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그래프1(그래프, DFS, BFS, 이분그래프, 사이클, 플러드 필)

관련 문제들

[issue]에 대한 정리

[#issue1] 그래프의 개념과 적용 사례

* 그래프란
    * 단순히 노드(N, node)와 그 노드를 연결하는 간선(E, edge)을 하나로 모아 놓은 자료 구조
    * 즉, 연결되어 있는 객체 간의 관계를 표현할 수 있는 자료 구조이다.
    
* 그래프 관련 용어
    * 정점(vertex): 위치라는 개념. (node 라고도 부름)
    * 간선(edge): 위치 간의 관계. 즉, 노드를 연결하는 선 (link, branch 라고도 부름)
    * 인접 정점(adjacent vertex): 간선에 의 해 직접 연결된 정점
    * 정점의 차수(degree): 무방향 그래프에서 하나의 정점에 인접한 정점의 수
      * 무방향 그래프에 존재하는 정점의 모든 차수의 합 = 그래프의 간선 수의 2배
    * 진입 차수(in-degree): 방향 그래프에서 외부에서 오는 간선의 수 (내차수 라고도 부름)
    * 진출 차수(out-degree): 방향 그래픙에서 외부로 향하는 간선의 수 (외차수 라고도 부름)
      * 방향 그래프에 있는 정점의 진입 차수 또는 진출 차수의 합 = 방향 그래프의 간선의 수(내차수 + 외차수)
    * 경로 길이(path length): 경로를 구성하는 데 사용된 간선의 수
    * 단순 경로(simple path): 경로 중에서 반복되는 정점이 없는 경우
    * 사이클(cycle): 단순 경로의 시작 정점과 종료 정점이 동일한 경우

* 그래프 특징
    * 네트워크 형 구조
        * 지도
        * 지하철 노선도의 최단 경로 
        * 전기 회로의 소자들
        * 도로(교차점과 일방 통행길) 
        * 선수 과목 등
    * 그래프는 여러 개의 고립된 부분 그래프(Isolated Subgraphs)로 구성될 수 있다.
    * 탐색 방법
        1. 깊이 우선 탐색(DFS, Depth-First Search)
        2. 너비 우선 탐색(BFS, Breadth-First Search)
       
* 그래프 구현 방법
    1. 인접 리스트(Adjacency List)
        * 가장 '일반적인 방법'
        * 모든 정점(혹은 노드)을 인접 리스트에 저장한다. 즉, 각각의 정점에 인접한 정점들을 리스트로 표시한 것이다.
        * 배열(혹은 해시테이블)과 배열의 각 인덱스마다 존재하는 또 다른 리스트(배열, 동적 가변 크기 배열(ArrayList), 연결리스트(LinkedList) 등)를 이용해서 인접 리스트를 표현
        * 사용하는 경우
            * 그래프 내에 적은 숫자의 간선만을 가지는 '희소 그래프(Sparse Graph)' 의 경우
            * 어떤 노드에 '인접한 노드'들을 찾는 경우
            * 그래프에 존재하는 '모든 간선의 수'를 찾는 경우: O(N+E)
    2. 인접 행렬(Adjacency Matrix)
        * 인접 행렬은 NxN 불린 행렬(Boolean Matrix)
        * matrix[i][j]가 true라면 i -> j로의 간선이 있다는 뜻이다.
        * 사용하는 경우
            * 그래프에 간선이 많이 존재하는 '밀집 그래프(Dense Graph)' 의 경우
            * 두 정점을 연결하는 '간선의 존재 여부'를 판단하는 경우 : O(1) ((M[i][j]이므로)
            * '정점의 차수'를 구하는 경우: O(N)

[#issue2] 트리나 그래프를 방문 또는 탐색하는 방법 1: BFS(너비 우선 탐색)

* BFS(Breadth First Search)란
    * 너비 우선 탐색
    * 루트 노드(혹은 다른 임의의 노드)에서 시작해서 인접한 노드를 먼저 탐색하는 방법
    * 깊이가 1인 모든 정점을 방문하고 나서 그 다음에는 깊이가 2인 모든 정점을, 그 다음에는 깊이가 3인 모든 정점을 방문하는 식으로 계속 방문하다가 더 이상 방문할 곳이 없으면 탐색을 마친다.
    
