensuremath{\Varid{eval\char95 exp}} respeita os elementos neutros das operações.
\begin{hscode}\SaveRestoreHook
\column{B}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{3}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{E}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\>[B]{}\Varid{prop\char95 sum\char95 idr}\mathbin{::}(\Conid{Floating}\;\Varid{a},\Conid{Real}\;\Varid{a})\Rightarrow \Varid{a}\to \Conid{ExpAr}\;\Varid{a}\to \Conid{Bool}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\Varid{prop\char95 sum\char95 idr}\;\Varid{a}\;\Varid{exp}\mathrel{=}\Varid{eval\char95 exp}\;\Varid{a}\;\Varid{exp}\mathbin{\stackrel{\mathrm{?}}{=}}\Varid{sum\char95 idr}\;\mathbf{where}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\hsindent{3}{}\<[3]%
\>[3]{}\Varid{sum\char95 idr}\mathrel{=}\Varid{eval\char95 exp}\;\Varid{a}\;(\Conid{Bin}\;\Conid{Sum}\;\Varid{exp}\;(\Conid{N}\;\mathrm{0})){}\<[E]%
\\[\blanklineskip]%
\>[B]{}\Varid{prop\char95 sum\char95 idl}\mathbin{::}(\Conid{Floating}\;\Varid{a},\Conid{Real}\;\Varid{a})\Rightarrow \Varid{a}\to \Conid{ExpAr}\;\Varid{a}\to \Conid{Bool}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\Varid{prop\char95 sum\char95 idl}\;\Varid{a}\;\Varid{exp}\mathrel{=}\Varid{eval\char95 exp}\;\Varid{a}\;\Varid{exp}\mathbin{\stackrel{\mathrm{?}}{=}}\Varid{sum\char95 idl}\;\mathbf{where}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\hsindent{3}{}\<[3]%
\>[3]{}\Varid{sum\char95 idl}\mathrel{=}\Varid{eval\char95 exp}\;\Varid{a}\;(\Conid{Bin}\;\Conid{Sum}\;(\Conid{N}\;\mathrm{0})\;\Varid{exp}){}\<[E]%
\\[\blanklineskip]%
\>[B]{}\Varid{prop\char95 product\char95 idr}\mathbin{::}(\Conid{Floating}\;\Varid{a},\Conid{Real}\;\Varid{a})\Rightarrow \Varid{a}\to \Conid{ExpAr}\;\Varid{a}\to \Conid{Bool}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\Varid{prop\char95 product\char95 idr}\;\Varid{a}\;\Varid{exp}\mathrel{=}\Varid{eval\char95 exp}\;\Varid{a}\;\Varid{exp}\mathbin{\stackrel{\mathrm{?}}{=}}\Varid{prod\char95 idr}\;\mathbf{where}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\hsindent{3}{}\<[3]%
\>[3]{}\Varid{prod\char95 idr}\mathrel{=}\Varid{eval\char95 exp}\;\Varid{a}\;(\Conid{Bin}\;\Conid{Product}\;\Varid{exp}\;(\Conid{N}\;\mathrm{1})){}\<[E]%
\\[\blanklineskip]%
\>[B]{}\Varid{prop\char95 product\char95 idl}\mathbin{::}(\Conid{Floating}\;\Varid{a},\Conid{Real}\;\Varid{a})\Rightarrow \Varid{a}\to \Conid{ExpAr}\;\Varid{a}\to \Conid{Bool}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\Varid{prop\char95 product\char95 idl}\;\Varid{a}\;\Varid{exp}\mathrel{=}\Varid{eval\char95 exp}\;\Varid{a}\;\Varid{exp}\mathbin{\stackrel{\mathrm{?}}{=}}\Varid{prod\char95 idl}\;\mathbf{where}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\hsindent{3}{}\<[3]%
