sxfx1.tex

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\begin{document}

第一章 函数概论

1. 函数概念

一.变量函数

所有不超过正实数x的质数个数 N=$\Pi$(x) ~~  $\Pi(3000)$=430

定义1 设X $\subset$ R  ~~ Y $\subset$ R 为两数集，若存在X到Y的映射f

f:X $\to$Y ~~ x$\to$y=f(x)

称f为定义在X上的（一元单值）函数

注1`  f定义域为X的值域

f(X)={y|y=f(x) x$\in$X}$\subset$Y

2` 函数相等$\iff$有相同定义域X且f(x)=g(x)  x$\in$X

但映射方法也许不同，比如f=x,  g=$\sqrt{x^2}$ ~(x$\ge$0)


二。特殊函数

1.符号函数  

$
 y=sgn x= \begin{cases} 
－1, & x < 0 \\
0, & x = 0 \\
1, &  x > 0 
\end{cases}
$

2. 方括号函数 
y= [x] = n (n$\le$x<n+1)

性质：[x]$\le$x<[x]+1

[x+n]=[x]+n

3.Dirichlet函数 
$
D(x)=\begin{cases}
1, & x\in Q \\
0, & x\notin Q
\end{cases}
$

4.定义在[0,1] ~ Riemann函数 
$
R(x)=\begin{cases}
1/q, & x=p/q (p,q互质，p<q) \\
1, & x=0,1 \\
0, & x为[0,1]上无理数
\end{cases}
$


三.复合函数
定义2 设函数y=f(x) x$\in$X,y$\in$Y  
z=g(y)  y$\in$Y`

若Y$\subset$Y`则可在X上定义z为x的复合函数

z=g(f(x))  x$\in$X (注$Y \bigcap Y` \ne  \emptyset $  记为 $\bar{Y}$) 

$\bar{X}= \{ x|f(x)\in\bar{Y} \} \subset X $

f(f(x))=(f.f)(x)

例：
$
f(x)=\begin{cases}
1+x, & x < 0 \\
0, & x \ge 0
\end{cases}
$

$
f(f(x))=\begin{cases}
2+x, & x < -1 \\
1, & x \ge -1
\end{cases}
$

$
f^n(x)=\begin{cases}
n+x, & x < 1-n \\
0, & x \ge 1-n
\end{cases}
$

四.反函数

定义3，若f:X$\rightarrow$Y=f(X) x|$\rightarrow$y=f(x)

是X到f(x)的一一映射时，则称f的逆映射$f^{-1}$

$f^{-1}:f(x)\rightarrow X ~~  y\rightarrow X=f^{-1}(y)$

为y=f(x)的反函数 ~~ 记为$x=f^{-1}(y)  ~~ y \in f(X)$

$f^{-1}。f=I : X \rightarrow X$  ~~
$f。f^{-1}=I : Y \rightarrow Y$  

$(f^{-1})^{-1}=f$

反函数存在关键：一一映射

五。初等函数p20-25 反对幂指三（分部积分顺序）

$\\$

1.2具有某些特征的函数

一.有界函数，无界函数（须在区间内讨论）

定义1，函数f(x)~~x$\in$X有界，是指
$\exists M>0 ~~~ f(x)|\le M ~~ \forall x \in X$

若$\exists m \in R $ ~~ f(x)$\le$m ~~ $\forall x \in X$ 有上界

若$\exists m \in R $ ~~ f(x)$\ge$m ~~ $\forall x \in X$ 有下界


二.单调函数

定义2 设函数f(x) ~ x$\in$X ~ 若$\forall x_1 ~ x_2 \in X (x_1<x_2)$

$f(x_1) \le f(x_2)  (或f(x_1) \ge f(x_2))$
称f(x)在X上递增（或递减）


定理1. 设y=f(x) ~ x$\in$X 若f(x)在X上严格单调，

则f的反函数$f^{-1}$存在且x=$f^{-1}$(y)也是严格单调的

凡严格单调，具有反函数

奇函数，偶函数


周期函数


定义3，设$f(x)~x\in X 若\exists \omega \ne 0 对 \forall x \in X$

$x\pm \omega \in X 且 f(x\pm \omega) = f(x)$

称f(x)为以$\omega$为周期的周期函数 Z(x)

例4 ~ 证明 f(x)=cos$\sqrt x$不是 Z(x)

反证法,若$\exists \omega >0, cos\sqrt{(x+\omega )} = cos\sqrt x$ 和差化积

则$sin(\frac{\sqrt{x+\omega}}{2}+\frac{\sqrt{x}}{2})sin(\frac{\sqrt{x+\omega}}{2}-\frac{\sqrt{x}}{2})=0$ ~~~ $\forall x \in R$

令x=0,有sin$\frac{\sqrt{\omega}}{2}=0,故\omega = 4k^2\pi^2,令x=4\pi^2$

有$sin(\sqrt{k^2+1}+1)\pi=0,即\sqrt{k^2+1}+1＝m,m\in N,即k^2+1＝(m-1)^2$

故k=0

$\\$

习题课1

$f(x),x\in(a,b) 若f(x)在\forall (\alpha,\beta]\subset(a,b)有界，不一定f(x)在(a,b)上有界，例f(x)=1/x，f(x)=tgx$

f(x)=0 周期函数，奇函数，单调函数

f,g均为X上单调增函数

f+g必为X上增函数？成立

f*g必为X上增函数？不一定，f(x)=g(x)=x

f。g必为X上增函数？成立



f,g为X上有界 f/g不一定有界,f=1,g=x,X=[-1,1]


若f(g)=g(f)是否有f=g，反例：f=x g=$x^3$

$\\$
构造f(x),$x\in[0,1]$，f(x)在[0,1]上处处有极限，但在[0,1]任意点任意邻域内均无界
$
f(x)=\begin{cases}
q, & 当x=\frac{p}{q}时，q若有限，则p也有限 \\
0, & 其余
\end{cases}
$


不等式

$1*(1+\frac{1}{n})^n \le [\frac{1+n(1+\frac{1}{n})}{n+1}]^{n+1} (AG不等式)$

$=(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}$


证明：
$\frac{1}{2\sqrt{n}} < \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} < \frac{1}{\sqrt{2n+1}}$


非Z(x)的证明方法

1）f(x)=0的零点非周期

2）反证法


例 f(x)=sin($x^2$)

1)$x_{n+1}-x_n$无限减小

2)令x=0,后令x＝$\sqrt2 \omega$推出矛盾

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