* BFS 특징
    * 선입선출(FIFO) 원칙
    * 시간 복잡도: O(V+E) (단, 인접 리스트로 구현된 그래프인 경우)
        * V: 정점의 개수
        * E: 간선의 개수
    * 임의의 정점을 처음 방문할 때 시작점으로부터의 '최단 거리'를 알 수 있다.
    * 'Prim', 'Dijkstra' 알고리즘과 유사하다.
    * 너비 우선 탐색(BFS)이 깊이 우선 탐색(DFS)보다 좀 더 복잡하다.
    
* BFS 사용 예시
    * 두 노드 사이의 최단 '경로 탐색'
    * 혹은 두 노드 사이의 임의의 '경로 탐색'
    * 트리의 지름 구하기
    
* BFS 구현 방법
    * 선입선출(FIFO) 원칙으로 탐색하기 위해 큐(Queue)를 이용
        * 탐색한 정점 순으로 인접 정점을 찾는다.
        * 즉, 방문한 정점의 위치를 기억하기 위해 큐(Queue)를 이용
    
* BFS 알고리즘 과정
    1. 시작 노드를 큐(Queue)에 배정한다.
    2. 큐(Queue)가 빌 떄까지 아래의 과정을 반복한다.
    3. 큐(Queue)의 가장 앞에 있는 노드를 pop
    4. 현재 노드에 인접한 모든 노드들 중 아직 방문하지 않은 노드들을 큐(Queue)에 push

/* BFS 의사코드(pseudocode) */ 
void search(Node root) {
  Queue queue = new Queue();
  queue.enqueue(root); // 1. 시작 노드 큐에 추가
  root.marked = true; // (방문한 노드 체크)

  // 2.
  while (!queue.isEmpty()) {
    Node r = queue.dequeue(); // 3. 큐의 앞에서 노드 추출
    visit(r); // 3-1. 큐에서 추출한 노드 방문
    
    // 4. 큐에서 꺼낸 노드와 인접한 노드들을 모두 차례로 방문한다.
    foreach (Node n in r.adjacent) {
      if (n.marked == false) {
        n.marked = true; // (방문한 노드 체크)
        queue.enqueue(n); // 방문한 노드 큐에 추가
      }
    }
  }
}
static ArrayList<Integer>[] a;
static boolean[] c;

public static void bfs(int start) {
    Queue<Integer> q = new LinkedList<Integer>();
    q.add(start);
    c[start] = true;
    while (!q.isEmpty()) {
        int x = q.remove();
        System.out.print(x + " ");
        for (int y : a[x]) {
            if (c[y] == false) {
                c[y] = true;
                q.add(y);
            }
        }
    }
}

[#issue3] 트리나 그래프를 방문 또는 탐색하는 방법 2: DFS(깊이 우선 탐색)

* DFS(Depth First Search)란
    * 깊이 우선 탐색
    * 루트 노드(혹은 다른 임의의 노드)에서 시작해서 다음 분기(branch)로 넘어가기 전에 해당 분기를 완벽하게 탐색하는 방법
    
* DFS 특징        
    * 자기 자신을 호출하는 '순환 알고리즘의 형태'를 가지고 있다.
    * 전위 순회(Pre-Order Traversals)를 포함한 다른 형태의 트리 순회는 모두 DFS의 한 종류이다. 
    * 시간 복잡도 (정점의 수: N, 간선의 수: E인 경우)
      * 인접 리스트로 표현된 그래프: O(N+E)
      * 인접 행렬로 표현된 그래프: O(N^2) 
    * 깊이 우선 탐색(DFS)이 너비 우선 탐색(BFS)보다 좀 더 간단하다.
    * 단순 검색 속도 자체는 너비 우선 탐색(BFS)에 비해서 느리다.
    
* DFS 사용 예시
    * '모든 노드를 방문'하고자 하는 경우
    * 트리의 지름 구하기
    
* DFS 구현 방법
    1. 순환 호출 이용
    2. 명시적인 스택 사용
        * 명시적인 스택을 사용하여 방문한 정점들을 스택에 저장하였다가 다시 꺼내어 작업한다.
        
