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% lezione 1
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\chapter{Richimi di algebra e geometria}
\section{Richiami di algebra e geometria}

\newmathsymb{R}{\R}{Anello}
\begin{definition}
  Un \textbf{anello} \index{Anello} è un insieme $ \R $ dotato di due operazioni $ + $ e $ \cdot $ tali che
  $ \R $ sia un gruppo abeliano con l'addizione, sia un monoide con la moltiplicazione
  (ovvero la moltiplicazione è associativa e possiede un elemento neutro\footnote{La richiesta
    di esistenza dell'elemento neutro, cioè dell'unità non è comune a tutti gli autori,
    chi non la richiede chiama anello unitario \index{Anello unitario} la presente
    definizione di anello.}) e goda della proprietà distributiva rispetto all'addizione.
\end{definition}

\begin{definition}
  Un anello si dice \textbf{commutativo} \index{Anello commutativo} se l'operazione di moltiplicazione
  è commutativa.
\end{definition}

\begin{definition}
  Un \textbf{campo} \index{Campo} è un anello commutativo in cui ogni elemento non nullo ammette
  un inverso moltiplicativo.
\end{definition}

\begin{definition}
  Sia $ \R $ un anello commutativo si definisce l' \textbf{$ \R $-modulo} \index{$ \R $-modulo}
  un gruppo abeliano $ \M $ equipaggiato con un'operazione di moltiplicazione per uno scalare in $ \R $
  tale che $ \forall v,w \in \M $ e $ \forall a,b \in \R $ vale che:
  \begin{itemize}
  \item $ a(v + w) = av + aw $
  \item $ (a + b)v = av + bv $
  \item $ (ab)v = a(bv) $
  \end{itemize}
\end{definition}

\begin{osservation}
  Se $ \R $ è un campo allora l'$ \R $-modulo è uno spazio vettoriale.
\end{osservation}
Sostanzialmente la nozione di $ \R $-modulo generalizza agli anelli il concetto di spazio vettoriale sui campi.

\begin{osservation}
  Ogni gruppo abeliano $ \mathcal{G} $ è uno $ \Z $-modulo in modo univoco, cioè $ \mathcal{G} $ è un
  gruppo abeliano se e solo se è uno $ \Z $-modulo.
\end{osservation}
\begin{proof}
  Sia $ x \in \mathcal{G} $ si definisce l'applicazione di moltiplicazione per un elemento $ n \in \Z $ come
  \[
    nx =
    \begin{cases}
      \underbrace{ x + x + x + \dots}_{n \text{ volte}} & \text{se } n > 0 \\
      0 & \text{se } n = 0 \\
      \underbrace{ - x - x - x - \dots}_{|n| \text{ volte}} & \text{se } n < 0 \\
    \end{cases}
  \]
  Si verifica banalmente che questa operazione è ben definita e soddisfa
  le giuste proprietà perché la coppia $ (\mathcal{G}, \Z) $ sia uno $ \Z $-modulo.
  A questo punto non è possibile costruire applicazioni diverse che soddisfino le
  proprietà richieste infatti utilizzando la struttura di anello di $ \Z $ vale che
  $ n x = (1 + 1 + 1 + 1 + \dots) x = x + x + x \dots $, quindi quella definita
  è l'unica possibile.
\end{proof}

\newmathsymb{groupgen}{\langle\dots\rangle}{Gruppo generato}
\begin{definition}
  Un gruppo $ \mathcal{G} $ si dice \textbf{generato}\index{Gruppo generato} dai
  suoi elementi $ \set{x_1, x_2, \dots} \in \mathcal{G} $ se ogni suo elemento
  si può scrivere come combinazione lineare a elementi interi di
  $ x_1, x_2, \dots $, e in questo caso si indica
  $ \mathcal{G} = \langle \{ x_1, x_2, \dots \} \rangle $. Se l'insieme che
  genera $ G $ ha cardinalità finita si dice che il gruppo è \textbf{finitamente
    generato}\index{Gruppo finitamente generato}.
\end{definition}

\begin{definition}
  Un gruppo abeliano si dice \textbf{libero}\index{$ \Z $-modulo libero} se è generato
  da un numero finito di elementi linearmente indipendenti, il numero di tali elementi
  definisce il \textbf{rango}\index{Rango di gruppo abeliano} del gruppo.
\end{definition}

\begin{theorem}[Teorema di struttura per gruppi abeliani finitamente generati]
  Il \textbf{teorema di struttura per gruppi abeliani finitamente
    generati}\index{Teorema di struttura per gruppi abeliani finitamente
    generati} afferma che ogni gruppo abeliano finitamente generato $ G $ è isomorfo
  ad un gruppo della forma:
  \[
    G \cong \Z^r \oplus \Z_{p_1} \oplus \dots \Z_{p_n}
  \]
  dove $ r $ è il rango di $ G $ e $ p_i $ sono numeri primi non necessariamente
  distinti. I termini $ \Z_{p_i} $ sono detti di \textbf{torsione} in quanto i suoi
  elementi sono annullati da elementi non nulli di $ \Z $.
\end{theorem}
\begin{example}
  $ \Z_2 $ è di torsione in quanto l'elemento $ \bar{1} \in \Z_2 $ è annullato
  dalla moltiplicazione per qualunque numero pari in $ \Z $.
\end{example}

