Расширенным кодом Голея называется (24, 12, 8) код с порождающей матрицей:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | a | b | c | d | e | f | g | h | i | j | k | l | m | n |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
Можно показать, что для декодирования любых трех ошибок достаточно рассмотреть следующие перестановки столбцов, для каждой из которых информационная совокупность (ИС) формируется из первых 12 столбцов:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | a | b | c | d | e | f | g | h | i | j | k | l | m | n |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | c | d | e | 3 | 4 | 5 | f | g | h | i | j | k | 6 | 7 | 8 | l | m | n | 9 | a | b |
| 0 | 1 | 2 | i | j | k | c | d | e | 6 | 7 | 8 | l | m | n | 3 | 4 | 5 | 9 | a | b | f | g | h |
| 0 | 1 | 2 | l | m | n | i | j | k | 3 | 4 | 5 | 9 | a | b | c | d | e | f | g | h | 6 | 7 | 8 |
| 0 | 1 | 2 | 9 | a | b | l | m | n | c | d | e | f | g | h | i | j | k | 6 | 7 | 8 | 3 | 4 | 5 |
| 0 | 1 | 2 | f | g | h | 9 | a | b | i | j | k | 6 | 7 | 8 | l | m | n | 3 | 4 | 5 | c | d | e |
| 0 | 1 | 2 | 6 | 7 | 8 | f | g | h | l | m | n | 3 | 4 | 5 | 9 | a | b | c | d | e | i | j | k |
| c | d | e | f | g | h | i | j | k | l | m | n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | a | b |
| i | j | k | 6 | 7 | 8 | l | m | n | 9 | a | b | 0 | 1 | 2 | c | d | e | 3 | 4 | 5 | f | g | h |
| l | m | n | 3 | 4 | 5 | 9 | a | b | f | g | h | 0 | 1 | 2 | i | j | k | c | d | e | 6 | 7 | 8 |
| 9 | a | b | c | d | e | f | g | h | 6 | 7 | 8 | 0 | 1 | 2 | l | m | n | i | j | k | 3 | 4 | 5 |
| f | g | h | i | j | k | 6 | 7 | 8 | 3 | 4 | 5 | 0 | 1 | 2 | 9 | a | b | l | m | n | c | d | e |
| 6 | 7 | 8 | l | m | n | 3 | 4 | 5 | c | d | e | 0 | 1 | 2 | f | g | h | 9 | a | b | i | j | k |
| 3 | 4 | 5 | 9 | a | b | c | d | e | i | j | k | 0 | 1 | 2 | 6 | 7 | 8 | f | g | h | l | m | n |
Необходимо продекодировать нижеприведенные вектора в коде Голея. В ответе необходимо указать соответствующее кодовое слово, вектор ошибки (в виде номеров ошибочных позиций), а также промежуточные результаты рассмотрения вышеприведенных информационных совокупностей. Пример оформления ответа:
- Иванов Иван Иванович, гр. M1234
- Вариант: 0
- Кодовое слово: 000000000000000000000000
- Вектор ошибки: 1abc
- <Для каждой ИС нужно привести порождающую матрицу, приведенную к систематическому виду на позициях из этой ИС, и соответствующие оценки вектора ошибки>