doc.tex

\documentclass[12pt,a4paper]{article}

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\titleformat{\section}{\Large\bfseries}{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}{\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}

\renewcommand{\contentsname}{Table des Matières}
\renewcommand{\tablename}{Tableau}

\title{Force de Laplace}
\author{Liviu Arsenescu, Cătălin Bozan}
\date{23.04.2024}

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\begin{document}
    \pagenumbering{gobble}
    \begin{titlepage}
        \begin{center}
            \vspace*{\fill}
            \Huge \textbf{Force de Laplace} \\
            \Huge \textbf{Étude du champ magnétique} \\
            \Large Rapport du Laboratoire \\
            \begin{figure}[h]
                \centering
                \includegraphics[width=7cm]{hearclogo.png}
            \end{figure}
            \vspace{\fill}
            \Large Liviu Arsenescu, Cătălin Bozan \\
            23.04.2024

            \vspace*{\fill}
        \end{center}
    \end{titlepage}

    \thispagestyle{empty}
    \tableofcontents
    \newpage

    \pagenumbering{arabic}
    \section{Description de l'expérience}
    \subsection{Buts}
    \begin{itemize}
        \item Étude de la force de Laplace
        \item Démontrer la dépendance linéaire de la force par rapport au courent électrique, et l'angle $\theta$
    \end{itemize}

    \subsection{Éléments théoriques}
    \subsubsection{Les différentes grandeurs physiques rencontrées}
    \begin{minipage}{0.6\linewidth}
        \begin{itemize}
            \item $\bm{F_L}$ - force de Laplace
            \item $\bm{P}$ et $\bm{N}$ - force du poids et force normale
            \item $\bm{I}$ - courant électrique
            \item $\bm{l}$ - longueur du conducteur
            \item $\bm{\theta}$ - l'angle entre les vecteurs $I \vec{l}$ et $\vec{B}$
            \item $\bm{m}$ - différentes masses
            \item $\bm{g}$ - l'accélération gravitationnelle de la Terre
        \end{itemize}
    \end{minipage}%
    \hfill
    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
        \begin{itemize}
            \item[-] $\bm{[F_L]=}$ N
            \item[-] $\bm{P, N}=$ N 
            \item[-] $\bm{I}=$ A 
            \item[-] $\bm{l}=$ m 
            \item[-] $\bm{\theta}=$ dégrées 
            \item[-] $\bm{m}=$ g 
            \item[-] $\bm{g}=$ ms$^{-1}$ 
        \end{itemize}   
    \end{minipage}

    \subsubsection{Modèle Théoriques}
    Pour décrire le modèle mathématique dont on a besoin, on partira de la formule suivante : 
    \begin{empheq}[box={\mymath}]{equation*}
        \vec{F_L} = I \vec{l} \times \vec{B}
    \end{empheq}
    Comme on le sait, la norme d'un vecteur résultant d'un produit vectoriel peut être écrit comme suit :
    \begin{equation*}
        ||\vec{F_L}|| = ||I \vec{l}|| \cdot ||\vec{B}|| sin(\theta) \Rightarrow ||\vec{F_L}|| = IlBsin{\theta} 
    \end{equation*}

