09.变态跳台阶.md

9.变态跳台阶

题目描述

• 一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

解题思路

• 和简单版跳台阶不同的是，现在一次可以跳1~n级，因此最终跳到第n级台阶时，最后一跳就有n种可能，分别是从第0级，第1级...第n-1级跳上来，得出:
  $$ \begin{aligned} f(n)&= f(n-1) + f(n-2) + ... + f(1) + 1 \ &= 2f(n-1) \ &=22*f(n-2) \ &... \ &=2^{n-x}*f(x) \ &=2^{n-1},\quad when\ n > 1 \ \ because\quad &f(1) = 1 \ so\quad &f(n) = 2^{n-1},\quad when\ n > 0 \ \end{aligned} $$

• 即f(n) = 2^(n-1)

• 最后加的那个1表示从第0级直接跳上去，把最后那个1当成f(0)也行，只不过在实际问题中无实际意义。

• 数学归纳法也能找到规律，只不过可能比较慢，不容易想到。

代码

• 正常操作

class Solution {
public:
    int jumpFloorII(int number) {
        if(number < 0){
            throw "number must > 0";
        }
        int result=1;
        while(--number){
            result *= 2;
        }
        return result;
    }
};

 

• 骚操作（左移实现2的次方，速度更快）

左移一次就相当于乘了一个2，计算机进行位运算会更快

class Solution {
public:
    int jumpFloorII(int number) {
        int a=1; 
        return a<<(number-1);
    }
};