diff --git a/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 02.yaml b/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 02.yaml index 070e155..ea1a63b 100644 --- a/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 02.yaml +++ b/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 02.yaml @@ -52,3 +52,19 @@ cards: $x \neq x_k$ $\forall k$.
%TODO Automatically generated
% \begin{figure}[H]
% \centering
% \includegraphics[width=0.8\textwidth]{lec_02_1697720358}
% \end{figure}
[/latex]' + + +- type: latex_plus + front: "Def.: injektiv, surjektiv, bijektiv" + back: |+ + [latex] Eine Funktion $ f: A \to B $ ist injektiv, wenn für alle $ x_1, x_2 $ in der Definitionsmenge $ A $ gilt: + $ f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2 $ + +
+ + Eine Funktion $ f: A \to B $ ist surjektiv, wenn für jedes Element $y$ in der Zielmenge $B$ mindestens ein Element $x$ in der Definitionsmenge $A$ existiert, so dass $f(x) = y$ + +
+ + Eine Funktion ist bijektiv wenn sie surjektiv und injektiv ist + [/latex] \ No newline at end of file diff --git a/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 03.yaml b/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 03.yaml index a799bc9..8cee8e3 100644 --- a/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 03.yaml +++ b/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 03.yaml @@ -79,3 +79,9 @@ cards: Das Skalarprodukt wird auch $\langle x, y \rangle$ geschrieben.

Wir definieren die Euklidische Norm
\[\|(x_1, \dots, x_n)\|\coloneqq\sqrt{(x_1,\dots,x_n)\cdot (x_1,\dots,x_n)}=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}x_k^2}.\]
[/latex]' + + +- type: latex_plus + id: 8 # (generated) + front: '[latex]Satz von Cantor Bernstein? [/latex]' + back: '[latex]% Falls Injektionen von A nach B und von B nach A existieren, dann existiert auch eine Bijektion zwischen A und B[/latex]' diff --git a/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 05.yaml b/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 05.yaml index 01d7833..90ee6ea 100644 --- a/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 05.yaml +++ b/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 05.yaml @@ -10,17 +10,11 @@ cards: back: '[latex]%
Sind $(a_n)$ und $(b_n)$ konvergente Folgen mit dem Grenzwert $a$ und $b$, also $a_n\to a$ und $b_n\to b$, so gilt:
\begin{enumerate}
\item Die Summenfolge $(a_n+b_n)$ konvergiert gegen $a+b$.
\item Die Produktfolge - $(a_nb_n)$ konvergiert gegen $ab$.
\item Die Quotientenfolge $(a_n/b_n)_{n\geq - N}$ konvergiert gegen $a/b$, falls $b\neq 0$ (es gibt dann ein $N\in\mathbb{N}$ - mit $b_n\neq 0$ für alle $n\geq N$).
\item Für alle $\lambda\in\mathbb{R}$ - konvergiert $(\lambda a_n)$ gegen $\lambda a$.
\item Falls $a_n\geq 0$ für - alle $n$, dann konvergiert $(\sqrt{a_n}$) gegen $\sqrt{a}$.
\item Die Betragsfolge - ($|a_n|$) konvergiert gegen $|a|$.
\item Gibt es $N\in\mathbb{N}$, sodass - $a_n\leq b_n$ für $n\geq N$, so gilt: $a\leq b$.
\item \emph{Einschnürungskriterium}: - Gilt $a=b$ und erfüllt die Folge $(c_n)$ die Ungleichung
\[a_n\leq c_n\leq - b_n,\]
so konvergiert $(c_n)$ gegen $a=b$.
\end{enumerate}
[/latex]' + $(a_nb_n)$ konvergi ' + - type: cloze id: 1 # (generated) front: | - [$$] \item Sind $(a_n)$ eine Nullfolge und $(b_n)$ eine [/$$] {{c1::[$$] beschränkte Folge [/$$]}} [$$], so konvergiert $(a_nb_n)$ gegen [/$$] {{c1::[$$] 0 [/$$]}} + [latex] Sind $(a_n)$ eine Nullfolge und $(b_n)$ eine {{c1::beschränkte Folge }}, so konvergiert $(a_nb_n)$ gegen {{c1::0}} [/latex] + diff --git a/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 07.yaml b/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 07.yaml index f5cf52d..2024889 100644 --- a/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 07.yaml +++ b/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 07.yaml @@ -7,23 +7,27 @@ cards: - type: latex_plus id: 0 # (generated) front: '[latex]%
Konvergenz- und Divergenzkriterien [HMiR]
[/latex]' - back: '"[latex]%
Gegeben ist eine Reihe $\sum_{k=0}^\infty$.
\begin{itemize}
- \item Das \emph{Nullfolgenkriterium}: Die Reihe $\sum_{k=0}^\infty a_k$ divergiert, - falls $(a_k)_k$ keine Nullfolge ist.