    Pour la configuration de la bobine, on peut représenter les forces agissant comme suit :
    \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[scale=0.5]{images/magnet_coil.pdf}
        \caption{Système de forces de la bobine}
    \end{figure}
    En utilisant la troisième loi de Newton, on peut construire le système de forces suivant sur l'aimant :
    \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[scale=0.5]{images/magnet_side.pdf}
        \caption{Système de forces sur l'aimant}
    \end{figure}
    En utilisant la deuxième loi de Newton dans la dernière figure, on obtient :
    \begin{equation*}
        \Sigma \vec{F} = 0 \Rightarrow \vec{F_L} + \vec{N} + \vec{P} = 0
    \end{equation*}
    On observe que les forces agissent uniquement sur l'axe y, ce qui permet de déduire l'équation suivante :
    \begin{equation*}
        \pm F_L + N - P = 0
    \end{equation*}
    En alimentant la bobine en courant, on constate que deux masses différentes apparaissent sur la balance :
    \begin{itemize}
        \item $m_0$ - masse de l'aimant
        \item $m_1$ - masse apparente de l'aimant
    \end{itemize}
    Avec ces deux mesures, on peut développer à nouveau l'équation :
    \begin{align*}
        \pm F_L + m_1g - m_0g &= 0 \\
        |F_L| &= |m_1 - m_0|g \\
        |F_L| &= \delta m g
    \end{align*}
    Où $\delta m$ est le module de la différence entre $m_1$ et $m_0$. \\
    Égalant ce que on a obtenu pour $||\vec{F_L}||$ et pour $|F_L|$, on obtient :
    \begin{equation*}
        \left.
        \begin{aligned}
            |F_L| &= \delta mg \\
            ||\vec{F_L}|| &= IlB\sin(\theta)
        \end{aligned}
        \right\}
        \Rightarrow
        \delta mg = \frac{IlBsin(\theta)}{g}
    \end{equation*}
    On peut donc conclure que $\delta m$ est une fonction qui dépend de $I$, $l$, $B$, $sin(\theta)$.

    \subsection{Principe de l'expérience}
    \sloppy
    Comme indiqué ci-dessus, l'expérience consiste à calculer la valeur du champ magnétique $B$ par trois méthodes différentes :
    \begin{itemize}
        \item On va mesurer la pente de la fonction $\delta m$ en faisant varier uniquement le courant $I$, ce qui nous permettra de calculer $B$.
        \item On va mesurer la pente de la fonction $\delta m$ en faisant varier uniquement l'angle $\theta$, d'où on peut calculer de la même façon $B$.
        \item On mesure $B$ à l'aide d'un teslamètre.
    \end{itemize}

    \subsection{Schéma et montage de l’expérience}
    Pour réaliser l'expérience, on doit faire un dispositif qui nous permettre de générer la force de Laplace sur un aimant. On a donc : 
    \begin{figure}[H]
        \begin{minipage}{0.45\linewidth} % Adjusted width
            \begin{itemize}
                \item Une source de courant continu
                \item Un ampèremètre
                \item Un socle
                \item Une tige
                \item Un noix double
                \item Une bobine à \\
                    orientation réglable
                \item Un aimant en U
                \item Une balance
                \item Trois câbles de connexion
                \item Un teslamètre
                \item Une règle
            \end{itemize}
        \end{minipage}%
        \hfill
        \begin{minipage}{0.5\linewidth} % Adjusted width
            \centering
            \includegraphics[scale=0.35]{images/experiment_layout.pdf}
            \caption{Système de forces de la bobine}
        \end{minipage}
    \end{figure}

    \subsection{Déroulement de l'expérience}
    \subsubsection{Étalonnage bobine-aimant}
    \begin{itemize}
        \item On met l'aimant sur la balance
        \item On fixe la bobine réglable sur le support
        \item On connecte la bobine en série avec l'ampèremètre à la source de courant
        \item En utilisant la tête rotative, on fixe la bobine de manière à ce que la force de Laplace soit nulle, et on considère cette angle comme $\theta = 0$\textdegree
    \end{itemize}
    \subsubsection{Force de Laplace en fonction du courant \textit{I}}
    \begin{itemize}
        \item On règle l'angle de la bobine a 90\textdegree, et on lui donne un courant de 4A
        \item On mesure $\delta m$ pour des valeurs de $I$, par intervalles de 0,4A, de 4A à 0A
    \end{itemize}
    \subsubsection{Force de Laplace en fonction de l'angle \texorpdfstring{$\theta$}{theta}}
    \begin{itemize}
        \item On fixe le courant à 4A, et on ramène la bobine à 0\textdegree
        \item On mesure $\delta m$ pour des valeurs de $\theta$ de 5 en 5, de 90\textdegree à 0\textdegree
    \end{itemize}
    \subsubsection{En utilisant le teslamètre}
    \begin{itemize}
        \item On place la sonde du teslamètre dans la zone entre les pôles de l'aimant, puis on mesure le champ magnétique $B$
    \end{itemize}