\>[3]{}\Varid{prod\char95 idl}\mathrel{=}\Varid{eval\char95 exp}\;\Varid{a}\;(\Conid{Bin}\;\Conid{Product}\;(\Conid{N}\;\mathrm{1})\;\Varid{exp}){}\<[E]%
\\[\blanklineskip]%
\>[B]{}\Varid{prop\char95 e\char95 id}\mathbin{::}(\Conid{Floating}\;\Varid{a},\Conid{Real}\;\Varid{a})\Rightarrow \Varid{a}\to \Conid{Bool}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\Varid{prop\char95 e\char95 id}\;\Varid{a}\mathrel{=}\Varid{eval\char95 exp}\;\Varid{a}\;(\Conid{Un}\;\Conid{E}\;(\Conid{N}\;\mathrm{1}))\equiv \Varid{expd}\;\mathrm{1}{}\<[E]%
\\[\blanklineskip]%
\>[B]{}\Varid{prop\char95 negate\char95 id}\mathbin{::}(\Conid{Floating}\;\Varid{a},\Conid{Real}\;\Varid{a})\Rightarrow \Varid{a}\to \Conid{Bool}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\Varid{prop\char95 negate\char95 id}\;\Varid{a}\mathrel{=}\Varid{eval\char95 exp}\;\Varid{a}\;(\Conid{Un}\;\Conid{Negate}\;(\Conid{N}\;\mathrm{0}))\equiv \mathrm{0}{}\<[E]%
\ColumnHook
\end{hscode}\resethooks
\end{propriedade}
\begin{propriedade}
Negar duas vezes uma expressão tem o mesmo valor que não fazer nada.
\begin{hscode}\SaveRestoreHook
\column{B}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{E}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\>[B]{}\Varid{prop\char95 double\char95 negate}\mathbin{::}(\Conid{Floating}\;\Varid{a},\Conid{Real}\;\Varid{a})\Rightarrow \Varid{a}\to \Conid{ExpAr}\;\Varid{a}\to \Conid{Bool}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\Varid{prop\char95 double\char95 negate}\;\Varid{a}\;\Varid{exp}\mathrel{=}\Varid{eval\char95 exp}\;\Varid{a}\;\Varid{exp}\mathbin{\stackrel{\mathrm{?}}{=}}\Varid{eval\char95 exp}\;\Varid{a}\;(\Conid{Un}\;\Conid{Negate}\;(\Conid{Un}\;\Conid{Negate}\;\Varid{exp})){}\<[E]%
\ColumnHook
\end{hscode}\resethooks
\end{propriedade}
\item É possível otimizar o cálculo do valor de uma expressão aritmética tirando proveito
dos elementos absorventes de cada operação. Implemente os genes da função
\begin{hscode}\SaveRestoreHook
\column{B}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{7}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{E}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\>[7]{}\Varid{optmize\char95 eval}\mathbin{::}(\Conid{Floating}\;\Varid{a},\Conid{Eq}\;\Varid{a})\Rightarrow \Varid{a}\to (\Conid{ExpAr}\;\Varid{a})\to \Varid{a}{}\<[E]%
\ColumnHook
\end{hscode}\resethooks
que se encontra na página \pageref{pg:P1} expressa como um hilomorfismo\footnote{Qual é a vantagem de implementar a função \ensuremath{\Varid{optimize\char95 eval}} utilizando um hilomorfismo em vez de utilizar um catamorfismo com um gene "inteligente"?}
e teste as propriedades:
\begin{propriedade}
A função \ensuremath{\Varid{optimize\char95 eval}} respeita a semântica da função \ensuremath{\Varid{eval}}.
