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post	Révision sur les matrices

Produits matrice-vecteur

Calculer les produits matrice-vecteur suivants.

1. $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\ 4 & 5 & 6\ 7 & 8 & 9\ 10 & 11 & 12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\0\-1 \end{pmatrix}$$,

2. $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\ 0 & 2 & 0\ 0 & 0 & 3\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 10\-7\4 \end{pmatrix}$$,

3. $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\ 1 & 2 & 0\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3\-1\4 \end{pmatrix}$$.

Produits matrice-matrice

Calculer les produits matrice-matrice suivants

1. $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\ 4 & 5 & 6\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\ 0 & -1 & 0\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$,

2. $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\ 0 & 2 & 0\ 0 & 0 & 3\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\ 3 & 1 & 2 & 3\ 2 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$.

Forme échelonnée

Mettre les matrices suivantes sous forme échelonnée

1. $$\begin{pmatrix} 3 & 1 & -4 & 0 & 5\ 2 & 0 & 0 & -1 & 9\ 0 & -5 & 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$,

2. $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\ 2 & 1 & 0 & 0\ 4 & 2 & 1 & 0\ 8 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$.

Systèmes linéaires

Résoudre les systèmes linéaires suivants.

1. $$\left{\begin{array}{rrrl} 3x &+ y &- 4z &= 12\ & 2y &- z&= -1\ &&3z &= 6 \end{array}\right.$$,

2. $$\left{\begin{array}{rrrl} x &+ y &+ z &= 3\ 2x &+ 7y &- 2z &= -1\ -x &- y &+ z &= 3 \end{array}\right.$$,

3. $$\left{\begin{array}{rrrrl} t &-3x &+ y &+ 2z &= -2\ &2x &+ 3y &- 7z &= 4\ 4t &&+ 5y &+ z &= 10\ \end{array}\right.$$,

4. $$\left{\begin{array}{rrrl} x &+ y &+ 2z &= 4\ &y &-z &= -2\ -2x &-2y &-4z &= -1 \end{array}\right.$$.

Matrices à coefficients modulaires

1. Calculer le produit matrice-vecteur suivant à coefficients dans $$ℤ/3ℤ$$ (c'est à dire que tous les calculs s'effectuent modulo 3).

   $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 1\ 1 & 1 & -1 & -1\ 0 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\0\-1\-1 \end{pmatrix}$$.

2. Calculer le produit matrice-matrice suivant à coefficients dans $$ℤ/2ℤ$$.

   $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\ 0 & 1 & 0\ 0 & 1 & 1\ 1 & 0 & 0\ 1 & 0 & 1\ 1 & 1 & 0\ 1 & 1 & 1\ \end{pmatrix}$$.

Espaces vectoriels

1. Quelle est la dimension de l'espace engendré par les vecteurs

   $$\begin{pmatrix} 3\1\0\2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\3\2\0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -4\-4\-2\-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\1\0\-1 \end{pmatrix}$$

2. Donner une base de l'espace engendré au point précédent.

Espace vectoriel des polynômes

Les polynômes de Tchebychev sont la famille de polynômes $$T_i$$ définie par la récurrence

$$\begin{aligned} T_0(x) &= 1,\\ T_1(x) &= x,\\ T_{n+1}(x) &= 2xT_n(x) - T_{n-1}(x). \end{aligned}$$

1. Calculer les polynômes de Tchbychev jusqu'à $$T_4$$.

2. Quelle est la dimension de l'espace vectoriel engendré par $$(T_0,\dots,T_4)$$ ?

3. Calculer la matrice de passage de la base $$(T_0,\dots,T_4)$$ à la base $$(1, x, x^2, x^3, x^4)$$.

4. Calculer l'écriture de $$x^4 + x^3 + 1$$ dans la base $$(T_0,\dots,T_4)$$.

5. Calculer la matrice de passage de la base $$(1, x, x^2, x^3, x^4)$$ à la base $$(T_0,\dots,T_4)$$.

6. Prouver que les polynômes de Tchebychev forment une base de l'espace des polynômes.