    \section{Mesures}
    \subsection{Mesures constantes :}
    \begin{itemize}
        \item $L = (0.010 \pm 0.001)$ m - longueur de la section de la bobine
        \item $n = 11$ - nombre de spires
        \item $m_0 = (70.40 \pm 0.01)$ g - masse de l'aimant
        \item $\Delta I = \pm 0.01$ A - incertitude sur le courant électrique
        \item $\Delta \theta = \pm 2$\textdegree - incertitude de l'angle
        \item $B_3 = -43.3$ mT - champ magnétique mesuré avec le teslamètre
        \item $\Delta B_3 = \pm 0.4$ mT - incertitude du champ magnétique
    \end{itemize}
    \subsection{Tableaux des mesures :}
    \subsubsection{\textit{I} variable}
    \begin{minipage}{0.4\textwidth}
        \centering
        \begin{tabular}{c|c|c}
            \toprule
            $I$(A) & $\delta m$(g) & $\Delta(\delta m)$(g) \\
            \midrule
            0.41 & -0.12 & 0.02 \\
            0.81 & -0.33 & 0.02 \\
            1.20 & -0.56 & 0.02 \\
            1.60 & -0.77 & 0.02 \\
            2.01 & -1.01 & 0.02 \\
            2.40 & -1.22 & 0.02 \\
            2.81 & -1.46 & 0.02 \\
            3.21 & -1.68 & 0.02 \\
            3.61 & -1.90 & 0.02 \\
            4.01 & -2.13 & 0.02 \\
            \bottomrule
        \end{tabular}
        \captionof{table}{$I$ variable}
    \end{minipage}%
    \hfill
    \begin{minipage}{0.6\textwidth}
        Légende :
        \begin{itemize}
            \item $I$ - courant électrique (en A)
            \item $\delta m$ - différence entre les masses $m_1$ et $m_0$ (en g)
            \item $\Delta(\delta m)$ - incetitude de $\delta m$ (en g)
        \end{itemize}
    \end{minipage}
    \subsubsection{\texorpdfstring{$\theta$}{theta} variable}
    \begin{table}[H]
        \centering
        \begin{tabular}{c|c|c|c|c}
            \toprule
            $\theta$(\textdegree) & $\delta m$(g) & $\Delta(\delta m)$(g) & sin($\theta$) & $\Delta$sin($\theta$) \\
            \midrule
            0  &  0.09 & 0.02 & 0.00 & 0.03 \\
            5  & -0.10 & 0.02 & 0.09 & 0.03 \\
            10 & -0.30 & 0.02 & 0.17 & 0.03 \\
            15 & -0.49 & 0.02 & 0.26 & 0.03 \\
            20 & -0.66 & 0.02 & 0.34 & 0.03 \\
            25 & -0.85 & 0.02 & 0.42 & 0.03 \\
            30 & -1.01 & 0.02 & 0.50 & 0.03 \\
            35 & -1.17 & 0.02 & 0.57 & 0.03 \\
            40 & -1.33 & 0.02 & 0.64 & 0.03 \\
            45 & -1.46 & 0.02 & 0.71 & 0.02 \\
            50 & -1.58 & 0.02 & 0.77 & 0.02 \\
            55 & -1.69 & 0.02 & 0.82 & 0.02 \\
            60 & -1.79 & 0.02 & 0.87 & 0.02 \\
            65 & -1.88 & 0.02 & 0.91 & 0.01 \\
            70 & -1.94 & 0.02 & 0.94 & 0.01 \\
            75 & -2.00 & 0.02 & 0.97 & 0.01 \\
            80 & -2.03 & 0.02 & 0.98 & 0.01 \\
            85 & -2.06 & 0.02 & 1.00 & 0.01 \\
            90 & -2.13 & 0.02 & 1.00 & 0.01 \\
            \bottomrule
        \end{tabular}
        \captionof{table}{$\theta$ variable}
    \end{table}
    Légende :
    \begin{itemize}
        \item $\theta$ - l'angle entre les vecteurs $I \vec{l}$ et $\vec{B}$ (en degrées)
        \item $\delta m$ - différence entre les masses $m_1$ et $m_0$ (en g)
        \item $\Delta(\delta m)$ - incetitude de $\delta m$ (en g)
    \end{itemize}

