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post	Déterminants

Matrices inversibles

1. Relier entre elles chaque matrice avec son inverse.

   $$\begin{pmatrix} 1&2\6&4 \end{pmatrix},\quad

   \begin{pmatrix} 1&0\0&1 \end{pmatrix},\quad

   \begin{pmatrix} 0&1\1&0 \end{pmatrix},\quad

   \frac{1}{14}\begin{pmatrix} 4&-6\1&2 \end{pmatrix},\quad

   \begin{pmatrix} 1&0&2\1&1&-1\1&2&3 \end{pmatrix}, $$

   $$ \begin{pmatrix} 2&6\-1&4 \end{pmatrix},\quad

   -\frac{1}{8}\begin{pmatrix} 4&-2\-6&1 \end{pmatrix},\quad

   \begin{pmatrix} 0&0&1\1&0&0\0&1&0 \end{pmatrix},\quad

   \begin{pmatrix} -1&4&-2\2&-5&3\1&-2&1 \end{pmatrix},\quad

   \begin{pmatrix} 0&1&0\0&0&1\1&0&0 \end{pmatrix}. $$

2. En vous servant de l'exercice précédent, résolvez le système linéaire

   $$\left{\begin{array}{rrrl} x & &+ 2z &= 3\ x &+ y &- z &= -1\ x &+ 2y &+ 3z &= 0 \end{array}\right.$$

3. Parmi les matrices suivantes, lesquelles sont inversibles ?

   $$\begin{pmatrix} 1&0&0\0&1&0\0&0&1 \end{pmatrix},\quad

   \begin{pmatrix} 1&0&0&0\0&1&0&0\0&0&0&1\0&1&0&1 \end{pmatrix},\quad

   \begin{pmatrix} 1&2&3\0&-1&1\2&4&6 \end{pmatrix},\quad

   \begin{pmatrix} 1&0&4\2&-1&8\-3&0&-12 \end{pmatrix},\quad

   \begin{pmatrix} 1&0&10\0&3&-4\1&3&6 \end{pmatrix}.$$

Calcul de déterminants

1. Calculer les déterminants des matrices suivantes.

   $$\begin{pmatrix} 10 & 3\ -4 & 1 \end{pmatrix},\quad

   \begin{pmatrix} 3 & -2\ 4 & 5 \end{pmatrix},\quad

   \begin{pmatrix} 0 & -2\ -1 & 3 \end{pmatrix},\quad

   \begin{pmatrix} 4 & 4 & -1\ -4 & 1 & 0\ 3 & 7 & -2 \end{pmatrix},\quad

   \begin{pmatrix} 1 & 3 & -3 & 1\ 10 & -2 & 1 & 0\ 1 & -1 & 0 & 1\ 2 & 3 & -4 & 1 \end{pmatrix}, $$

   $$ \begin{pmatrix} 0 & 3 & 0 & 1 & -1\ -4 & 0 & 1 & 0 & 1\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0\ 2 & 0 & -2 & 3 & 0\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad

   \begin{pmatrix} 10 & 3 & 2 & 1\ 0 & 1 & -7 & 11\ 0 & 0 & 3 & 11/7\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}. $$

2. Calculer les déterminants des matrices élémentaires suivantes, où $$λ$$ est un paramètre

   $$\begin{pmatrix} 1\ &1\ &&\ddots\ &&&\ddots\ &&λ&&\ddots\ &&&&&1 \end{pmatrix},\quad

   \begin{pmatrix} 1\ &\ddots\ &&1\ &&&λ\ &&&&1\ &&&&&\ddots\ &&&&&&1 \end{pmatrix}, $$

   $$ \begin{pmatrix} 1\ &\ddots\ &&1\ &&&0&1\ &&&1&0\ &&&&&1\ &&&&&&\ddots\ &&&&&&&1 \end{pmatrix}. $$

Décomposition LU

Soit $$A$$ la matrice

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 &-1\\ 1 &-1 &-1 & 0\\ 1 & 0 & 4 &-1\\ 0 & 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}.$$

1. Par la méthode du pivot de Gauß, mettre $$A$$ sous la forme $$L_0\dots L_iU=A$$, où $$U$$ est une matrice triangulaire supérieure et $$L_0,\dots,L_i$$ sont des matrices élémentaires.

2. Par une suite de multiplications, donner une écriture $$LU=A$$, où $$L$$ est une matrice triangulaire inférieure et $$U$$ est une matrice triangulaire supérieure.

3. Calculer les déterminants de $$L$$, $$U$$ et $$A$$ et comparer les résultats.