\begin{hscode}\SaveRestoreHook
\column{B}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{E}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\>[B]{}\Varid{prop\char95 optimize\char95 respects\char95 semantics}\mathbin{::}(\Conid{Floating}\;\Varid{a},\Conid{Real}\;\Varid{a})\Rightarrow \Varid{a}\to \Conid{ExpAr}\;\Varid{a}\to \Conid{Bool}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\Varid{prop\char95 optimize\char95 respects\char95 semantics}\;\Varid{a}\;\Varid{exp}\mathrel{=}\Varid{eval\char95 exp}\;\Varid{a}\;\Varid{exp}\mathbin{\stackrel{\mathrm{?}}{=}}\Varid{optmize\char95 eval}\;\Varid{a}\;\Varid{exp}{}\<[E]%
\ColumnHook
\end{hscode}\resethooks
\end{propriedade}
\item Para calcular a derivada de uma expressão, é necessário aplicar transformações
à expressão original que respeitem as regras das derivadas:\footnote{%
Apesar da adição e multiplicação gozarem da propriedade comutativa,
há que ter em atenção a ordem das operações por causa dos testes.}
\begin{itemize}
\item Regra da soma:
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx}(f(x)+g(x))=\frac{d}{dx}(f(x))+\frac{d}{dx}(g(x))
\end{eqnarray*}
\item Regra do produto:
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx}(f(x)g(x))=f(x)\cdot \frac{d}{dx}(g(x))+\frac{d}{dx}(f(x))\cdot g(x)
\end{eqnarray*}
\end{itemize}
Defina o gene do catamorfismo que ocorre na função
\begin{quote}
\ensuremath{\Varid{sd}\mathbin{::}\Conid{Floating}\;\Varid{a}\Rightarrow \Conid{ExpAr}\;\Varid{a}\to \Conid{ExpAr}\;\Varid{a}}
\end{quote}
que, dada uma expressão aritmética, calcula a sua derivada.
Testes a fazer, de seguida:
\begin{propriedade}
A função \ensuremath{\Varid{sd}} respeita as regras de derivação.
\begin{hscode}\SaveRestoreHook
\column{B}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{3}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{E}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\>[B]{}\Varid{prop\char95 const\char95 rule}\mathbin{::}(\Conid{Real}\;\Varid{a},\Conid{Floating}\;\Varid{a})\Rightarrow \Varid{a}\to \Conid{Bool}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\Varid{prop\char95 const\char95 rule}\;\Varid{a}\mathrel{=}\Varid{sd}\;(\Conid{N}\;\Varid{a})\equiv \Conid{N}\;\mathrm{0}{}\<[E]%
\\[\blanklineskip]%
\>[B]{}\Varid{prop\char95 var\char95 rule}\mathbin{::}\Conid{Bool}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\Varid{prop\char95 var\char95 rule}\mathrel{=}\Varid{sd}\;\Conid{X}\equiv \Conid{N}\;\mathrm{1}{}\<[E]%
\\[\blanklineskip]%
\>[B]{}\Varid{prop\char95 sum\char95 rule}\mathbin{::}(\Conid{Real}\;\Varid{a},\Conid{Floating}\;\Varid{a})\Rightarrow \Conid{ExpAr}\;\Varid{a}\to \Conid{ExpAr}\;\Varid{a}\to \Conid{Bool}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\Varid{prop\char95 sum\char95 rule}\;\Varid{exp1}\;\Varid{exp2}\mathrel{=}\Varid{sd}\;(\Conid{Bin}\;\Conid{Sum}\;\Varid{exp1}\;\Varid{exp2})\equiv \Varid{sum\char95 rule}\;\mathbf{where}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\hsindent{3}{}\<[3]%