\begin{osservation}
  Un gruppo abeliano è \textbf{libero}\index{$ \Z $-modulo libero} se è la sua
  decomposizione non ha fattori di torsione, cioè se è della forma $ G \cong \Z^r $.
\end{osservation}

\begin{definition}
  Siano $ (X, \cdot) $ e $ (Y, \star) $ due gruppi, un \textbf{omomorfismo}
  \index{Omomorfismo} è un'applicazione continua $ f $ tra $ X $ e $ Y $ che
  preserva la struttura di gruppo, cioè tale che:
  \[
    \forall u,v \in X \quad f(u \cdot v) = f(u) \star f(v)
  \]
\end{definition}

\begin{osservation}
  Da questa definizione si trova immediatamente che gli omomorfismi si comportano bene nei
  confronti dell'inverso, cioè $ \forall v \in X $ vale che $ f(v^{-1}) = {f(v)}^{-1} $.
\end{osservation}

\newmathsymb{isom}{\cong}{Gruppi isomorfi}
\begin{definition}
  Un omomorfismo di gruppi abeliani biunivoco è detto
  \textbf{isomorfismo}\index{Isomorfismo}. Se tra due gruppi abeliani $ A, B $
  esiste un isomorfismo di gruppi abeliani allora si indica $ A \cong B $ e si
  dice che i gruppi sono isomorfi.
\end{definition}

\newmathsymb{quoz}{\quot{A}{B}}{Spazio quoziente tra $ A $ e $ B $}
\begin{definition}
  Siano $ \M $ un $ \R $-modulo e $ \N $ un suo sottomodulo, allora il \textbf{modulo
    quoziente} \index{Modulo quoziente} di $ \M $ con $ \N $ e definito da:
  \[
    \quot{\M}{\N} := \quot{\M}{\sim} \quad \text{dove } \sim \text{ è definita da: } x \sim y \Leftrightarrow x - y \in \N
  \]
  $ {\M} \slash {\sim} $ è l'insieme delle classi di equivalenza di $ \sim $ equipaggiate
  con operazioni indotte dall'$ \R $-modulo, cioè se $ [u], [w] \in {\M} \slash {\sim} $ e $ a \in \R $:
  \begin{itemize}
  \item $ [u] + [w] = [u + w] $
  \item $ a [u] = [au] $
  \end{itemize}
  In questo caso gli elementi di $ {\M} \slash {\N} $ sono le classi di equivalenza
  $ [m] = \set{ m + n | n \in \N } $.
\end{definition}

\begin{theorem}[Teorema fondamentale degli omomorfismi]\index{Teorema fondamentale degli omomorfismi}
  Sia $ f: \mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_2 $ un omomorfismo tra gruppi abeliani, allora vale che:
  \[
    \quot{\mathcal{G}_1}{\ker{f}} \cong \im{f}
  \]
\end{theorem}

% Voglio studiare gli omomorfismi tra $ \Z $-moduli.

\newmathsymb{ker}{\ker{f}}{Nucleo di $f$}
\newmathsymb{im}{\im{f}}{Immagine $ f$}
\begin{definition}
  Sia $ \phi: \M \to \N $ un omomorfismo tra gli $ \R $-moduli $ \M $ e $ \N $,
  allora si definisce il \textbf{nucleo} \index{Nucleo} e l'\textbf{immagine} \index{Immagine}:
  \[
    \ker {\phi} := \set{ m \in \M | \phi(m) = 0}  \qquad  \im{\phi} := \set{ m \in \N | \exists k \in M \text{ con } m = \phi(k)}
  \]
\end{definition}

\begin{osservation}
  $ \ker{\phi} $ e $ \im{\phi} $ sono $ \R $-sottomoduli, cioè sono sottoinsiemi di $ \M $ e $ \N $
  che posseggono la struttura di $ \R $-modulo.
\end{osservation}
Siano $ M_i $ $ \R $-moduli allora posso fare composizioni di omomorfismi, come:
\[
  \begin{tikzcd}
    \M_1 \rar{\phi_1} & \M_2 \rar{\phi_2} & \M_3
  \end{tikzcd}
  \text{ o equivalentemente }
  \begin{tikzcd}
    \M_1 \rar{\phi_2 \circ \phi_1} & \M_3
  \end{tikzcd}
\]

\begin{proposition}
  Se vale $ \phi_2 \circ \phi_1 = 0 $ allora $ \im{\phi_1} \subseteq \ker{\phi_2} $.
\end{proposition}
\begin{proof}
  Se $ u \in \im {\phi_1} $ allora $ \exists v \in \M_2 $ tale che $ \phi_1(v) = u $,
  ma $ \phi_2(u) = \phi_2(\phi_1(v)) = (\phi_2 \circ \phi_1)(v) = 0 $ per ipotesi, quindi $ u \in \ker{\phi_2} $.
\end{proof}
\eproof
% Mi interessano questi morfismi perché hanno un preciso significato geometrico che
% sarà chiaro successivamente.
Siccome $ \im{\phi} $ è sottomodulo di $ \ker{\phi} $ allora posso prendere
il quoziente:
\[
  \quot{\ker{\phi_2}}{\im{\phi_1}}
\]
Il modulo così costruito è un sottomodulo si $ \M_2 $, e si nota che questa
operazione è sensata solo se si impone la condizione $ \phi_2 \circ \phi_1 = 0 $,
altrimenti non c'è l'inclusione e quindi non è possibile fare l'operazione di
quoziente.

