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Propriétés du déterminant

Matrices de permutation

  1. Parmi les matrices suivantes, lesquelles sont des matrices de permutation ?

    $$\begin{pmatrix} 1&0\ 0&1 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 0&1\ 1&0 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 1&0\ 1&0 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 1&0&0\ 0&0&1\ 0&-1&0 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 1&1\ 0&1 \end{pmatrix},$$

    $$\begin{pmatrix} 1&0&0&0&0\ 0&1&0&0&0\ 0&0&0&0&0\ 0&0&0&0&1\ 0&0&0&1&0\ 0&0&1&0&0 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 0&1&0&0&0\ 1&0&0&0&0\ 0&0&0&0&1\ 0&0&0&1&0\ 0&0&1&0&0 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 1&0&0&0&0\ 0&0&0&0&1\ 0&1&0&0&0\ 0&0&0&1&0\ 0&0&1&0&0 \end{pmatrix}$$

  2. Calculer les déterminants des matrices ci-dessus.

  3. Uniquement pour les matrices de permutation, calculer la permutation $$σ∈\mathcal{S}_n$$ qui correspond à la multiplication (à gauche) par ces matrices, et sa décomposition en cycles.

  4. En vous aidant avec ce que vous savez sur les permutations, calculez les inverses des matrices de permutation.

  5. Récrivez les matrices de permutation comme un produit de matrices correspondant à leur décomposition en cycles.

Déterminants

  1. Calculer les déterminants des matrices suivantes.

    $$\begin{pmatrix} 1&0& 0&0& 3&0\ 0&0&-1&0& 0&2\ 1&1& 0&0& 0&0\ 0&0& 2&0& 0&0\ 1&0& 0&0&-3&0\ -1&0& 0&1& 0&0 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&1\ 2&3&4&5&6&2\ 3&4&5&6&1&3\ 4&5&6&1&2&4\ 5&6&1&2&3&5\ 6&1&2&3&4&6 \end{pmatrix}.$$

  2. Soit $$A$$ une matrice de permutation et soit $$A^t$$ sa transposée, quel est le déterminant de $$AA^t$$ ?

Algorithme de Gauss

À l'aide de l'algorithme de Gauss, calculer les déterminants des matrices suivantes.

$$\begin{pmatrix} 1&5\-3&1 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} a&b\c&d \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 &-1\\ 1 &-1 &-1 & 0\\ 1 & 0 & 4 &-1\\ 0 & 1 & 3 & 2 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\ -1&-2&0&5\\ 0&2&-1&3\\ 3&-3&0&1 \end{pmatrix}, $$

$$ \begin{pmatrix} -a&b&a\\ b&a&a\\ a&a&b \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ -1 &-2 & 0 & 1 &-1\\ 0 & 0 &-3 & 0 &-1\\ 4 &-2 & 0 &-38 & 0\\ -1 &-2 & 0 & 0 &-1 \end{pmatrix}. $$