\>[3]{}\Varid{sum\char95 rule}\mathrel{=}\Conid{Bin}\;\Conid{Sum}\;(\Varid{sd}\;\Varid{exp1})\;(\Varid{sd}\;\Varid{exp2}){}\<[E]%
\\[\blanklineskip]%
\>[B]{}\Varid{prop\char95 product\char95 rule}\mathbin{::}(\Conid{Real}\;\Varid{a},\Conid{Floating}\;\Varid{a})\Rightarrow \Conid{ExpAr}\;\Varid{a}\to \Conid{ExpAr}\;\Varid{a}\to \Conid{Bool}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\Varid{prop\char95 product\char95 rule}\;\Varid{exp1}\;\Varid{exp2}\mathrel{=}\Varid{sd}\;(\Conid{Bin}\;\Conid{Product}\;\Varid{exp1}\;\Varid{exp2})\equiv \Varid{prod\char95 rule}\;\mathbf{where}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\hsindent{3}{}\<[3]%
\>[3]{}\Varid{prod\char95 rule}\mathrel{=}\Conid{Bin}\;\Conid{Sum}\;(\Conid{Bin}\;\Conid{Product}\;\Varid{exp1}\;(\Varid{sd}\;\Varid{exp2}))\;(\Conid{Bin}\;\Conid{Product}\;(\Varid{sd}\;\Varid{exp1})\;\Varid{exp2}){}\<[E]%
\\[\blanklineskip]%
\>[B]{}\Varid{prop\char95 e\char95 rule}\mathbin{::}(\Conid{Real}\;\Varid{a},\Conid{Floating}\;\Varid{a})\Rightarrow \Conid{ExpAr}\;\Varid{a}\to \Conid{Bool}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\Varid{prop\char95 e\char95 rule}\;\Varid{exp}\mathrel{=}\Varid{sd}\;(\Conid{Un}\;\Conid{E}\;\Varid{exp})\equiv \Conid{Bin}\;\Conid{Product}\;(\Conid{Un}\;\Conid{E}\;\Varid{exp})\;(\Varid{sd}\;\Varid{exp}){}\<[E]%
\\[\blanklineskip]%
\>[B]{}\Varid{prop\char95 negate\char95 rule}\mathbin{::}(\Conid{Real}\;\Varid{a},\Conid{Floating}\;\Varid{a})\Rightarrow \Conid{ExpAr}\;\Varid{a}\to \Conid{Bool}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\Varid{prop\char95 negate\char95 rule}\;\Varid{exp}\mathrel{=}\Varid{sd}\;(\Conid{Un}\;\Conid{Negate}\;\Varid{exp})\equiv \Conid{Un}\;\Conid{Negate}\;(\Varid{sd}\;\Varid{exp}){}\<[E]%
\ColumnHook
\end{hscode}\resethooks
\end{propriedade}
\item Como foi visto, \emph{Symbolic differentiation} não é a técnica
mais eficaz para o cálculo do valor da derivada de uma expressão.
\emph{Automatic differentiation} resolve este problema cálculando o valor
da derivada em vez de manipular a expressão original.
Defina o gene do catamorfismo que ocorre na função
\begin{hscode}\SaveRestoreHook
\column{B}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{5}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{E}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\>[5]{}\Varid{ad}\mathbin{::}\Conid{Floating}\;\Varid{a}\Rightarrow \Varid{a}\to \Conid{ExpAr}\;\Varid{a}\to \Varid{a}{}\<[E]%
\ColumnHook
\end{hscode}\resethooks
que, dada uma expressão aritmética e um ponto,
calcula o valor da sua derivada nesse ponto,
sem transformar manipular a expressão original.
Testes a fazer, de seguida:
\begin{propriedade}
Calcular o valor da derivada num ponto \ensuremath{\Varid{r}} via \ensuremath{\Varid{ad}} é equivalente a calcular a derivada da expressão e avalia-la no ponto \ensuremath{\Varid{r}}.
