Entiers, changements de bases.md

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post	Entiers, changements de bases

Rappels sur l’exponentielle et le logarithme

Simplifier les expressions suivantes :

1. $$a^3\times a^4$$.
2. $$(a^3)^4$$.
3. $$a^2 \times \frac{1}{a^3}$$.
4. $$6^6 \times \left(\frac{1}{3}\right)^6$$.
5. $$\log_a a^{10}$$.
6. $$\log_2 64$$.
7. $$\log_2 a + \log_4 a$$.
8. $$a^{\log_a 11}$$.

Conversions de base

Faire les conversions de bases suivants :

1. $$(101010)_2$$ en base 10.
2. $$(1021)_3$$ en base 10.
3. $$(483)_{10}$$ en binaire, puis en ternaire.
4. $$(111100011)_2$$ en hexadécimal.
5. $$(A31B)_{16}$$ en base 2.
6. $$(10212)_3$$ en base 9.

Calculer, sans passer par la base 10, les expressions suivantes :

1. $$(102013)_4 + (1)_4$$.
2. $$(102013)4 \times (4){10}$$.
3. $$(102013)4 \div (4){12}$$.
4. $$(101011)2 + (2A){16}$$.
5. $$(10110)_2 + (111)_2$$.
6. $$(10110)_2 \times (101)_2$$.
7. $$\bigl((100)_2\bigr)^4$$.

Propriétés des représentations en base $$b$$

1. Quel est le nombre le plus grand que l’on puisse représenter avec $$2$$ chiffres binaires ? Et avec $$3, 4, \dots$$ ? Et en général avec $$n$$ chiffres ?
2. Pour un entier $$m$$ quelconque, combien de chiffres binaires faut-il pour le représenter ?
3. Généraliser à une base $$b$$ quelconque.
4. Sans effectuer la conversion, dire combien de chiffres binaires il faut pour représenter le nombre quarante-deux.
5. Combien faut-il de chiffres hexadécimaux pour représenter le nombre quarante-deux ?