\item Das \emph{Leibnitzkriterium}: Die - alternierende Reihe $\sum_{k=0}^\infty(-a)^ka_k$ konvergiert, falls $(a_k)_k$ - eine monoton fallende Nullfolge ist (das impliziert $a_k\geq 0$). Für den Wert - $S$ der Reihe gilt die Abschätzung
\[\left|S-\sum_{k=0}^n(-1)^ka_k\right|\leq - a_{n+1}.\]
\item Das \emph{Majorantenkriterium}: Die Reihe $\sum_{k=0}^\infty - a_k$ konvergiert absolut, falls es eine \emph{konvergente Majorante} gibt, d.h.
- \[\exists\text{konvergente Reihe $\sum_{k=0}^\infty b_k$}:|a_k|\leq b_k\;\forall - k\geq N\in\mathbb{N}.\]
\item Das \emph{Minorantenkritierum}: Die Reihe $\sum_{k=0}^\infty - a_k$ divergiert, falls es eine \emph{divergente Minorante} gibt, d.h.
\[\exists\text{divergente - Reihe $\sum_{k=0}^\infty b_k$}:0\leq b_k\leq a_k\;\forall k\geq N\in\mathbb{N}.\]
- \item Das \emph{Quotientenkriterium}: Existiert $r=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|$, - so gilt:
\[\text{Im Fall}\begin{cases*} r<1 & - konvergiert die Reihe absolut. \\ r>1 & divergiert - die Reihe. \\ r=1 & ist alles möglich. \end{cases*}\]
- \end{cases*}\]
\end{itemize}
[/latex]"' + back: '[latex]%
Gegeben ist eine Reihe $\sum_{k=0}^\infty$.
Das \emph{Nullfolgenkriterium}: Die Reihe $\sum_{k=0}^\infty a_k$ divergiert, falls $(a_k)_k$ keine Nullfolge ist.
+ + Das \emph{Leibnitzkriterium}: Die alternierende Reihe $\sum_{k=0}^\infty(-a)^ka_k$ konvergiert, falls $(a_k)_k$ eine monoton fallende Nullfolge ist (das impliziert $a_k\geq 0$). Für den Wert $S$ der Reihe gilt die Abschätzung
$ + \left|S-\sum_{k=0}^n(-1)^ka_k\right|\leq a_{n+1} $
+ + Das \emph{Majorantenkriterium}: Die Reihe $\sum_{k=0}^\infty a_k$ konvergiert absolut, falls es eine \emph{konvergente Majorante} gibt, d.h.
$\exists \text{konvergente Reihe $\sum_{k=0}^\infty b_k$}:$
+ + Das \emph{Minorantenkritierum}: Die Reihe $\sum_{k=0}^\infty a_k$ divergiert, falls es eine \emph{divergente Minorante} gibt, d.h.
$\exists\text{divergente Reihe $\sum_{k=0}^\infty b_k$}:0\leq b_k\leq a_k\;\forall k\geq N\in\mathbb{N}.$
+ + Das \emph{Quotientenkriterium}: Existiert $r=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|$, so gilt:
+ + $ + \begin{cases*} + r<1 & konvergiert die Reihe absolut. \\ + r>1 & divergiert die Reihe. \\ + r=1 & ist alles möglich. + + \end{cases*} + $ + + [/latex]' - type: latex_plus diff --git a/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 13.yaml b/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 13.yaml index 114173d..016ea4f 100644 --- a/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 13.yaml +++ b/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 13.yaml @@ -6,13 +6,14 @@ cards: - type: latex_plus id: 0 # (generated) - front: '[latex]%
Def.: Konvergenz von Folgen ($d\geq 2$)
[/latex]' + front: '[latex]%
Def.: Konvergenz von Folgen
[/latex]' back: '[latex]%
Eine Folge $(x_n)$ in $\mathbb{R}^d$ \emph{konvergiert} gegen ein $x\in\mathbb{R}^d$ falls $\lim_{n\to\infty}\lVert x_n-x\rVert=0$. Wir schreiben $x_n\overset{n\to\infty}{\longrightarrow}x$ oder $\lim_{n\to\infty}x_n=x$.

