1991-01-16_MST-Stuttgart

Fachausschuß Mikrosystemtechnik in der
VDE/VDI-Gesellschaft Mikroelektronik und
Hahn-Schickard-Gesellschaft für angewandte Forschung e.V.

Vortragsveranstaltung

Mikrosystemtechnik

Max-Planck-Institut für Festkörperforschung,
Stuttgart-Büsnau

16. Januar 1991


"Modellierung mikromechanischer Sensoren mit der Methode der Finiten Elemente"

Th.Fabula, B.Schmidt

Hahn-Schickard Institut für Mikro- und Informationstechnik,
Villingen-Schwenningen


Modellierung mikromechanischer Sensoren mit der Methode der Finiten Elemente


Th.Fabula, B.Schmidt

Hahn-Schickard-Institut für Mikro- und Informationstechnik,
Villingen-Schwenningen


	A.)	Statische Berechnungen am Beispiel eines piezoresistiven Silizium-Drucksensors


	B.)	Dynamische Berechnung eines resonanten Kraftsensors auf Quarzbasis
──────────────────────────
Hahn-Schickard-Institut für Mikro- und Informationstechnik, Villingen-Schwenningen
──────────────────────────



Modellierung mikromechanischer Sensoren mit der Methode der Finiten Elemente

Th.Fabula, B.Schmidt



	A.)	Statische Berechnungen am Beispiel eines piezoresistiven Silizium-Drucksensors


	B.)	Dynamische Berechnung eines resonanten Kraftsensors auf QuarzbasisGliederung 

	A.)	Statische FEM-Berechnungen

		▪ 2D FEM-Berechnung
		▪ Nichtlineare Effekte
		▪ 3D-Membranstrukturen
		▪ Sensorkennlinie


	B.)	Dynamische FEM-Berechnungen

		▪ Modalanalyse
		▪ Kraft-Frequenz-Kennlinie
		▪ Frequenzganganalyse
		▪ Temperaturabhängigkeit


A.) Statische FEM-Berechnungen 
Beispiel:	piezoresistiver Silizium-Drucksensor


	▪ Funktionsprinzip:
	Druckbeaufschlagung p ⇒ Membranauslenkung ⇒
	⇒ Membranspannung σ ⇒ Widerstandsänderung


	▪ Sensorkennlinie ist charakterisiert durch:
		• Druckempfindlichkeit
		• Linearität
		• Temperaturempfindlichkeit
		• Überlasteigenschaft


	▪ Einflußgrößen:
		• Materialeigenschaften
		• Kristallorientierung
		• Membrangeometrie
		• Widerstandsdesign
		• Aufbau- und Verbindungstechnik

Δρi/ρ =  πikσk = f(Δp)

Spannungsverlauf: Membranoberfläche
1.) analytische Lösung (lineare Kirchhoffsche Theorie)

	σR(r) = 3/8  (a/h)2  [(3+ν)(r/a)2 - (1+ν)]  Δp
	σT(r) = 3/8  (a/h)2  [(1+3ν)(r/a)2 - (1+ν)]  Δp



Widerstandsänderung:

ΔR/R = πLσL + πTσT = f(Δp)


Beispiel:	• quadratische Si(100)-Membran


		• p-dotierte Si-Widerstände in <110>-Richtung:
				Π := πL ≈ - πT ≈ 710-10 Pa-1

		• trans. und long. Widerstandsdesign

		• Wheatstonesche Brückenschaltung:

ΔR/R ≈ Π(σL - σT) ≈ ΠσL (1 - ν)
2.) FEM-Lösung (zweidimensionales Modell)

[K]{u} = {F}

Berechnung einer dünnen Silizium-Membranstruktur:

	• Membranabmessung:	100 μm x 100 μm
	• Membrandicke:			h = 1 μm
  	• Druckbeaufschlagung:	Δp = 1 bar = 105 Pa


Spannungsverlauf: Membranoberfläche


Spannung σX (N/mm2)

 k,m 			σX 			σY 

Membrandruck (mbar)


Si(100)			[110]		[110]

Widerstandslayout

Berechnete Spannungsverteilung


		• max. Zugspannung:	σX ≈ 2.7  108 Pa
  	• max. Auslenkung:	UZ ≈ 0.8 μm


Positionierung der piezoresistiven Widerstände im Bereich größter Biegespannungen
3.) Nichtlinearität der Kennlinie
	▪ Membran-Nichtlinearität:
		Dehnung der neutralen Ebene durch zusätzliche innere Zugspannung σZug ( ∼ p2  (a/h)6 )
		FEM:   große Auslenkungen (≈Membrandicke)
			⇒  Spannungsversteifung der Membran


	▪ Nichtlinearität des piezoresistiven Effektes:

			Δρi/ρ  =  πikσk + πikmσkσm + ...

		(Kompensation durch eine Wheatstone-Brücke mit long. und trans. Widerstandsdesign)


	▪ temperaturbedingte Nichtlinearitäten:
		FEM:  temp.abh. Materialeigenschaften: Eik(T)


	Finite-Elemente-Modellierung:
	⇒	Minimierung des Linearitätsfehlers NL
	⇒	Maximierung der Druckempfindlichkeit S

Nichtlineare FE-Berechnungen


	• Material-Nichtlinearität (anisotroper E-Modul)

	• verschiedene Materialien (Si, SiO2, Si3N4, Pyrex ...) 