\begin{hscode}\SaveRestoreHook
\column{B}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{E}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\>[B]{}\Varid{prop\char95 congruent}\mathbin{::}(\Conid{Floating}\;\Varid{a},\Conid{Real}\;\Varid{a})\Rightarrow \Varid{a}\to \Conid{ExpAr}\;\Varid{a}\to \Conid{Bool}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\Varid{prop\char95 congruent}\;\Varid{a}\;\Varid{exp}\mathrel{=}\Varid{ad}\;\Varid{a}\;\Varid{exp}\mathbin{\stackrel{\mathrm{?}}{=}}\Varid{eval\char95 exp}\;\Varid{a}\;(\Varid{sd}\;\Varid{exp}){}\<[E]%
\ColumnHook
\end{hscode}\resethooks
\end{propriedade}
\end{enumerate}
\Problema
Nesta disciplina estudou-se como fazer \pd{programação dinâmica} por cálculo,
recorrendo à lei de recursividade mútua.\footnote{Lei (\ref{eq:fokkinga})
em \cite{Ol18}, página \pageref{eq:fokkinga}.}
Para o caso de funções sobre os números naturais (\ensuremath{\N_0}, com functor \ensuremath{\fun F \;\Conid{X}\mathrel{=}\mathrm{1}\mathbin{+}\Conid{X}}) é fácil derivar-se da lei que foi estudada uma
\emph{regra de algibeira}
\label{pg:regra}
que se pode ensinar a programadores que não tenham estudado
\cp{Cálculo de Programas}. Apresenta-se de seguida essa regra, tomando como exemplo o
cálculo do ciclo-\textsf{for} que implementa a função de Fibonacci, recordar
o sistema
\begin{hscode}\SaveRestoreHook
\column{B}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{E}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\>[B]{}\Varid{fib}\;\mathrm{0}\mathrel{=}\mathrm{1}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\Varid{fib}\;(\Varid{n}\mathbin{+}\mathrm{1})\mathrel{=}\Varid{f}\;\Varid{n}{}\<[E]%
\\[\blanklineskip]%
\>[B]{}\Varid{f}\;\mathrm{0}\mathrel{=}\mathrm{1}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\Varid{f}\;(\Varid{n}\mathbin{+}\mathrm{1})\mathrel{=}\Varid{fib}\;\Varid{n}\mathbin{+}\Varid{f}\;\Varid{n}{}\<[E]%
\ColumnHook
\end{hscode}\resethooks
Obter-se-á de imediato
\begin{hscode}\SaveRestoreHook
\column{B}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{4}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{E}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\>[B]{}\Varid{fib'}\mathrel{=}\p1\comp \for{\Varid{loop}}\ {\Varid{init}}\;\mathbf{where}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\hsindent{4}{}\<[4]%
\>[4]{}\Varid{loop}\;(\Varid{fib},\Varid{f})\mathrel{=}(\Varid{f},\Varid{fib}\mathbin{+}\Varid{f}){}\<[E]%
\\
\>[B]{}\hsindent{4}{}\<[4]%
\>[4]{}\Varid{init}\mathrel{=}(\mathrm{1},\mathrm{1}){}\<[E]%
\ColumnHook
\end{hscode}\resethooks
usando as regras seguintes:
\begin{itemize}
\item O corpo do ciclo \ensuremath{\Varid{loop}} terá tantos argumentos quanto o número de funções mutuamente recursivas.
\item Para as variáveis escolhem-se os próprios nomes das funções, pela ordem
que se achar conveniente.\footnote{Podem obviamente usar-se outros símbolos, mas numa primeira leitura
dá jeito usarem-se tais nomes.}
\item Para os resultados vão-se buscar as expressões respectivas, retirando a variável \ensuremath{\Varid{n}}.
\item Em \ensuremath{\Varid{init}} coleccionam-se os resultados dos casos de base das funções, pela mesma ordem.
\end{itemize}
Mais um exemplo, envolvendo polinómios do segundo grau $ax^2 + b x + c$ em \ensuremath{\N_0}.