[/latex]' + - type: latex_plus id: 2 # (generated) front: '[latex]%
Def.: Kompakte Mengen ($d \geq 2$)
[/latex]' @@ -47,3 +48,10 @@ cards: back: '[latex]%
Sei $I\subseteq\mathbb{R}$ und $f:I\to\mathbb{R}$ stetig und streng monoton wachsend. Dann ist $f:I\to f(I)$ bijektiv und die Umkehrfunktion $f^{-1}:f(I)\to I$ ist ebenfalls stetig und streng monoton wachsend.
[/latex]' + + +- type: latex_plus + id: 6 # (generated) + front: '[latex]%
Def.: Kettenregel Grenzwerte?
+ [/latex]' + back: '[latex]%
Sei $\lim_{x \to a} f(x) = b$ und $g(x)$ stetig in $b$, so gilt $\lim_{x \to a} g(f(x)) = g(b) $
[/latex]' diff --git a/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 15.yaml b/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 15.yaml index 2bca1ec..bf0284c 100644 --- a/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 15.yaml +++ b/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 15.yaml @@ -6,8 +6,7 @@ cards: - type: cloze id: 0 # (generated) - front: '[$$]%
Sei $f:D\to\mathbb{R}$ differenzierbar in $x_o\in D$. Dann ist - $f$ [/$$] {{c1::[$$]stetig[/$$]}} [$$] in $x_0$.
[/$$]' + front: '[latex] Sei $f\in D\to\mathbb{R}$ differenzierbar in $x_o\in D$. Dann ist $f$ {{c1::stetig}} in $x_0$ [/latex]' - type: latex_plus diff --git a/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 18.yaml b/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 18.yaml index 932662e..4fdfb04 100644 --- a/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 18.yaml +++ b/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 18.yaml @@ -31,8 +31,7 @@ cards: - type: latex_plus id: 2 # (generated) - front: '[latex]%
Thm.: Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung und erste - Konsequenzen [HMiR]
[/latex]' + front: '[latex]%
Thm.: Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung
[/latex]' back: "[latex]%
Ist $f:[a,b]\\subseteq\\mathbb{R}\\to\\mathbb{R}$ eine stetige und auf $(a,b)$ differenzierbare Funktion, so gibt es ein $x_0\\in(a,b)$ mit
\\[f'(x_0)=\\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\\]
Es folgt:
\\begin{itemize}
\\ diff --git a/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 19.yaml b/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 19.yaml index db5ed5f..c2c43cb 100644 --- a/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 19.yaml +++ b/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 19.yaml @@ -44,8 +44,9 @@ cards: - type: latex_plus id: 3 # (generated) front: "[latex]%
Thm: Die Jensen'sche Ungleichung
[/latex]" - back: "[latex]%
Sei $f:(a,b)\\to\\mathbb{R}$ konvex, $n\\geq 2$, $x_1,\\dots,x_n\\ - in(a,b)$, $p_1,\\dots,p_n>0$ und $\\sum_{i=1}^np_i=1$. Dann gilt
\\[f\\ - left(\\sum_{k=1}^np_kx_k\\right)\\leq\\sum_{k=1}^np_kf(x_k).\\]

\\textit{Die + back: "[latex]% +
Sei $f:(a,b)\\to\\mathbb{R}$ konvex, $n\\geq 2$, $x_1,\\dots,x_n\\in(a,b)$, $p_1,\\dots,p_n>0$ und $\\sum_{i=1}^np_i=1$. Dann gilt
+ \\[f\\left(\\sum_{k=1}^np_kx_k\\right)\\leq\\sum_{k=1}^np_kf(x_k)\\]
+
\\textit{Die AM-GM-Ungleichung kann aus dem Spezialfall der Jensen'schen Ungleichung mit $f(x)=ln(x)$ hergeleitet werden.}
[/latex]" diff --git a/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 20.yaml b/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 20.yaml index 8a13bb9..039710a 100644 --- a/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 20.yaml +++ b/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 20.yaml @@ -22,24 +22,17 @@ cards: - type: latex_plus id: 1 # (generated) - front: '[latex]%
Wichtige Eigenschaften zu integrierbaren Funktionen [HMiR]
+ front: '[latex]%
Wichtige Ungleichungen zu integrierbaren Funktionen [HMiR]
[/latex]' + back: '"[latex]%
Für Funktionen $f,g:[a,b]\to\mathbb{R}$ gilt:
\begin{itemize}
- \item Ist $f$ stetig oder monoton, so ist $f$ integrierbar.
\item Ist $f$ - integrierbar, so auch ihr Betrag $|f|:[a,b]\to\mathbb{R}$, $|f|(x)=|f(x)|$.