A questo punto ci sono due possibilità:
\begin{enumerate}
\item $ {\ker {\phi_2}} \slash {\im{\phi_1}} = 0 $, che significa che
  $ \ker {\phi_2} = \im{\phi_1} $ in quanto non ci sono elementi di
  $ \ker {\phi_2} $ fuori da $ \im{\phi_1} $, dato che l'unica classe di equivalenza
  presente è $ [0] $ e ciò significa che
  $ \forall m \in \ker{\phi_2} \; \exists n \in \im{\phi_1} $ tale che
  $ m - n = 0 $, cioè $ m $ e $ n $ coincidono e quindi
  $ \ker {\phi_2} = \im{\phi_1} $.
\item $ {\ker {\phi_2}} \slash {\im{\phi_1}} \not= 0 $, cioè $ \exists v \in \ker {\phi_2} $
  tale che $ v \not \in \im {\phi_1} $ e quindi $ \im {\phi_1} \subsetneq \ker {\phi_2}$.
\end{enumerate}
Nel primo caso si dice che la successione dei moduli $ \M $ e delle
applicazioni $ \phi $ è \textbf{esatta}\index{Complesso di moduli esatto} in $ \M_2$, nel secondo caso la
successione è detta \textbf{complesso di moduli}\index{Complesso di moduli}.
Sostanzialmente il modulo quoziente quantifica la non esattezza nel punto $ \M_2 $
della successione.

\begin{definition}
  $ H(\M_\bullet) = {\ker {\phi_2}} \slash {\im {\phi_1}} $ è detto \textbf{modulo di omologia} \index{Modulo di omologia}
  del complesso:
  \[
    \begin{tikzcd}
      M_1 \rar{\phi_1} & M_2 \rar{\phi_2} & M_3
    \end{tikzcd}
  \]
\end{definition}
% Per questo  $ H(\M_\bullet) $ quantifica quanto il complesso $ \M_\bullet $ non è esatto.
Questo deriva da problemi topologici concreti.

\begin{definition}
  La coppia $ (X, \mathcal{T}) $ è detta \textbf{spazio topologico}\index{Spazio topologico}
  (generalmente si omette la $ \mathcal{T} $)
  se $ \mathcal{T} $ è una \textbf{topologia}\index{Topologia}, cioè se è una collezione di insiemi di $ X $ tali che:
  \begin{enumerate}
  \item $ \emptyset, X \in \mathcal{T} $
  \item $ \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathcal{T} $ se $ A_n \in \mathcal{T} \; \forall n \in \mathbb{N} $
  \item $ \bigcap_{n \in \set{0,1,\dots,N} } A_n \in \mathcal{T} $ se $ A_n \in \mathcal{T} \; \forall n \in \set{0,1,\dots,N} $
  \end{enumerate}
  Gli elementi di $ \mathcal{T} $ sono detti \textbf{aperti}\index{Insiemi aperti}.
\end{definition}
\begin{osservation}
  Se $ \mathcal{T} $ è la collezione di tutti i sottoinsiemi di $ X $ allora le
  proprietà sono automaticamente verificate e questa è la \textbf{topologia
    discreta}\index{Topologia discreta}, invece
  $ \mathcal{T} = \set{\emptyset, X} $ è una topologia ed è la \textbf{topologia
    triviale}. Infine in $ \RN{n} $ si definisce la \textbf{topologia usuale}
  che è la topologia in cui gli aperti sono iperintervalli aperti del tipo
  $ (a_1,b_1) \times (a_2, b_2) \times (a_3, b_3) \dots \times (a_n, b_n) $. Si dimostra che se si
  ammettono intersezioni infinite invece di intersezioni finite come in questa
  definizione di topologia, allora la topologia usuale coincide con la topologia
  triviale in $ \RN{n} $.
\end{osservation}

\begin{osservation}
  Uno spazio metrico si può rendere topologico definendo gli insiemi aperti come gli intorni sferici aperti.
\end{osservation}

\begin{osservation}
  Sia $ A \subseteq X $ spazio topologico, si può rendere anche $ A $ uno spazio topologico equipaggiandolo con la
  \textbf{topologia indotta}\index{Topologia indotta} in cui gli aperti sono gli aperti di $ X $ intersecati
  con $ A $.
\end{osservation}
\begin{definition}
  Sia $ X $ uno spazio topologico con topologia $ \mathcal{T} $, una
  \textbf{base}\index{Base di uno spazio topologico} $ \mathcal{B} $ di $ X $ è
  una collezione di aperti $ \mathcal{B} = \set{U_\alpha} $ di $ \mathcal{T} $ tali
  che:
  \begin{enumerate}
  \item $ X = \bigcup_\alpha U_\alpha $, cioè $ \mathcal{B} $ è un ricoprimento per $ X $
  \item $ \forall A,B \in \mathcal{B} $ esiste $ C \in \mathcal{B} $ tale che $ A \cap B \subseteq C $
  \end{enumerate}
\end{definition}