    \section{Analyse des mesures et résultats}
    Pour calculer le champ magnétique $B$ en faisant varier le courant ou l'angle, on construit une régression linéaire à l'aide de la formule suivante :
    \begin{empheq}[box={\mymath}]{equation*}
        \delta m = \frac{IlBsin(\theta)}{g}
    \end{empheq}
    $l$ est la longueur du conducteur, donc $l = nL = (0.110 \pm 0.001)$ m.
    \subsection{\texorpdfstring{$\delta m$}{delta m} en fonction du courant \textit{I}}
    La fonction que on a utilisée pour créer la régression linéaire :
    \begin{empheq}[box={\mymath}]{equation*}
        \delta m = \frac{lBsin(\theta)}{g} \cdot I
    \end{empheq}
    \pgfplotstableread[col sep=comma]{data/plot_I.csv}\plotIdata
    \begin{figure}[H]
        \centering
        \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
            % Scatter plot
            \begin{axis}[
                xlabel={$I$ (A)},
                ylabel={$\delta m$ (g)},
                legend pos=north east,
                legend style={at={(0.25,0.05)}, anchor=south},
                grid=both,
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                x tick label style={
                    /pgf/number format/.cd,
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                    fixed zerofill,
                },
                y tick label style={
                    /pgf/number format/.cd,
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                    fixed zerofill,
                },
                xmin=0,
                xmax=4.5,
                ymin=-2.5,
                ymax=-0,
            ]
                \addplot+[only marks, mark=x, error bars/.cd, x dir=both, x explicit, y dir=both, y explicit] table[x=I, x error=err_I, y=dm, y error=err_dm] {\plotIdata};

                % Linear regression line
                \addplot [red, thick] table[
                    y={create col/linear regression={y=dm}}
                ] {\plotIdata};
                \xdef\slope{\pgfplotstableregressiona}
                \xdef\intercept{\pgfplotstableregressionb}

                % Add the equation of the line
                \addlegendentry{Données}
                \addlegendentry{Régr. Lin.: $y = \pgfmathprintnumber{\slope}x + \pgfmathprintnumber{\intercept}$}
            \end{axis}
        \end{tikzpicture}
    \end{figure}
    Où on note $a_1$ la pente de la fonction. Avec ça, on obtient :
    \begin{empheq}[box={\mymath}]{equation*}
        B_1 = (-49.0 \pm 0.4) \textrm{ mT}
    \end{empheq}
    \subsection{\texorpdfstring{$\delta m$}{delta m} en fonction de l'angle \texorpdfstring{$\theta$}{theta}}
    La fonction que on a utilisée pour créer la régression linéaire :
    \begin{empheq}[box={\mymath}]{equation*}
        \delta m = \frac{lBI}{g} \cdot sin(\theta)
    \end{empheq}
    \pgfplotstableread[col sep=comma]{data/plot_T.csv}\plotTdata
    \begin{figure}[H]
        \centering
        \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
            % Scatter plot
            \begin{axis}[
                xlabel={$sin(\theta)$},
                ylabel={$\delta m$ (g)},
                legend pos=north east,
                legend style={at={(0.3,0.05)}, anchor=south},
                grid=both,
                width=1\textwidth,
                height=0.3\textheight,
                x tick label style={
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                },
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                ymin=-2.5,
                ymax=0.15,
            ]
                \addplot+[only marks, mark=x, error bars/.cd, x dir=both, x explicit, y dir=both, y explicit] table[x=T, x error=err_T, y=dm, y error=err_dm] {\plotTdata};

                % Linear regression line
                \addplot [red, thick] table[
                    y={create col/linear regression={y=dm}}
                ] {\plotTdata};
                \xdef\slope{\pgfplotstableregressiona}
                \xdef\intercept{\pgfplotstableregressionb}