\item Ist $f$ integrierbar, so gilt:\marginnote{An dieser Stelle noch nicht in der VL behandelt}
\[\left|\int_a^bf(x)\,dx\right|\leq\int_a^b|f(x)|\,dx.\]
+ \item Sind $f$ und $g$ integrierbar, so auch $\lambda f+g,\lambda\in\mathbb{R}$, und es gilt:
\[\int_a^b\left(\lambda f(x)+g(x)\right)\,dx=\lambda\int_a^bf(x)\,dx+\int_a^bg(x)\,dx.\]
- \item Sind $f$ und $g$ integrierbar und gilt $f(x)\leq g(x)$ für alle $x\in[a,b]$, - so gilt:
\[\int_a^bf(x)\,dx\leq\int_a^bg(x)\,dx.\]
\item Ist $f$ integrierbar, - so setzt man
\[\int_a^bf(x)\,dx=-\int_b^a\,dx,\quad\text{also gilt}\quad\int_a^af(x)\,dx=0.\]
- \item Ist $f$ integrierbar, so gilt für jedes $c\in[a,b]$:
\[\int_a^bf(x)\,dx=\int_a^cf(x)\,dx+\int_c^bf(x)\,dx.\]
- \item Ist $f$ integrierbar, so gilt für die Funktion\marginnote{An dieser Stelle - noch nicht in der VL behandelt}
\[\tilde{f}:[a,b]\to\mathbb{R},\quad\tilde{f}(x)=\begin{cases} f(x) & - x\neq x_0, \\ \omega & x=x_0 \\ \end{cases}\]
- mit $x_0\in[a,b]$ und $\omega\in\mathbb{R}$:
\[\int_a^bf(x)\,dx=\int_a^b\tilde{f}(x)\,dx.\]
- \item Der \emph{Mittelwertsatz der Integralrechnung}\marginnote{An dieser Stelle - noch nicht in der VL behandelt}. Ist $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ stetig, so gibt es - ein $\xi\in[a,b]$, sodass
\[\int_a^bf(x)\,dx=f(\xi)(b-a).\]
\end{itemize}
[/latex]"' + + +- type: cloze + front: Ist f {{c1::stetig}} oder {{c1::monoton}}, so ist f integrierbar. diff --git a/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 21.yaml b/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 21.yaml index 6eaa87a..09b3dcb 100644 --- a/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 21.yaml +++ b/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 21.yaml @@ -8,13 +8,13 @@ cards: id: 0 # (generated) front: '[latex]%
Die Existenz des Integrals
[/latex]' back: '[latex]%
Sei $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ beschränkt. $f$ ist genau dann integrierbar, - wenn für jeden $\epsilon>0$ eine Zerlegung $Z$ existiert, so dass
\[|O_Z(xf)-U_Z(f)|<\epsilon.\]
+ wenn für jeden $\epsilon>0$ eine Zerlegung $Z$ existiert, so dass
\[|O_Z(f)-U_Z(f)|<\epsilon.\]
[/latex]' - type: latex_plus id: 1 # (generated) - front: '[latex]%
Def.: Gleichmäßig stetige Funktionen [Wiki]
[/latex]' + front: '[latex]%
Def.: Gleichmäßig stetige Funktionen (epsilon delta)
[/latex]' back: '[latex]%
Eine Abbildung $f:D\to\mathbb{R}$ heißt \emph{gleichmäßig stetig} genau dann, wenn
\[\forall\epsilon>0\,\exists\delta>0\,\forall x,x_0\in D:|x-x_0|<\delta\implies|f(x)-f(x_0)|<\epsilon.\]
[/latex]' diff --git a/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 22.yaml b/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 22.yaml index c1a99a5..cc19fd2 100644 --- a/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 22.yaml +++ b/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 22.yaml @@ -9,6 +9,10 @@ cards: front: '[latex]%
Berechnen eines bestimmten Integrals mittels partieller Integration bzw. Substitution [HMiR]
[/latex]' back: "[latex]%
Man erhält das bestimmte Integral wie folgt:
\\[\\int_a^buv'=uv\\\ - bigg\\rvert_a^b-\\int_a^bu'v\\quad\\text{bzw.}\\quad\\int_a^bf(g(x))g'(x)\\,dx=\\ - int_{g(a)}^{g(b)}f(t)\\,dt.\\]
Auf dem Weg zur Bestimmung einer Stammfunktion - werden bereits die Ränder als Obergrenze bzw. Untergrenze eingesetzt.
