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数学物理方法 1-1 复数

复数

复数的定义

设有一对有序实数$(a,b)$，遵从下列运算规则：

加法：$(a_1,b_1)+(a_2,b_2)=(a_1+a_2,b_1+b_2)$

乘法：$(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

则称这一对有序实数$(a,b)$定义了一个复数$\alpha$

$$\alpha = (a,b)$$

$a$称为$\alpha$的实部，$b$称为$\alpha$的虚部

$$a=Re\alpha,b=Im\alpha$$

实数$a$记为$(a,0)$

因此$\alpha=(a,b)=a(1,0)+b(0,1)$

复数的相等

$$(a,b)=(c,d)\Longleftrightarrow a=c且b=d$$

复数可以比较相等，不能比较大小

特殊的复数

$(0,0)\quad(1,0)\quad(0,1)$

按照复数的乘法规则$(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1$

$(0,1)$是$-1$的平方根，记作$i=(0,1)$

$$(a,b)=a(1,0)+b(0,1)=a+bi$$

共轭复数

$\alpha=(a,b)=a+bi$与$a^*=(a,-b)=a-bi$互为复共轭

$$(\alpha^)^=\alpha$$

$$\alpha+\alpha^*=2a$$

$\alpha\alpha^*$非负，$(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$

复数的除法

$$\frac{a+ib}{c+id}=\frac{(a+ib)(c-id)}{(c+id)(c-id)}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+i\frac{bc-ad}{c^2+d^2}$$

复数的几何表示

一个复数可以用复平面上的一个点表示

复数还可以表示成复平面上的矢量，矢量平移仍代表同一个复数

复数的加减运算对应矢量的加减运算

复数的极坐标表示

$\alpha=r(\cos\theta+i\sin\theta),r=|\alpha|,\theta=\arg\alpha$

复数0的模为0，辐角不定

由于三角函数的周期性，所以一个复数的辐角不是唯一的，它还可以加上$2\pi$的任意整数倍，通常把$(-\pi,\pi]$之间的辐角值称为辐角的主值

复数乘法与除法

$$\alpha=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)$$ $$\beta=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)$$

$$\alpha\beta=r_1r_2[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)]$$

$$\frac{\alpha}{\beta}=\frac{\alpha\beta^}{\beta\beta^}=\frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)]$$

复数的指数表示

定义：复指数函数

$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$

具有和实指数函数相同的性质

$$e^{i\theta_1}\cdot e^{i\theta_2}=e^{i(\theta_1+\theta_2)}$$

则复数$\alpha$又可以表示成$\alpha=re^{i\theta}$

复数乘法

$$\alpha\beta=r_1e^{i\theta_1}\cdot r_2e^{i\theta_2}=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}$$

复数序列

按照一定顺序排序的复数

$$z_n=x_n+iy_n，n=1,2,3,\cdots$$

称为复数序列，记为${z_n}$

复数序列的性质和实数序列完全相同

一个复数序列完全等价于两个实数序列

聚点

给定序列${z_n}$，若存在复数$z$，对于任意给定的$\varepsilon>0$，恒有无穷多个$z_n$满足$|z_n-z|<\varepsilon$，则称$z$为${z_n}$的一个聚点（或极限点）

定义

对于实数序列$x_n$的聚点（也必然是实数），其中数值最大的，称为${x_n}$的上极限。

有界序列和无界序列

给定序列${z_n}$，如果存在一个正数$M$，使对于所有的$n$，都有$|z_n|<M$，则序列称为有界的，否则称为无界的。

有界的无穷序列至少有一个聚点。

极限

给定序列${z_n}$，如果存在复数$z$，对于任意的$\varepsilon>0$，总能找到$N(\varepsilon)>0$，使当$n>N(\varepsilon)$时，有$|z_n-z|<\varepsilon$，则称${z_n}$收敛于$z$，记为$\lim_{n\rightarrow\infty}z_n=z$

一个序列的极限必然是序列的聚点，并且是唯一的聚点。

无界序列不可能收敛

复变函数

点集的内点

对于一个点，如果存在一个足够小的$\varepsilon>0$，使得以该点为原因，$\varepsilon$半径的圆内的任意一点都属于该点集。

区域

满足下列两个条件的点集

• 全部都由内点组成
• 具有连通性

区域的边界

1. 边界点的全体就构成边界
2. 区域边界的方向：如果沿着边界走，区域保持在作坊，则走向称为边界的正向
3. 区域$G$加上边界$C$就构成闭区域$\overline G=G+C$

复变函数

设有复变平面上的一个区域$G$，如果对于$G$内的每一个$z$值，都有一个或多个复数值$w$与之对应，则称$w$为$z$的函数——复变函数，记为

$$w=f(z)$$

定义域为$G$

因为$z=x+iy$，所以

$$w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$$

其中$u(x,y)$和$v(x,y)$都是$x$和$y$的实函数

极限与连续

1. 复变函数中极限和连续概念的表述，在形式上和实变函数中完全相同
2. 但由于所涉及的数的变化范围不同（一个是在复数平面上变化，一个只限于在实轴上变化），因此，实际含义并不完全相同
3. 连续函数的和、差、积、商，以及连续函数的复合函数仍是连续函数

在闭区域$\overline G$中连续的函数具有两个重要性质

1. $|f(z)|$在$\overline G$中有界，并达到它的上下界

2. $f(z)$在$\overline G$中一致连续，即对于任意的$\varepsilon>0$，存在与$z$无关的$\delta(z)>0$，使$\overline G$中的任意两个点$z_1$和$z_2$，只要满足$|z_1-z_2|<\delta$，就有$|f(z_1-z_2)|<\varepsilon$

无界序列的聚点

对于无界序列${z_n}$，给定任意正数$M$，不存在一个正整数$N$，使当$n>M$时，$|z_n|<M$，则称无穷远点（记为$\infty点$）为无穷序列的一个聚点

如果一个无界序列在有限远处无聚点，那么，$\infty$点就是它的唯一的一个聚点，或称无界序列收敛于$\infty$点。

无穷远点也是一个（复）数，其模大于任何正数，辐角不定

包括有无穷远点的复数平面称为扩充的复数平面

复数球面

复数球面上的每个点和扩充的复数球面的点一一对应。