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Loi binaire

Soit $$A$$ un ensemble, une loi binaire sur $$A$$ est une fonction $$A×A→A$$. Les lois binaires sont souvent écrites avec une notation infixe : si $$$$ est le symbole de la loi, on écrira $$ab$$ plutôt que $$*(a,b)$$.

On dit qu'une loi $$*:Α×A→A$$ est

• Associative: si pour tout $$a,b,c∈A$$ on a $$(ab)c = a(bc)$$ ;
• Commutative: si pour tout $$a,b∈A$$ on a $$ab=ba$$.

Exemples

• L'addition et la multiplication (d'entiers, de réels, ...) sont des lois binaires.

Groupes

Un groupe est un ensemble $$G$$ muni d'une loi binaire $$*$$ tels que :

• $$*$$ est associative ;
• il existe un élément $$e∈G$$, dit élément neutre, tel que pour tout $$a∈G$$ on a $$ea=ae=a$$ ;
• pour tout $$a∈G$$ il existe un $$b∈G$$, dit l'inverse de $$a$$, tel que $$ab=ba=e$$.

Si en plus $$*$$ est commutative, le groupe $$G$$ est dit commutatif, ou abélien.

Notation

Souvent on se dispense de noter le symbole de la loi, on écrit alors $$ab$$ pour $$a*b$$. Dans ce cas on dit que la loi de groupe est notée multiplicativement. On peut parfois noter $$a·b$$ lorsque la lecture serait ambiguë.

Pour une loi multiplicative, on note $$a^{-1}$$, ou parfois $$1/a$$, l'inverse de $$a$$ ; on note $$a^n$$ l'élément

$$a^n = \underbrace{aa\cdots a}_{n\text{ fois}}.$$

Lorsque la loi de groupe est notée $$+$$, on dit qu'elle notée additivement. L'usage veut qu'on utilise la notation additive uniquement pour les lois coummutatives. On note alors $$-a$$ l'inverse de $$a$$ (et on l'appelle parfois opposé) ; on note $$na$$, ou $$n·a$$, ou encore $$[n]a$$ l'élément

$$na = \underbrace{a+a+\cdots +a}_{n\text{ fois}}.$$

Exemples

• $$(ℤ,+)$$, $$(ℚ,+)$$, $$(ℝ,+)$$ et $$(ℂ,+)$$ sont tous des groupes abéliens.
• $$(ℕ,+)$$ n'est pas un groupe : tous les éléments n'ont pas d'opposé.
• $$(ℤ,×)$$ n'est pas un groupe : tous les éléments n'ont pas d'inverse.
• $$(ℚ,+)$$, $$(ℝ,+)$$ et $$(ℂ,+)$$ ne sont pas des groupes, mais si on leur enlève le 0 ils deviennent des groupes abéliens.
• $$(\mathcal{S}_n,\circ)$$, l'ensemble des permutations sur $$n$$ éléments muni de l'opération de composition, est un groupe non-abélien.

Anneaux, corps

Un anneau est un ensemble $$A$$ muni de deux lois binaires, notées $$+$$ et $$·$$, telles que :

• $$(A,+)$$ est un groupe abélien, dont on notera 0 l'élément neutre ;
• $$·$$ est associative ;
• il existe un élément de $$A$$, noté 1, tel que pour tout $$a∈A$$ on a $$1·a=a·1=a$$ ;
• $$·$$ distribue sur $$+$$, c'est à dire que pour tout $$a,b,c∈A$$ on a $$a·(b+c)=(a·b)+(a·c)$$.

Un anneau tel que $$·$$ est commutative est dit un anneau commutatif.

Un corps est un anneau commutatif dont tous les éléments, à l'exception de 0, ont un inverse multiplicatif.

Exemples

• $$ℤ$$, $$ℚ$$, $$ℝ$$ et $$ℂ$$ sont des anneaux commutatifs. Parmi eux, $$ℤ$$ est le seul qui ne soit pas aussi un corps.
• L'ensemble $$\mathcal{M}_n(ℤ)$$ des [matrices](Algèbre linéaire) carrées $$n×n$$ à coefficients dans $$ℤ$$ est un anneau non-commutatif. Les matrices carrées à coefficients dans $$ℚ$$, $$ℝ$$, ou $$ℂ$$ forment aussi des anneaux non-commutatifs.

Anneaux d'entiers modulaires

Soit $$n>0$$, l'anneau des entiers modulo $$n$$ est la classe d'équivalence de $$ℤ$$ par la relation

$$a≡b \bmod n \quad⇔\quad n \text{ divise } (a-b).$$

Les lois $$+$$ et $$·$$ sont héritées des lois de $$ℤ$$ après réduction par $$n$$ (voir exercice en TD).

On note $$ℤ/nℤ$$ cet anneau (commutatif). Il est un corps si et seulement si $$n$$ est premier.