[/latex]" + bigg\\rvert_a^b-\\int_a^bu'v
[/latex]" + + +- type: latex_plus + id: 1 # (generated) + front: '[latex]%
Was erhält man wenn man $x = g(u)$ in einem integral substituiert?
[/latex]' + back: "[latex]%
\int_a^bf(x)\,dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(g(u))\cdot g'(u)\,du
[/latex]" \ No newline at end of file diff --git a/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 24.yaml b/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 24.yaml index 51a9ecf..4a4e6e2 100644 --- a/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 24.yaml +++ b/MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 24.yaml @@ -54,12 +54,7 @@ cards: f \\ \end{pmatrix}.\]
\item \emph{Laplaceoperator}: Der Laplaceoperator $\Delta$ ordnet einem Skalarfeld $f:D\subseteq\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ ein Skalarfeld $\Delta f$ zu:
\[\Delta f=\sum_{i=1}^n\partial_i^2f=\partial_1f+\dots+\partial_n^2f.\]
- \item \emph{Divergenz}: Die Divergenz $\text{div}$ ordnet einem Vektorfeld $v=(v_1,\dots,v_n)^T:D\subseteq\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ - ein Skalarfeld $\text{div}(v)$ zu:
\[\text{div}(v)=\sum_{i=1}^n\partial_iv_i=\partial_1v_1+\dots+\partial_nv_n.\]
- \item \emph{Rotation}: Die Rotation $\text{rot}$ ordnet einem Vektorfeld $v=(,v_1,v_2,v_3)^T:D\subseteq\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ - ein Vektorfeld $\text{rot}(v)$ zu:
\[\text{rot}(v)=\begin{pmatrix} \partial_2v_3-\partial_3v_2 - \\ \partial_3v_1-\partial_1v_3 \\ \partial_1v_2-\partial_2v_1 - \\ \end{pmatrix}.\]
\end{itemize}
[/latex]"' + \end{itemize}
[/latex]"' - type: latex_plus @@ -69,11 +64,4 @@ cards: I$.
\begin{itemize}
\item Ist $f:I\to\mathbb{R}$ eine $m$-mal differenzierbare Funktion, so nennt man
\[T_{m,f,a}(x)=\sum_{k=0}^m\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\]
das \emph{$m$-te Taylorpolynom zu $f$} im \emph{Entwicklungspunkt $a$} mit dem - \emph{Restglied}
\[R_{m+1}(x)=f(x)-T_{m,f,a}(x).\]
\item Sind $f\in C^{m+1}(1)$ - und $T_{m,f,a}(x)$ das $m$-te Taylorpolynom von $f$ in $a$, so hat das Restglied - $R_{m+1}(x)$ die zwei verschiedenen Darstellungen:
\[R_{m+1}(x)=\frac{f^{(m+1)}(\xi)}{(m+1)!}(x-a)^{m+1}=\frac{1}{m!}\int_a^x(x-t)^mf^{(m+1)}(t)\,dt\]
- mit einem $\xi$ zwischen $a$ und $x$.
\item Ist $f\in C^{\infty}(I)$, so nennt - man
\[T_{f,a}(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\]
die \emph{Taylorreihe - von $f$ in $a$}.
\item Ist $f\in C^\infty(I)$ und $T_{f,a}(x)$ die Taylorreihe - von $f$ in $a$, so gilt mit dem Restglied $R_{m+1}(x)$
\[f(x)=T_{f,a}(x)\iff\lim_{m\to\infty}R_{m+1}(x)=0.\]
- \end{itemize}
[/latex]' + \emph{Restglied}
\[R_{m+1}(x)=f(x)-T_{m,f,a}(x).\]
[/latex]' diff --git a/MA0902_Analysis_Informatik/sonstiges.yaml b/MA0902_Analysis_Informatik/sonstiges.yaml new file mode 100644 index 0000000..107b81e --- /dev/null +++ b/MA0902_Analysis_Informatik/sonstiges.yaml @@ -0,0 +1,15 @@ +title: Analysis für Informatik - Sonstiges +id: 1594111406 +author: Hendrik Hübner +cards: +- type: latex_plus + front: [latex]Wann konvergiert $\int_0^1 frac{1}{x^a}dx$?[/latex] + back: |+ + [latex]Wenn $a < 1$ ergibt sich $frac{1}{1 - a}$ [/latex] + + +- type: latex_plus + front: [latex]Wie ist die eulersche Zahl definiert? (Grenzwert)[/latex] + back: |+ + [latex]$ e = \lim_{{n \to \infty}} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n $[/latex] +