\newmathsymb{incls}{\incl}{Inclusione}
\begin{definition}
  Sia $ A \subseteq X $ con $ X $ spazio topologico $ i: A \to X $ si definisce mappa di \textbf{inclusione}\index{Inclusione}
  e si scrive $ i: A \incl X $ se $ \forall a \in A $ vale che $ i(a) = a $.
\end{definition}

\begin{osservation}
  Uno spazio topologico è \textbf{connesso}\index{Spazio connesso} se si può scrivere come
  unione disgiunta di due suoi aperti.
\end{osservation}

\begin{definition}
  Un \textbf{arco}\index{Arco} in uno spazio topologico $ X $ tra i punti $ x_0 \in X $ e $ y_0 \in X $
  è una funzione continua da $ I = [0,1] $ a $ X $ tale che $ \alpha(0) = x_0 $ e $ \alpha(1) = y_0 $.
  Si dice che l'arco parte da $ x_0 $ e finisce in $ y_0 $.
\end{definition}

\begin{definition}
  Uno spazio topologico $ X $ si dice \textbf{connesso per archi}\index{Spazio
    connesso per archi} se $ \forall x, y \in X $ esiste un arco con punto iniziale
  $ x $ e punto finale $ y $.
\end{definition}

\begin{definition}
  Sia $ X $ uno spazio topologico, l'insieme $ \set{A_i | A_i \in X \; \forall i} $ è un \textbf{ricoprimento}\index{Ricoprimento}
  di $ X $ se:
  \[
    \bigcup_{i} A_i = X
  \]
  Se in particolare gli insiemi $ A_i $ sono aperti il ricoprimento è detto \textbf{ricoprimento aperto}.
\end{definition}

\begin{definition}
  Un insieme $ U $ è detto \textbf{compatto}\index{Insieme compatto} se per ogni suo possibile ricoprimento
  aperto ne esiste un sottoinsieme che è un ricoprimento \emph{finito} di $ U $.
\end{definition}

\begin{proposition}
  Si dimostra che:
  \begin{itemize}
  \item Se uno spazio è connesso o connesso per archi allora anche tutti i suoi quozienti lo sono.
  \item Se uno spazio è compatto anche tutti i suoi quozienti lo sono.
  \end{itemize}
  Inoltre ovviamente la mappa di proiezione al quoziente è suriettiva.
\end{proposition}

\newmathsymb{homo}{\simeq}{Spazi omeomorfi}
\begin{definition}
  Una mappa tra spazi topologici è detta \textbf{omeomorfismo}\index{Omeomorfismo} se è continua
  e ammette inverso continuo, cioè se è una mappa uno a uno. Se due spazi sono omeomorfi si utilizza
  il simbolo $ \simeq $.
\end{definition}
Siccome gli omeomorfismi sono mappe uno a uno, due spazi omeomorfi sono
essenzialmente identici. Inoltre, la relazione di omeomorfismo costituisce una
relazione di equivalenza.

% Molti degli strumenti sviluppati in questo corso servono a capire se due spazi
% sono omeomorfi o meno.

% lezione 3
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\section{Gruppo fondamentale}

\begin{definition}
  Sia $ X $ uno spazio topologico e $ x_0 $ un suo punto, allora un \textbf{laccio}\index{Laccio} è un arco in $ X $
  avente come punto di partenza e punto di arrivo il punto $ x_0 $. Un laccio $ C_{x_0} $ si dice \textbf{costante} se $ \forall t \in I $
  $ C_{x_0}(t) = x_0 $ con $ x_0 \in X $.
\end{definition}
\noindent
Vorrei strutturare l'insieme dei lacci in uno spazio $ X $ come un gruppo con l'operazione di giunzione
e avente come unità il laccio costante.

\begin{definition}
  Siano $ f, g $ due lacci, si definisce l'operazione $ \star $ detta \textbf{cammino
    composto}, o \textbf{giunzione}, \index{Cammino composto}
  \index{Giunzione!\vedi{Cammino composto}} come:
  \[
    (f \star g)(t) =
    \begin{cases}
      f(2t) & \text{se } 0 \leq t \leq \frac{1}{2} \\
      g(2t -1) & \text{se } \frac{1}{2} \leq t \leq 1
    \end{cases}
  \]
\end{definition}
Il cammino composto è un laccio di base $ x_0 $ percorso a velocità doppia,
metà del tempo percorso su $ f $ l'altra metà su $ g $.
Il problema di questa costruzione è non sempre la giunzione di un laccio con il
suo inverso è il laccio costante. Per questo si passa al quoziente rispetto la
relazione di omotopia.

