From c91a368c28140010c8d0c3ddb6e0d2b266fd1ca3 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Sun, 2 Jun 2024 17:47:22 +0800
Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E7=A1=AE=E4=BF=9D=E4=B8=8D=E8=B6=85=E8=BF=872?=
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index 9f9ccad..21cc5aa 100644
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+++ b/1/index.md
@@ -2,9 +2,7 @@
 
 记 $x^*$ 为准确值， $x$ 为 $x^*$ 的一个近似值
 
-**绝对误差** $e_p = |x - x^*| $
-
-**相对误差** $e_r = \displaystyle \left|\frac{x-x^*}{x}\right| $
+**绝对误差** $e_p = |x - x^*| $  **相对误差** $e_r = \displaystyle \left|\frac{x-x^*}{x}\right| $
 
 **相对误差限** $\displaystyle\varepsilon_r=\frac{\varepsilon}{\mid x\mid}\geqslant\frac{\mid x-x^*\mid}{\mid x\mid}=\mid e*{\mathrm{r}}\mid $
 
@@ -30,6 +28,4 @@ $C_p\geqslant 10$ 就认为问题是病态的
 
 **Horner's Method(秦九韶算法)**
 
-$P_n(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^na_ix^i$ ，求 $P(x_0)$ 只需求 $b_n$
-
-其中 $ b_0=a_0,b_k=a_k+b_{k-1}x $
+$P_n(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^na_ix^i$ ，求 $P(x_0)$ 只需求 $b_n$ 其中 $ b_0=a_0,b_k=a_k+b_{k-1}x $
diff --git a/2/index.md b/2/index.md
index 623d814..75a3e12 100644
--- a/2/index.md
+++ b/2/index.md
@@ -81,9 +81,8 @@ $f[x_0, x_1, \dots, x_n]=\displaystyle \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!},\xi\in[a, b] $
 
 记 $h$ 为小区间长度， $M_i=S''(x_i), y_i=f(x_i)$ ，在区间 $[x_i, x_{i+1}]$ 上的 $S(x)$ 为
 
-- $a_i=\displaystyle \frac{M_{i+1}-M_i}{6h} $
-- $b_i=\displaystyle \frac{M_i}{2} $
-- $c_i=\displaystyle \frac{y_{i+1}-y_i}{h}-\frac{(M_{i+1}+2M_i)h}{6} $
-- $d_i=y_i $
+$a_i=\displaystyle \frac{M_{i+1}-M_i}{6h} $ ， $b_i=\displaystyle \frac{M_i}{2} $
+
+$c_i=\displaystyle \frac{y_{i+1}-y_i}{h}-\frac{(M_{i+1}+2M_i)h}{6} $ ， $d_i=y_i $
 
 其中 $M_i$ 根据条件解线性方程组得到： $M_i+4M_{i+1}+M_{i+2}=\displaystyle \frac{6(y_i-2y_{i+1}+y_{i+2})}{h^2}, 1\leqslant i\leqslant n-2 $
diff --git a/3/index.md b/3/index.md
index e21d7d6..b6b2975 100644
--- a/3/index.md
+++ b/3/index.md
@@ -13,9 +13,7 @@
 
 **无穷范数** $\Vert \mathbf{x} \Vert_\infin=\displaystyle \max_{1\leqslant i\leqslant n}|x_i|$
 
-**1-范数** $\Vert \mathbf{x} \Vert_1=\displaystyle \sum_{i=1}^n|x_i|$
-
-**2-范数**： $\Vert \mathbf{x} \Vert_2=\displaystyle \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}$
+**1-范数** $\Vert \mathbf{x} \Vert_1=\displaystyle \sum_{i=1}^n|x_i|$  **2-范数**： $\Vert \mathbf{x} \Vert_2=\displaystyle \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}$
 
 **内积**：设 $X$ 是数域 $K$ 上的线性空间， $\forall u, v\in X$ 。有 $K$ 中的一个数与其对应，记为 $(u, v)$ ，其满足：
 
diff --git a/4/index.md b/4/index.md
index 1beb564..a469440 100644
--- a/4/index.md
+++ b/4/index.md
@@ -2,35 +2,33 @@
 
 ## **数值积分**
 
-**左矩形公式** $I \approx \left(b-a\right) f(a) $
-
-**右矩形公式** $I \approx \left(b-a\right) f(b) $
+**左矩形公式** $I \approx \left(b-a\right) f(a) $  **右矩形公式** $I \approx \left(b-a\right) f(b) $
 