Seguindo o método estudado nas aulas\footnote{Secção 3.17 de \cite{Ol18} e tópico
\href{https://www4.di.uminho.pt/~jno/media/cp/}{Recursividade mútua} nos vídeos das aulas teóricas.},
de $f\ x = a x^2 + b x + c$ derivam-se duas funções mutuamente recursivas:
\begin{hscode}\SaveRestoreHook
\column{B}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{E}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\>[B]{}\Varid{f}\;\mathrm{0}\mathrel{=}\Varid{c}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\Varid{f}\;(\Varid{n}\mathbin{+}\mathrm{1})\mathrel{=}\Varid{f}\;\Varid{n}\mathbin{+}\Varid{k}\;\Varid{n}{}\<[E]%
\\[\blanklineskip]%
\>[B]{}\Varid{k}\;\mathrm{0}\mathrel{=}\Varid{a}\mathbin{+}\Varid{b}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\Varid{k}\;(\Varid{n}\mathbin{+}\mathrm{1})\mathrel{=}\Varid{k}\;\Varid{n}\mathbin{+}\mathrm{2}\;\Varid{a}{}\<[E]%
\ColumnHook
\end{hscode}\resethooks
Seguindo a regra acima, calcula-se de imediato a seguinte implementação, em Haskell:
\begin{hscode}\SaveRestoreHook
\column{B}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{3}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{E}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\>[B]{}\Varid{f'}\;\Varid{a}\;\Varid{b}\;\Varid{c}\mathrel{=}\p1\comp \for{\Varid{loop}}\ {\Varid{init}}\;\mathbf{where}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\hsindent{3}{}\<[3]%
\>[3]{}\Varid{loop}\;(\Varid{f},\Varid{k})\mathrel{=}(\Varid{f}\mathbin{+}\Varid{k},\Varid{k}\mathbin{+}\mathrm{2}\mathbin{*}\Varid{a}){}\<[E]%
\\
\>[B]{}\hsindent{3}{}\<[3]%
\>[3]{}\Varid{init}\mathrel{=}(\Varid{c},\Varid{a}\mathbin{+}\Varid{b}){}\<[E]%
\ColumnHook
\end{hscode}\resethooks
O que se pede então, nesta pergunta?
Dada a fórmula que dá o \ensuremath{\Varid{n}}-ésimo \catalan{número de Catalan},
\begin{eqnarray}
C_n = \frac{(2n)!}{(n+1)! (n!) }
\label{eq:cat}
\end{eqnarray}
derivar uma implementação de $C_n$ que não calcule factoriais nenhuns.
Isto é, derivar um ciclo-\textsf{for}
\begin{hscode}\SaveRestoreHook
\column{B}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{E}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\>[B]{}\Varid{cat}\mathrel{=}\cdots \comp \for{\Varid{loop}}\ {\Varid{init}}\;\mathbf{where}\;\cdots {}\<[E]%
\ColumnHook
\end{hscode}\resethooks
que implemente esta função.
\begin{propriedade}
A função proposta coincidem com a definição dada:
\begin{hscode}\SaveRestoreHook
\column{B}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{33}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{E}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\>[B]{}\Varid{prop\char95 cat}\mathrel{=}(\geq \mathrm{0})\Rightarrow(\Varid{catdef}{}\<[33]%
\>[33]{}\equiv\Varid{cat}){}\<[E]%
\ColumnHook
\end{hscode}\resethooks
\end{propriedade}
%
\textbf{Sugestão}: Começar por estudar muito bem o processo de cálculo dado
no anexo \ref{sec:recmul} para o problema (semelhante) da função exponencial.
\Problema
As \bezier{curvas de Bézier}, designação dada em honra ao engenheiro
\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Pierre_B%C3%A9zier}{Pierre Bézier},
são curvas ubíquas na área de computação gráfica, animação e modelação.
Uma curva de Bézier é uma curva paramétrica, definida por um conjunto
$\{P_0,...,P_N\}$ de pontos de controlo, onde $N$ é a ordem da curva.