\begin{definition}
  Sia $ X $ uno spazio topologico e $ x_0 \in X $ un suo punto, allora la coppia $ (X, x_0) $ è detta \textbf{spazio topologico puntato}.
  \index{Spazio topologico puntato}
\end{definition}

\newmathsymb{homotop}{\sim_H}{Relazione di omotopia}
\begin{definition}
  Sia $ (X, x_0) $ uno spazio topologico puntato e $ f: I \to X $ una mappa continua tale che $ f(0) = f(1) = x_0 \; \forall t \in I $,
  cioè un laccio di base $ x_0 $,
  si dice che una funzione continua $ g $ è \textbf{omotopicamente equivalente} a $ f $ ($ g \sim_H f $) se esiste una funzione
  continua $ F \colon I \times I \to X $ tale che:
  \begin{itemize}
  \item $ F(0,x) = f(x) \; \forall x \in I $
  \item $ F(1,x) = g(x) \; \forall x \in I $
  \item $ F(t,0) = x_0 \; \forall s \in I $
  \item $ F(t,1) = x_0 \; \forall s \in I $
  \end{itemize}
  La relazione $ \sim_H $ è detta \textbf{relazione di omotopia tra lacci}\index{Relazione di omotopia} \index{Omotopia! \vedi{Relazione di omotopia}}
  e si dimostra essere una relazione di equivalenza.
\end{definition}

\begin{figure}[htbp]
  \centering
  \begin{tikzpicture}
    \draw (0, 0) rectangle (3,3);
    \draw[-Latex] (-0.5, 1) -- (-0.5, 2);
    \draw[-Latex] (1, -0.5) -- (2, -0.5);
    \node[left] () at (-0.5, 1.5) {$ t $};
    \node[below] () at (1.5, -0.5) {$ x $};
    \node[right] () at (0, 1.5) {$ x_0 $};
    \node[left] () at (3, 1.5) {$ x_0 $};
    \node[above] () at (1.5, 0) {$ f(x) $};
    \node[below] () at (1.5, 3) {$ g(x) $};
    \draw (0,2) -- (3,2);
    \draw[-Latex] (0, 2) -- (1.5, 2);
    \node[below] () at (1.5, 2) {$ F(t,x) $};
    \draw (6,1.5) circle [x radius=2, y radius=1];
    \node[above] () at (6, 2.5) {$ f $};
    \draw (6, 1.5) circle (0.5);
    \node[above] () at (6, 1.5) {$ g $};
    \draw[-Latex] (4.5, 1.5) -- (5, 1.5);
    \draw[-Latex] (7.5, 1.5) -- (7, 1.5);
  \end{tikzpicture}
  \caption{Omotopia: deforma $ f $ in $ g $ in modo continuo.}
  \label{fig:lez3:homotopy}
\end{figure}
\newmathsymb{fondgroup}{\pi_1}{Gruppo fondamentale}
\begin{definition}
  Dato uno spazio topologico puntato $ (X,x_0) $ si definisce il \textbf{gruppo
    fondamentale}\index{Gruppo fondamentale} come l'insieme:
  \[
    \pi_1(X,x_0) = \quot{\set{f \colon I \to X | f \text{ continua}, f(0) = f(1) = x_0}}{\sim_H}
  \]
  equipaggiato con un'operazione l'operazione di giunzione, cioè se
  $ [f], [g] \in \pi_i(X,x_0) $, si definisce $ [f][g] := [f \star g] $, l'elemento
  neutro di questa operazione è il cammino costante
  $ 1_{\pi_1(X,x_0)} = [C_{x_0}] $ con $ C_{x_0}(t) = x_0 \; \forall t $. L'inverso di
  un elemento invece è $ [f]^{-1} = [\bar{f}] $ dove $ \bar{f} $ è il cammino
  percorso in verso opposto, cioè definito da $ \bar{f}(t) = f(1-t) $, in questo
  modo $ \bar{f}(0) = f(1) $ e $ \bar{f}(1) = f(0) $.
\end{definition}

Alcune proprietà del gruppo fondamentale:
\begin{enumerate}
\item $ \pi_1(X,x_0) $ è invariante omotopico, cioè se $ X \sim_H Y $, cioè se
  \[
    \exists f: X \to Y, g: Y \to X \; | \; f \circ g \sim_H 1_Y \text{ e }  g \circ f \sim_H 1_X
  \]
  allora $ \pi_1(X,x_o) \cong \pi_1(Y,f(x_0)) $. Questo in particolare porta alla seguente
  utile osservazione:
  \begin{osservation}
    Se due spazi topologici puntati hanno gruppi fondamentali non isomorfi allora
    non possono essere omotopicamente equivalenti.
  \end{osservation}
\item Se $ X $ è \textbf{contraibile}\index{Spazio contraibile} (cioè è
  omotopo ad un punto) allora vale che $ \pi_1(X,x_0) \cong 1 $, cioè il gruppo
  fondamentale è banale.
\item Si dimostra che:
  \begin{proposition}
    Se uno spazio tologico $ X $ è connesso per archi allora tutti i gruppi fondamentali
    degli spazi puntati $ (X,x_0) $ sono isomorfi, cioè si può omettere la dipendenza da $ x_0 $.
  \end{proposition}
  Questo intuitivamente è vero perché se gli spazi sono connessi per archi allora esistono cammini
  che collegano qualunque coppia di punti.
\end{enumerate}