 **中点矩形公式** $I \approx \left(b-a\right) \displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right) $
 
 **插值型求积公式** $I\approx I_n = \displaystyle \int_a^b L_n(x)dx=\sum_{k=0}^n A_k f(x_k)$ , 其中 $\displaystyle A_k=\int_a^b l_k(x)dx$ 
 
-余项 $\displaystyle R[f]=\int_a^b\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\omega_{n+1}(x)dx$
+余项 $\displaystyle R[f]=\int_a^b\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\omega_{n+1}(x)dx$ ，至少有n次代数精度
+
+形如 $I_n=\sum^{n}A_kf(x_k)$ 的积分公式至少有 $n$ 次代数精度的充要条件是：它是插值型的
 
 **牛顿-柯特斯公式**:  $I\approx I_{n}=\displaystyle (b-a)\sum_{k=0}^{n}\mathbf{C}_{k}^{(n)}f(x_{k})$
 
 其中 $h=\displaystyle \frac{b-a}n, x_k=a+kh$
 
+若n为偶数，则n阶N-C公式至少有n+1次代数精度
+
 **柯特斯系数**： $\mathbf{C}_{k}^{(n)}=\displaystyle \frac{(-1)^{n-k}}{k!(n-k)!\cdot n}\int_{0}^{n}\prod_{j=0,j\neq k}^{n}(t-j)dt $
 
 $\displaystyle \sum_{k=0}^n C_k^{(n)}=1$ 恒成立
 
-**梯形公式** $I_1=\displaystyle \frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]$ 
-
-余项 $R[f]=\displaystyle -\frac{(b-a)^3}{12}f''(\eta)$
+**梯形公式** $I_1=\displaystyle \frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]$  余项 $R[f]=\displaystyle -\frac{(b-a)^3}{12}f''(\eta)$
 
 **辛普森公式** $I_2=\displaystyle\frac{b-a}{6}[f(a)+4f(\frac{a+b}2)+f(b)]$ 
 
 余项 $R[f]=\displaystyle-\frac{(b-a)^5}{2880}f^{(4)}(\eta)$
 
-**柯特斯公式** $I_4=\displaystyle\frac{b-a}{90}[7f(x_0)+32f(x_1)+12f(x_2)+32f(x_3)+7f(x_4)]$
-
-误差 $R[f]=\displaystyle -\frac{(b-a)^7}{1935360}f^{(6)}(\eta), \eta\in(a, b)$
+**柯特斯公式** $I_4=\displaystyle\frac{b-a}{90}[7f(x_0)+32f(x_1)+12f(x_2)+32f(x_3)+7f(x_4)]$ 误差 $R[f]=\displaystyle -\frac{(b-a)^7}{1935360}f^{(6)}(\eta), \eta\in(a, b)$
 
 **复化的梯形公式** $I\approx T_n = \displaystyle \frac h2[f(a)+2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)+f(b)]$
 
@@ -56,18 +54,11 @@ $\displaystyle \sum_{k=0}^n C_k^{(n)}=1$ 恒成立
 
 ## **数值微分**
 
-**向前差商公式** $f'(x)\approx\displaystyle  \frac{f(x+h)-f(x)}h$
-
-
-误差： $\displaystyle-\frac h2 f''(\xi)$
-
-**向后差商公式** $f'(x)\approx\displaystyle \frac{f(x)-f(x-h)}h$
-
-误差： $\displaystyle\frac h2 f''(\xi)$
+**向前差商公式** $f'(x)\approx\displaystyle  \frac{f(x+h)-f(x)}h$ 误差： $\displaystyle-\frac h2 f''(\xi)$
 
-**中心差商公式** $f'(x)\approx\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$
+**向后差商公式** $f'(x)\approx\displaystyle \frac{f(x)-f(x-h)}h$ 误差： $\displaystyle\frac h2 f''(\xi)$
 
-误差： $\displaystyle-\frac{h^2}6f'''(\xi)$
+**中心差商公式** $f'(x)\approx\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$ 误差： $\displaystyle-\frac{h^2}6f'''(\xi)$
 
 **舍入误差上界** $\delta(f'(a))=\displaystyle f'(a)-G(a)\leqslant\frac{|\varepsilon_1|+|\varepsilon_2|}{2h}\leqslant\frac{\varepsilon}{h}$ , $\varepsilon=\max\{|\varepsilon_{1}|,|\varepsilon_{2}|\}$
 
diff --git a/7/index.md b/7/index.md
index f190330..6eb6d8f 100644
--- a/7/index.md
+++ b/7/index.md
@@ -4,35 +4,31 @@
 