	• Spannungsversteifung der Membran:  K = f(Δp)

	• große Auslenkungen ( ≈ Membrandicke)

	• temperaturabhängige Materialeigenschaften


FEM   ⇒   Iterative Lösungsalgorithmen nötig
3D-Membranstrukturen
Berücksichtigung von:	• Membraneinspannung
						• Membranstrukturierung
						• Materialanisotropie

ebene Si(100)-Membran


Si(100)-Membran mit einfach-BOSS


Si(100)-Membran mit zweifach-BOSS


B.) Dynamische FEM-Berechnungen
Beispiel:	
Quarzdoppelstimmgabel als resonanter Kraftsensor

▪ Funktionsprinzip:
	Kraftbeaufschlagung ⇒ Resonatorvorspannung ⇒
	Resonanzfrequenzänderung Δf


	• l = 5 mm, w = 0.2 mm, t = 0.1 mm
	• anisotroper E-Modul (Z-Schnitt)
	• Eigenfrequenzen:	f ∼ w/l2  √(E/ρ)


1.) Modalanalyse:		[M]{u} + [K]{u} = 0

	• Berechnung der Eigenfrequenzen fi
	• Berechnung der Eigenschwingungsformen


Modenspektrum der 
Quarz-Doppelstimmgabel


	• Biegeschwingungen in z-Richtung
	• Biegeschwingungen in y-Richtung
	• überlagerte Schwingungszustände (x-y-z)


Frequenz (kHz)

Temperatur (°C)

3.) Frequenzganganalyse:
	• harmonische Anregung: 	{F(t)} = {F0}eiωt
	• Dämpfungsmatrix C wird bezogen auf die Massen-
	  und Steifigkeitsmatrix M, K:
[C] = α[M] + β[K] + [sonst. Beiträge]
Frequenz (kHz)

x		y		z

1.		2.		3.		4.		5.

mode #		f (kHz)


43.2	47.9	92.9	131.8	134.09

y-S1	y-A1	y-S2	y-A2	y-S3
Eigenschwingungsformen


Eigenschwingungsform
Resonanzfrequenz:	f ≈ 23.0 kHz
	(leff = 3.011 mm, weff = 0.88 mm)

Kraftempfindlichkeit: 	
	• analytisch:		ηtheo ≈ 53.4 %/N
	• numerisch:		ηFEM ≈ 51.5 %/N

	⇒  Abweichung: 	(ηtheo - ηFEM)/ηtheo = 3.6 %

Sensorkennlinie


force vs. frequency

force-frequency characteristics

flexure mode shapes


2.) Kraft-Frequenz-Kennlinie

• Steifigkeitsänderung infolge Vorspannung S:
[M]{u} + ([K] + [S]){u} = 0

• Kraftempfindlichkeit		η = Δf/Δσ  1/fi = f(S)

Abhängigkeit der Kraftempfindlichkeit η von der Stimmgabelbreite w:
η ∼ 1/E  (l/w)2  F/(wt)



S = Δf/ΔF  1/f0 ≈ 1.8 ‰/N
NL < 0.1 %  (full scale)

force F (N)			frequency f (kHz)


Mode i

ηrel 			k,m 

Stimmgabelbreite w/w0

w0 = 0.2 mm


3.) Frequenzganganalyse

Berechnung des Amplitudenspektrums A(f):

[M]{u} + [C]{u} + [K]{u} = {F(t)}

(mechanische Anregung F(t), konstante Dämpfung)


Bestimmend für mikromechanischen Resonator:
	• mechanische Schwingungsgüte Q (∼1/Dämpfung)
	• Unimodalität im Arbeitsbereich
4.) Temperaturabhängigkeit

Berechnung der Temperaturabhängigkeit der Resonanzfrequenz f0(T) des Schwingungsmodes y-A1:

• therm. Ausdehnung:	α = f(T)		⇒	l=l(T)
• E-Modul cik:			cik = f(T)	⇒	[K]


Temperaturverhalten abhängig von:
	• Quarz-Kristallschnitt
	• Resonatorabmessungen

Zusammenfassung


Am Hahn-Schickard-Institut für Mikro- und Informationstechnik wurde mit Hilfe von FEM-Berechnungen untersucht:


▪	Verhalten miniaturisierter Si-Drucksensoren (Membran-Abmessungen: 100 μm x 100 μm)

▪	Verbesserung der Linearität bei piezoresistiven Drucksensoren durch Strukturierung der Membranen

▪	Einsatzmöglichkeiten der dynamischen FEM-Berechnungen für resonanten Sensoren unter Einbeziehung thermischer und nichtlinearer Effekte
Ergebnisse


Zur Modellierung mikromechanischer Sensoren wurden für die gezeigten Anwendungen parametrisierte FE-Modelle erstellt.


Diese ermöglichen:

	1.)	Modellierung von Sensorkonzepten

	2.)	Optimierung des Sensordesigns

	3.)	Berücksichtigung prozeßtechnischer Einflüsse