\begin{definition}
  Uno spazio topologico connesso per archi si dice \textbf{semplicemente connesso}\index{Semplicemente connesso}
  se il suo gruppo fondamentale è banale.
\end{definition}

\begin{osservation}
  Tutti gli spazi contraibili sono semplicemente connessi, ma non tutti gli
  spazi semplicemente connessi sono contraibili, come ad esempio $ \Sph{2} $.
  Non è banale dimostrare che $ \Sph{2} $ non è contraibile, il modo più
  semplice per farlo richiede strumenti più avanzati che verranno sviluppati più
  avanti durante il corso.
\end{osservation}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
\item $ \pi_1(\Sph{1}) \cong \Z $, infatti si può costruire la mappa:
  \begin{align*}
    \sigma \colon I & \to \Sph{1} \\
    t & \mapsto  \me^{2 \pi i t}
  \end{align*}
  Questa è tale che $ \sigma(0) = \sigma(1) = 1 $ quindi $ [\sigma] \in \pi_1(\Sph{1}) $ e:
  \begin{align*}
    \pi_1(\Sph{1}) & \to \Z \\
    [\sigma] & \mapsto  1
  \end{align*}
  Ogni elemento è multiplo di $ \sigma $ e il fattore di proporzionalità conta il numero di avvolgimenti
  con segno del cammino su sé stesso.
\item $ \pi_1(X \times Y) \cong \pi_1(X) \times \pi_1(Y) $
\item Il gruppo fondamentale si calcola o partendo da gruppi omotopi oppure utilizzando il \textbf{teorema di Seifert–van Kampen}, \index{Teorema di Seifert–van Kampen}
  il quale fornisce un metodo algoritmico per il calcolo.
\end{enumerate}

\begin{example}
  Si definisce:
  \[
    V_g =
    \begin{cases}
      \Sph{2} & \text{ se } g = 0 \\
      P_{\frac{4g}{N}} & \text{ se } g \geq 1 \in \mathbb{N}
    \end{cases}
  \]
  con $ P_{\frac{k}{N}} $ poligono con $ k $ lati e con identificazioni a coppie, come
  ad esempio nel caso $ g = 1 $ si ottiene un toro piatto identificando lati opposti
  di un quadrato.
  \begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{subfigure}[htbp]{.45\linewidth}
      \centering{}
      \begin{tikzpicture}
        \fill[gray!20] (0,0) rectangle (3,3);
        \draw (0,0) rectangle (3,3);
        \draw[-Latex] (0,0) -- (0,1.5);
        \draw[-Latex] (3,3) -- (1.5,3);
        \draw[-Latex] (3,0) -- (3,1.5);
        \draw[-Latex] (0,0) -- (1.5,0);
        \node[left] () at (0,1.5) {$ a $};
        \node[above] () at (1.5,3) {$ b $};
        \node[right] () at (3,1.5) {$ a $};
        \node[below] () at (1.5,0) {$ b $};
      \end{tikzpicture}
      \caption{Toro}
      \label{fig:lez3:clifford_torus}
    \end{subfigure}
    \begin{subfigure}[htbp]{.45\linewidth}
      \centering
      \def\svgwidth{0.9\textwidth}
      \input{images/torus_generators.pdf_tex}
      \caption{Generatori di un toro}
      \label{fig:lez3:torus_generators}
    \end{subfigure}
    \label{fig:lez3:torus}
    \caption{Toro}
  \end{figure}
  Si usano simboli combinatori per descrivere l'identificazione: si definisce un verso di percorrenza, si assegnano delle lettere a ciascun
  lato e si scrivono in ordine tali lettere, aggiungendo un esponente $ -1 $ quando il verso di percorrenza è opposto. In questo caso quindi
  si ha $ aba^{-1}b^{-1} $. Questo si estende a poligoni con $ 4g $ lati e si usa l'identificazione
  $ a_1 b_1 a_1^{-1} b_1^{-1} \dots a_g b_g a_g^{-1} b_g^{-1} $.

  Si dimostra che queste sono varietà topologiche nel senso che verrà ora
  riportato, in particolare per $ g = 1 $ si ha un toro, per $ g = 2 $ un
  bitoro, \dots. $ g $ è detto \textbf{genere}\index{Genere}.