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{cp2021t_media/Bezier_curves.png}
\caption{Exemplos de curvas de Bézier retirados da \bezier{ Wikipedia}.}
\end{figure}
O algoritmo de \emph{De Casteljau} é um método recursivo capaz de calcular
curvas de Bézier num ponto. Apesar de ser mais lento do que outras abordagens,
este algoritmo é numericamente mais estável, trocando velocidade por correção.
De forma sucinta, o valor de uma curva de Bézier de um só ponto $\{P_0\}$
(ordem $0$) é o próprio ponto $P_0$. O valor de uma curva de Bézier de ordem
$N$ é calculado através da interpolação linear da curva de Bézier dos primeiros
$N-1$ pontos e da curva de Bézier dos últimos $N-1$ pontos.
A interpolação linear entre 2 números, no intervalo $[0, 1]$, é dada pela
seguinte função:
\begin{hscode}\SaveRestoreHook
\column{B}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{3}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{E}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\>[B]{}\Varid{linear1d}\mathbin{::}\Q \to \Q \to \Conid{OverTime}\;\Q {}\<[E]%
\\
\>[B]{}\Varid{linear1d}\;\Varid{a}\;\Varid{b}\mathrel{=}\Varid{formula}\;\Varid{a}\;\Varid{b}\;\mathbf{where}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\hsindent{3}{}\<[3]%
\>[3]{}\Varid{formula}\mathbin{::}\Q \to \Q \to \Conid{Float}\to \Q {}\<[E]%
\\
\>[B]{}\hsindent{3}{}\<[3]%
\>[3]{}\Varid{formula}\;\Varid{x}\;\Varid{y}\;\Varid{t}\mathrel{=}((\mathrm{1.0}\mathbin{::}\Q )\mathbin{-}( to_\Q \;\Varid{t}))\mathbin{*}\Varid{x}\mathbin{+}( to_\Q \;\Varid{t})\mathbin{*}\Varid{y}{}\<[E]%
\ColumnHook
\end{hscode}\resethooks
%
A interpolação linear entre 2 pontos de dimensão $N$ é calculada através
da interpolação linear de cada dimensão.
O tipo de dados \ensuremath{\Conid{NPoint}} representa um ponto com $N$ dimensões.
\begin{hscode}\SaveRestoreHook
\column{B}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{E}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\>[B]{}\mathbf{type}\;\Conid{NPoint}\mathrel{=}[\mskip1.5mu \Q \mskip1.5mu]{}\<[E]%
\ColumnHook
\end{hscode}\resethooks
Por exemplo, um ponto de 2 dimensões e um ponto de 3 dimensões podem ser
representados, respetivamente, por:
\begin{hscode}\SaveRestoreHook
\column{B}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{E}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\>[B]{}\Varid{p2d}\mathrel{=}[\mskip1.5mu \mathrm{1.2},\mathrm{3.4}\mskip1.5mu]{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\Varid{p3d}\mathrel{=}[\mskip1.5mu \mathrm{0.2},\mathrm{10.3},\mathrm{2.4}\mskip1.5mu]{}\<[E]%
\ColumnHook
\end{hscode}\resethooks
%
O tipo de dados \ensuremath{\Conid{OverTime}\;\Varid{a}} representa um termo do tipo \ensuremath{\Varid{a}} num dado instante
(dado por um \ensuremath{\Conid{Float}}).
\begin{hscode}\SaveRestoreHook
\column{B}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{E}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\>[B]{}\mathbf{type}\;\Conid{OverTime}\;\Varid{a}\mathrel{=}\Conid{Float}\to \Varid{a}{}\<[E]%
\ColumnHook
\end{hscode}\resethooks
%
O anexo \ref{sec:codigo} tem definida a função
\begin{hscode}\SaveRestoreHook
\column{B}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{5}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{E}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\>[5]{}\Varid{calcLine}\mathbin{::}\Conid{NPoint}\to (\Conid{NPoint}\to \Conid{OverTime}\;\Conid{NPoint}){}\<[E]%
\ColumnHook
\end{hscode}\resethooks
que calcula a interpolação linear entre 2 pontos, e a função
\begin{hscode}\SaveRestoreHook
\column{B}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{5}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{E}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\>[5]{}\Varid{deCasteljau}\mathbin{::}[\mskip1.5mu \Conid{NPoint}\mskip1.5mu]\to \Conid{OverTime}\;\Conid{NPoint}{}\<[E]%
\ColumnHook
\end{hscode}\resethooks
que implementa o algoritmo respectivo.