                % Add the equation of the line
                \addlegendentry{Données}
                \addlegendentry{Régr. Lin.: $y = \pgfmathprintnumber{\slope}x + \pgfmathprintnumber{\intercept}$}
            \end{axis}
        \end{tikzpicture}
    \end{figure}
    Où on note $a_2$ la pente de la fonction. Avec ça, on obtient :
    \begin{empheq}[box={\mymath}]{equation*}
        B_2 = (-48.2 \pm 0.5) \textrm{ mT}
    \end{empheq}
    \subsection{Choix et calcul d'incertitudes}
    \subsubsection{Choix des incertitude :}
    \begin{itemize}
        \item Pour le courant électrique : on a examiné la fluctuation globale de l'alimentation électrique, et on a remarqué que on a une incertitude de lecture de $\Delta I = 0.1$ A
        \item Pour l'angle : on a déplacé très lentement la tête de la bobine et, à $\Delta \theta = 2$\textdegree près, on n'a constaté aucun changement dans l'expérience
        \item Pour la longueur de la section de la bobine : on a choisi l'incertitude indiquée sur l'instrument de mesure
        \item Pour la mesure au teslamètre : on a choisi la valeur indiquée par l'appareil avant de s'approcher de l'aimant
        \item Pour les masses : on a choisi l'incertitude indiquée par la balance
    \end{itemize}
    \subsubsection{Calcul d'incertitudes}
    On sait que la différence entre $m_0$ et $m_1$ se calcule comme suit :
    \begin{equation*}
        \delta m = |m_1 - m_2|
    \end{equation*}
    Puisqu'il s'agit de la différence entre les deux, on peut calculer l'incertitude en additionnant leurs incertitudes :
    \begin{empheq}[box={\mymath}]{equation*}
        \Delta(\delta m) = 0.2 \textrm{ g}
    \end{empheq}
    Pour calculer l'incertitude de la fonction sin, on utilise la formule suivante :
    \begin{empheq}[box={\mymath}]{equation*}
        \Delta sin(\theta) = |cos(\theta)| \cdot \Delta \theta
    \end{empheq}
    Pour la première pente obtenue, on calcule l'incertitude comme suit :
    \begin{empheq}[box={\mymath}]{equation*}
        \Delta B_1 = (\frac{\Delta a_1}{a_1} + \frac{\Delta l}{l}) \cdot B_1
    \end{empheq}
    Et pour la deuxième pente obtenue, on fait le calcul suivant :
    \begin{empheq}[box={\mymath}]{equation*}
        \Delta B_2 = (\frac{\Delta a_2}{a_2} + \frac{\Delta{lI}}{lI}) \cdot B_2
    \end{empheq}
    \subsection{Discussion des résultats :}
    On a obtenu trois valeurs pour le champ magnétique :
    \begin{align*}
        B_1 &= (-49.0 \pm 0.4) \textrm{ mT} \\
        B_2 &= (-48.2 \pm 0.5) \textrm{ mT} \\
        B_3 &= (-43.3 \pm 0.4) \textrm{ mT}
    \end{align*}
    Le fait que ces valeurs soient très proches les unes des autres permet de tirer les conclusions suivantes :
    \begin{itemize}
        \item La fonction $\delta m$ dépend linéairement de $I$ et de $\theta$, donc la fonction $||\vec{F_L}||$ en dépend également.
        \item On peut également en déduire que la force $\vec{F_L}$ créée par la bobine est exactement la même, mais de signe opposé dans le système de force de l'aimant, mettant ainsi en évidence le principe d'action-réaction.
    \end{itemize}
    \section{Synthèse et conclusion}
    Dans ce laboratoire, on a cherché à comprendre et à démontrer les formules trouvées dans le cadre théorique de la force de Laplace. \\
    Pour atteindre cet objectif, on a calculé le champ magnétique d'un aimant de trois manières différentes :
    \begin{itemize}
        \item On l'a trouvé en faisant varier uniquement le courant électrique $I$
        \item On l'a trouvé en faisant varier uniquement l'angle $\theta$ 
        \item On a utilisé un teslamètre pour le mesurer
    \end{itemize}
    Le résultat de cette expérience est que on a prouvé que on a bien une dépendance linéaire entre $||\vec{F_L}||$ et les termes qui composent sa formule, et que la force $\vec{F_L}$ existe à la fois dans la bobine et dans l'aimant. 
\end{document}