  \begin{definition}
    Una \textbf{varietà topologica}\index{Varietà topologica} $ \M $ è uno spazio topologico
    che localmente sembra uno spazio reale $ n $-dimensionale, cioè tale che esiste un
    interno $ n $ detto \textbf{dimensione}\index{Dimensione di una varietà topologica}
    tale ogni punto in $ \M $ possiede un intorno che è omeomorfo a $ \RN{n} $.
  \end{definition}
  Si trova con il teorema di Seifert-Van Kampen che:
  \[
    \pi_1(V_g) \cong
    \begin{cases}
      1 & \text{se } g = 0 \\
      \Z \oplus \Z & \text{se } g = 1 \\
      \langle a_1 b_1 \dots \Pi_{i=1}^g [a_i,b_i] = 1 \rangle & \text{se } g > 1
    \end{cases}
  \]
  Dove $ [,] $ è il commutatore, cioè esattamente $ a_1 b_1 a_1^{-1} b_1^{-1} \dots a_g b_g a_g^{-1} b_g^{-1} $.
  Solo per $ g = 0 $ o $ g = 1 $ si ottengono dei gruppi abeliani, ma io vorrei averlo sempre abeliano, quindi lo abelianizzo.
  \[
    \Ab{\pi_1(X)} = \quot{\pi_1(X)}{[\pi_1(X), \pi_1(X)]} = \quot{\pi_1(X)}{\pi_1'(X)}
  \]
  Chiaramente questo gruppo è abeliano e si calcola facilmente che $ \Ab{\pi_1(V_g)} \cong \Z^{2g} $ per $ g \geq 2 $,
  infatti il gruppo è generato su $ 2 g $ generatori $ a_1, b_1, a_2, b_2, \dots, a_g, b_g $ e poi
  si impone la relazione di identificazione e i commutatori diventano tutti banali.
  Si vedono facilmente anche i generatori, ad esempio per un toro sono riportati in figura.
  % L'abelianizzato è uno $ \Z $-modulo essendo un gruppo abeliano.
\end{example}


\subsection{Omomorfismo tra $ \RN{} $ e $ \RN{N} $}


\begin{proposition}
  Se $ f:X \to Y $ è una mappa continua suriettiva tra spazi topologici e se
  $ X $ è connesso per archi allora $ Y $ è connesso per archi. Questo vale in
  particolare se $ f $ è un omeomorfismo, cioè la connessione per archi è una
  proprietà invariante per omeomorfismi.
\end{proposition}

\begin{proof}
  Siano $ y_0, y_1 $ due punti di $ Y $. La funzione $ f $ è suriettiva, e
  dunque esistono $ x_0 $ e $ x_1 $ in $ X $ tali che $ f(x_0)=y_0 $ e
  $ f(x_1)=y_1 $. Dato che $ X $ è connesso, esiste un cammino
  $ \alpha:[0,1] \to X $ tale che $ \alpha(0)=x_0 $ e $ \alpha(1)=x_1 $. Ma la composizione di
  funzioni continue è continua, e quindi il cammino ottenuto componendo
  $ \alpha $ con $ f $: $ f \circ \alpha : [0,1] \to X \to Y $ è un cammino continuo che parte da
  $ y_0 $ e arriva a $ y_1 $.
\end{proof}
\eproof
Si sa inoltre che:
\begin{proposition}
  $ \RN{n} $ è connesso per archi $ \forall n \in \mathbb{N} $.
\end{proposition}

È noto che $ \RN{} \not \simeq \RN{N} $ per $ n \geq 2 $, infatti basta togliere un punto a $ \RN{} $ che diventa sconnesso per archi
mentre $ \RN{N} $ rimane connesso per archi anche togliendogli un punto. In questa dimostrazione ho utilizzato
il seguente risultato fondamentale:
\begin{proposition}
  Se $ f: X \to Y $ è omeomorfismo tra spazi topologici allora $ f \rvert_U : U \to f(U) $ è omeomorfismo per ogni $ U \subseteq X $.
\end{proposition}
Nel caso considerato $ U = \Sph{n} \setminus {x_0} $, siccome ho trovato un
$ U $ per cui la funzione ristretta non è omeomorfismo $ f $ non può essere
omeomorfismo. Infatti l'immagine di un punto rimane un punto.

\noindent
Questo risultato vale anche che $ \RN{2} \not \simeq \RN{N} $ per $ n \geq 3 $, infatti:

\newmathsymb{homoto}{\homoto}{Omeomorfismo}
\begin{proof}
  Per assurdo $ f : \RN{2} \homoto \RN{N} $ è un omeomorfismo con
  $ n \geq 3 $, tolgo un punto da $ \RN{2} $, se $ f $ omeomorfismo anche la restrizione deve essere omeomorfismo, cioè
  $ \forall p \in \RN{2} \quad f:\RN{2} \setminus \set{p} \homoto \RN{N} \setminus \set{f(p)} $.
  Ma $ \RN{2} \setminus \set{p} \simeq \RN{} \times \mathcal{S}^1 $ con la mappa
  $ \vec{x} \mapsto \left( || \vec{x} ||, \frac{\vec{x}}{|| \vec{x} ||} \right) $ (dopo aver fatto
  una traslazione di $ p $ nell'origine, operazione che è certamente un omeomorfismo).
  % In pratica sto dicendo che il piano senza un punto è omeomorfo ad un cilindro infinito.
  Analogamente $ \RN{n} \setminus \set{f(p)} \simeq \RN{} \times \Sph{n-1} $. Quindi se esiste un omeomorfismo tra $ \RN{2} $ e
  $ \RN{n} $ significherebbe che $ \RN{} \times \Sph{1} \simeq \RN{} \times \Sph{n-1} $, ma quindi i gruppi fondamentali
  dovrebbero essere isomorfi:
  $ \pi_1 (\RN{} \times \Sph{1}) \simeq \pi_1(\RN{}\times \Sph{n-1}) $ ma
  $ \pi_1 (\RN{} \times \Sph{1}) = \Z $ infatti il gruppo fondamentale di un prodotto è il prodotto dei gruppi
  fondamentali e $ \pi_1(\RN{}) = 1 $, $ \pi_1(\Sph{1}) = \Z $ dato che i lacci omotopicamente distinti
  sono quelli che avvolgono il buco un numero differente di volte. Analogamente $ \pi_1(\RN{}\times \Sph{n-1}) = 1 $
  perché le sfere sono contraibili. Trovo quindi che dovrebbero essere isomorfi $ \pi_1 (\RN{} \times \Sph{1}) = \Z $
  e $ \pi_1(\RN{}\times \Sph{n-1}) = 1 $ che è assurdo.
\end{proof}
\hfill \newline \newline \noindent
Ho quindi dedotto proprietà topologiche a partire da considerazioni algebriche (con il gruppo fondamentale).
Il gruppo fondamentale è un invariante algebrico per problemi topologici, provo ad utilizzarlo per mostrare
l'analogo risultato per $ \RN{3} $.