 $| x_k-x^*|\leqslant(b_k-a_k)/2=(b-a)/2^{k+1}\quad (k=0,1,2\dots)$
 
-**不动点**：给定初始值 $x_0$ ，如果对任意 $x_0\in [a, b]$ ，由迭代公式 $x_{k+1}=\phi(x_k)$ 得到的迭代序列 $\{x_k\}$ 存在极限 $\displaystyle \lim_{k\rightarrow\infin}x_k=x^*$ ，则称该迭代公式收敛， $x^*$ 就称为不动点
-
 **不动点的存在性**
 
 设迭代函数 $\phi(x)\in C[a,b]$ ,并且
 
-- $\forall x\in [ a, b]$ ,都有 $\phi(x)\in[a,b]$
+(1) $\forall x\in [ a, b]$ ,都有 $\phi(x)\in[a,b]$ 
 
-- $\exists0\leq L<1$ , 使得 $\forall x,y\in[a,b]$ ,都有 $|\phi(x)-\phi(y)|\leq L| x-y|$
+(2) $\exists0\leq L<1$ , 使得 $\forall x,y\in[a,b]$ ,都有 $|\phi(x)-\phi(y)|\leq L| x-y|$
 
 那么 $\phi(x)$ 在 $[a,b]$ 上存在唯一的不动点 $x^*$
 
 上述定理的第二个条件可用 $\left|\phi^{\prime}(x)\right|\leq L<1$ 代替。
 
 误差估计：
-- $|x_k-x^*|\leqslant\displaystyle \frac{L^k}{1-L}| x_1-x_0 | $
-- $|x_{k}-x^{*}|\leqslant\displaystyle \frac{L}{1-L}| x_{k}-x_{k-1}|$
 
-**局部收敛性**
+$|x_k-x^*|\leqslant\displaystyle \frac{L^k}{1-L}| x_1-x_0 | $ 或 $|x_{k}-x^{*}|\leqslant\displaystyle \frac{L}{1-L}| x_{k}-x_{k-1}|$
 
-设 $\phi(x)$ 有不动点 $x^*$ ，如果存在 $x^*$ 的某个邻域 $\Delta:|x-x^*|\leqslant \delta$ ，对任意的 $x_0\in \Delta$ ，迭代公式产生的序列 $\{x_k\}$ 满足 $x_i\in \Delta$ ，且收敛到 $x^*$ ，则称该迭代公式局部收敛 
+**局部收敛性**
 
 若 $\phi^\prime(x)$ 在 $x^*$ 的某邻域内连续，且 $|\phi^{\prime}(x^{*})|<1$ ,则迭代法是局部收敛的.
 
 **收敛阶**
 
-误差 $e_k=x_k-x^*$ , 若 $\displaystyle \lim_{k\to\infty}\frac{e_{k+1}}{e_k^p}=C$ , $C\ne 0$ , 则称迭代过程为 $p$ 阶收敛的
+误差 $e_k=x_k-x^*$ , 若 $\displaystyle \lim_{k\to\infty}\frac{e_{k+1}}{e_k^p}=C$ , $C\ne 0$ , 则迭代过程 $p$ 阶收敛
 
-如果迭代函数在不动点 $x^*$ 附近有 $p$ 阶连续导数且 $\phi^{\prime}(x^*)=\phi^{\prime\prime}(x^*)=\cdots=\phi^{(p-1)}(x^*)=0,\quad\phi^{(p)}(x^*)\neq0$ ,那么迭代过程在 $x^*$ 附近是 $p$ 阶收敛的
+如果迭代函数在不动点 $x^*$ 附近有 $p$ 阶连续导数且 $\phi^{\prime}(x^*)=\phi^{\prime\prime}(x^*)=\cdots=\phi^{(p-1)}(x^*)=0,\quad\phi^{(p)}(x^*)\neq0$ ,那么迭代过程在 $x^*$ 附近 $p$ 阶收敛
 
 **斯特芬森迭代法**：
 
diff --git a/9/index.md b/9/index.md
index 01ca5db..bb40aa7 100644
--- a/9/index.md
+++ b/9/index.md
@@ -83,7 +83,7 @@ $$
 
 **线性多步法**： $ y_{n+k}=\displaystyle \sum_{i=0}^{k-1}\alpha_i y_{n+i}+h\sum_{i=0}^k\beta_i f_{n+i}, f_{n+i}=f(x_{n+i}, y_{n+i}) $
 
-$\beta_k \neq 0$ 隐式 $k$步法；否则为显示多步法
+$\beta_k \neq 0$ 隐式 $k$ 步法；否则为显示多步法
 
 **局部截断误差**： $ T_{n+k}=c_{p+1}h^{p+1}y^{(p+1)}(x_n)+O(h^{p+2}) $