* DFS 알고리즘 과정
    1. a 노드(시작 노드)를 방문한다.
      * 방문한 노드는 방문했다고 표시한다.
    2. a와 인접한 노드들을 차례로 순회한다.
      * a와 인접한 노드가 없다면 종료한다.
    3. a와 이웃한 노드 b를 방문했다면, a와 인접한 또 다른 노드를 방문하기 전에 b의 이웃 노드들을 전부 방문해야 한다.
      * b를 시작 정점으로 DFS를 다시 시작하여 b의 이웃 노드들을 방문한다.
    4. b의 분기를 전부 완벽하게 탐색했다면 다시 a에 인접한 정점들 중에서 아직 방문이 안 된 정점을 찾는다.
      * 즉, b의 분기를 전부 완벽하게 탐색한 뒤에야 a의 다른 이웃 노드를 방문할 수 있다는 뜻이다.
      * 아직 방문이 안 된 정점이 없으면 종료한다.
      * 있으면 다시 그 정점을 시작 정점으로 DFS를 시작한다.

/* DFS 의사코드(pseudocode) */ 
void search(Node root) {
  if (root == null) return;
  // 1. root 노드 방문
  visit(root);
  root.visited = true; // 1-1. 방문한 노드를 표시
  // 2. root 노드와 인접한 정점을 모두 방문
  for each (Node n in root.adjacent) {
    if (n.visited == false) { // 4. 방문하지 않은 정점을 찾는다.
      search(n); // 3. root 노드와 인접한 정점 정점을 시작 정점으로 DFS를 시작
    }
  }
}
static ArrayList<Integer>[] a;
static boolean[] c;

public static void dfs(int x) {
    if (c[x]) {
        return;
    }
    c[x] = true;
    System.out.print(x + " ");
    for (int y : a[x]) {
        if (c[y] == false) {
            dfs(y);
        }
    }
}

[#issue4] 이분 그래프의 개념

* 인접한 정점끼리 서로 다른 색으로 칠해서 모든 정점을 두 가지 색으로만 칠할 수 있는 그래프.
* 즉, 그래프의 모든 정점이 두 그룹으로 나눠지고 
  서로 다른 그룹의 정점이 간선으로 연결되어져 있는 그래프를 이분 그래프라고 한다.

[#issue4-1] 이분 그래프인지 확인하는 방법

* "서로 인접한 정점이 같은 색이면 이분 그래프가 아니다."

* 너비 우선 탐색(BFS), 깊이 우선 탐색(DFS)을 이용하면 된다.
* 연결 성분의 개수(Connected Component)를 구하는 방법과 유사하다.
* 모든 정점을 방문하며 간선을 검사하기 때문에 시간 복잡도는 O(V+E)로 그래프 탐색 알고리즘과 같다. 

1. BFS, DFS로 탐색하면서 정점을 방문할 때마다 두 가지 색 중 하나를 칠한다.
2. 다음 정점을 방문하면서 자신과 인접한 정점은 자신과 다른 색으로 칠한다.
3. 탐색을 진행할 때 자신과 인접한 정점의 색이 자신과 동일하면 이분 그래프가 아니다.
    * BFS의 경우 정점을 방문하다가 만약 같은 레벨에서 정점을 다른 색으로 칠해야 한다면 무조건 이분 그래프가 아니다.
4. 모든 정점을 다 방문했는데 위와 같은 경우가 없다면 이분 그래프이다.

* 주의! 연결 그래프와 비연결 그래프를 둘 다 고려!!
    * 그래프가 비연결 그래프인 경우 모든 정점에 대해서 확인하는 작업이 필요하다.

[#issue5] 사이클의 개념

* 단순 경로의 시작 정점과 종료 정점이 동일한 경우를 말한다.

[#issue6] 플러드 필(Flood Fill) 알고리즘의 개념

* 다차원 배열의 어떤 칸과 연결된 영역을 찾는 알고리즘을 말한다.
    * 즉, 어떤 위치와 연결된 모든 위치를 찾는 알고리즘이다.
* Ex)
    * 그림 프로그램에서 연결된 비슷한 색을 가지는 영역에 "채우기" 도구에 사용.
    * 바둑이나 지뢰 찾기 게임에서 어떤 비어 있는 칸을 표시 할 지를 결정하는 경우. 
* 특징
    * 플러드 필 알고리즘은 시작 칸, 목표 색, 대체 색의 세 개의 인자를 받는다. 
    * 이 알고리즘은 배열에 있는 시작 칸에서 목표 색으로 연결된 모든 칸을 방문해서 대체 색으로 바꾼다. 
    * 플러드 필 알고리즘을 구현하는 방법은 대부분 큐나 스택과 같은 자료구조를 사용한다.

Reference

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