\begin{enumerate}
\item Implemente \ensuremath{\Varid{calcLine}} como um catamorfismo de listas,
testando a sua definição com a propriedade:
\begin{propriedade} Definição alternativa.
\begin{hscode}\SaveRestoreHook
\column{B}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{46}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{E}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\>[B]{}\Varid{prop\char95 calcLine\char95 def}\mathbin{::}\Conid{NPoint}\to \Conid{NPoint}\to \Conid{Float}\to \Conid{Bool}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\Varid{prop\char95 calcLine\char95 def}\;\Varid{p}\;\Varid{q}\;\Varid{d}\mathrel{=}\Varid{calcLine}\;\Varid{p}\;\Varid{q}\;\Varid{d}\equiv {}\<[46]%
\>[46]{}\Varid{zipWithM}\;\Varid{linear1d}\;\Varid{p}\;\Varid{q}\;\Varid{d}{}\<[E]%
\ColumnHook
\end{hscode}\resethooks
\end{propriedade}
\item Implemente a função \ensuremath{\Varid{deCasteljau}} como um hilomorfismo, testando agora a propriedade:
\begin{propriedade}
Curvas de Bézier são simétricas.
\begin{hscode}\SaveRestoreHook
\column{B}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{3}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{13}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{71}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\column{E}{@{}>{\hspre}l<{\hspost}@{}}%
\>[B]{}\Varid{prop\char95 bezier\char95 sym}\mathbin{::}[\mskip1.5mu [\mskip1.5mu \Q \mskip1.5mu]\mskip1.5mu]\to \Conid{Gen}\;\Conid{Bool}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\Varid{prop\char95 bezier\char95 sym}\;\Varid{l}\mathrel{=}\Varid{all}\;(\mathbin{<}\Delta )\comp \Varid{calc\char95 difs}\comp \Varid{bezs}\mathbin{\mathopen{\langle}\$\mathclose{\rangle}}\Varid{elements}\;\Varid{ps}\;{}\<[71]%
\>[71]{}\mathbf{where}{}\<[E]%
\\
\>[B]{}\hsindent{3}{}\<[3]%
\>[3]{}\Varid{calc\char95 difs}\mathrel{=}(\lambda (\Varid{x},\Varid{y})\to \Varid{zipWith}\;(\lambda \Varid{w}\;\Varid{v}\to \mathbf{if}\;\Varid{w}\geq \Varid{v}\;\mathbf{then}\;\Varid{w}\mathbin{-}\Varid{v}\;\mathbf{else}\;\Varid{v}\mathbin{-}\Varid{w})\;\Varid{x}\;\Varid{y}){}\<[E]%
\\
\>[B]{}\hsindent{3}{}\<[3]%
\>[3]{}\Varid{bezs}\;\Varid{t}{}\<[13]%
\>[13]{}\mathrel{=}(\Varid{deCasteljau}\;\Varid{l}\;\Varid{t},\Varid{deCasteljau}\;(\Varid{reverse}\;\Varid{l})\;( from_\Q \;(\mathrm{1}\mathbin{-}( to_\Q \;\Varid{t})))){}\<[E]%
\\
\>[B]{}\hsindent{3}{}\<[3]%
\>[3]{}\Delta \mathrel{=}\mathrm{1e{-}2}{}\<[E]%
\ColumnHook