% \begin{definition}
%   Si definisce il \textbf{gruppo fondamentale}\index{Gruppo fondamentale} di uno spazio topologico $ X $
%   connesso per archi attorno al punto $ x_0 \in X $
%   \[
%     \pi_1 (X, x_0) = \quot{\set{ g: \Sph{1} \to X | g \text{ continua}, g(1) = x_0}}{\sim}
%   \]
%   e $ \sim $ è la relazione di omotopia: $ g_1 \sim g_2 $ se $ \exists G: \mathcal{S}^1 \times I \to X  $ tale che
%   $ G(z,0) = g_1(z), G(z,1) = g_2(z), G(1,t) = x_o $ con $ G $ continua. In questo vedo $ \Sph{1} $ come sottospazio
%   di $ \RN{2} $ con la topologia indotta (il punto $ 1 $ è un punto della circonferenza vedendola come
%   insieme nello spazio complesso $ \Sph{1} = \set{ z \in \mathbb{C} | |z| = 1} $).
% \end{definition}
% Sostanzialmente il gruppo fondamentale è l'insieme dei lacci quozientato rispetto alla relazione di omotopia.
% Infatti $ g $ è un laccio dato che è un arco e il punto di partenza e il punto di arrivo necessariamente
% coincidono dato che $ g $ è definito su $ \Sph{1} $.
% Questo perché l'insieme dei lacci non è strutturabile come gruppo in quanto il laccio costante non è
% l'unità.

\begin{proposition}
  Non esiste omomorfismo tra $ \RN{3} $ e $ \RN{N} $.
\end{proposition}

\begin{proof}
  Come nel caso precedente suppongo esiste $ f $ omeomorfismo tra $ \RN{3} $ a
  $ \RN{n} $, tolgo $ q $ da $ \RN{3} $ e $ f(q) $ da $ \RN{n} $, quindi ottengo
  l'omomorfismo tra $ \RN{} \times \Sph{2} \simeq \RN{} \times \Sph{n-1} $, ma i gruppi
  fondamentali associati sono banali, quindi sono isomorfi, e non è possibile
  replicare il ragionamento utilizzato sopra.
\end{proof}
\hfill \newline \newline \noindent
Poincaré introdusse i gruppi di  omotopia superiore per risolvere questo e altri problemi.
\begin{definition}
  Si definiscono i \textbf{gruppi di omotopia superiore}\index{Gruppi di omotopia superiore} di uno spazio topologico $ X $
  attorno al punto $ x_0 $ per $ k \geq 2 $:
  \[
    \pi_k(X) (X, x_0) = \quot{\set{ g: \Sph{k} \to X | g \text{ continua}, \; g(p_0) = x_0}}{\sim}
  \]
  Con $ p_0 \in \Sph{k} $ e $ \sim $ relazione di omotopia.
\end{definition}
Studiare i gruppi di omotopia superiore è un problema aperto della topologia moderna.
Tuttavia si sa che:
\begin{enumerate}
\item $ \pi_k(\Sph{m}) = 1 \quad \text{per} \quad 1 \leq k < m \quad (m > 2)$
\item $ \pi_m(\Sph{m}) \simeq \Z \quad \text{per} \quad k = m $
\item $ \pi_1(\Sph{2}) = 1 $
\item $ \pi_2(\Sph{2}) \simeq \Z $
\item $ \pi_3(\Sph{2}) \simeq \Z $\footnote[$\dagger$]{Questo dà origine alla fibrazione di Hopf che ha molte applicazioni in fisica.}
\end{enumerate}

% Anche se non so calcolare i gruppi di omotopia superiore non vorrei buttarli via \dots
% Vorrei degli invarianti algebrici per problemi topologici, come i gruppi di omotopia.
Per evitare di utilizzare i gruppi di omotopia superiore è conveniente introdurreq i gruppi di omologia.


%%% Local Variables:
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