魔法元素本质研究

[HoshinoTented]

Ref: hoshino9/MoFaJiChu#5

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每个魔法元素的含义都是在三维向量空间中的一个向量，它们的作用都是一个矩阵。

天，水，明 分别对应 $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$、 $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$。
这是它们作为方向的 含义。（其余的元素都是这些向量的 (-1) 倍）

而它们的矩阵，目前还在思考中。

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术语定义

定义 1.1（纯净）：一个魔法元素是纯净的，当且仅当它的向量组成（component）中至少有一个 0。
定义 1.2（混合）：如果一个魔法元素不是纯净的，那么它是混合的。
定义 1.3（相对）：两个不同的基础魔法元素是相对的，当且仅当它们的 含义向量 相加为 0。（可能对混沌元素不适用）

魔法元素向量空间的属性

我们将用大写的字母代表元素的 作用，小写的字母代表元素的含义

魔法元素向量空间应该满足以下属性：

1. （可选）对于任意的两个不同的，不相对的普通基础魔法元素，Ab != Ba
2. （可选）对于任意的普通基础魔法元素，Aa = 2a（这说明普通基础元素的作用矩阵的特征值应该有 2）
3. 对于任意的两个不同的普通基础魔法元素，它们的 反应 应该落在它们的轴（更准确地说，半个轴）组成的 1/4 平面上。换句话说， $Ab = ca + db \quad (c, d > 0)$
4. （可选）对于任意两个相对的基础魔法元素，它们的等量反应结果应该是 0，形式地说： $Ab = Ba = 0 \quad (a + b = 0)$

元素区域

每个（混合）魔法元素并不止占有向量中的一个点，而是点附近的一块区域，这代表了元素的纯度。由此我们可以定义元素的纯度：元素点距离最纯净的点之间的距离。

我们能确定的是，三条轴中任意两条之间构成的平面是 纯净 的（它们仅由基础魔法元素构成）。

定义 2.1（纯净区域）：一个区域是纯净的，当且仅当区域中所有向量都是纯净的。

并且对于任意基础元素，它们之间的反应（无论是正顺序还是反顺序），都只能落于它们的轴之间构成的平面中。如果这两种基础元素在同一条轴上，那么它们的反应产物也应该落在轴上。（根据属性 3）

轴，轴之间的平面 以外的区域称之为混合的。

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混沌元素是个例外，它的作用是 逆，而我们并不清楚这后面的具体含义，不过它一定会打破以上属性。

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符号定义

$$ i = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \quad j = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \quad k = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $$

符号赋予

元素	含义向量
天( $s$ )	$k$
地( $t$ )	$-k$
火( $f$ )	$-j$
水( $w$ )	$j$
明( $b$ )	$i$
暗( $c$ )	$-i$

基本术语定义

术语 1.1（基础），所有普通基础魔法元素统称为元素向量空间的基础（不要和向量空间的 基 basis 弄混了）

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天 地 元素研究

天 和 地 是最平凡的一对基础魔法元素，它们的 作用 和 含义 必须 满足以下性质：

1. $St = Ts = 0$ （根据属性 4）

天 地 元素命题

1. $S$ 和 $T$ 都是 singular 的。证明：$St = Ts = 0$ 并且 $t \neq s \neq 0$

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通用元素研究

1. 对于任意基础魔法元素 $a$，它一定有一个相对的魔法元素 $-a$ （根据定义）
2. 对于任意基础魔法元素 $a$，令 $b$ 为它的相对魔法元素， $Ab = -(Aa)$ （重写 $b = -a$ ）

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作用矩阵设计

• 我们可以让基础元素的作用矩阵只有一个，这会很简洁，但也损失了一些特性：比如 火 * 火 = 更猛烈 和 火 * 水 = 0，这是单一矩阵做不到的。
• 因此，我们 可以但不必要 使用多作用矩阵，多作用矩阵可以有三个：
  1. 作用于与其垂直的，过 0 的平面上的向量
  2. 作用于从那个平面朝向该含义向量方向的向量
  3. 作用于另一个方向的向量。
  4. 或者更多个，作用矩阵还可以随着元素向量改变（当然）

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尽管这么设计可能会让这个向量空间看起来很奇怪（因为本质上元素是信息，而八种元素（6 + 2）刚好是 2^3，所以可以考虑将元素设计为一个二进制串，但这不魔法！）

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可以尝试将元素设定为一个四维的向量空间，其中的基分别是：天，地，火，水。
而 明 和 暗 决定了向量系数的 强度：对于一个 2 倍平衡 和 3 倍混沌 的 元素 $e$，其最终的向量是 $(-1)e$，因为 $2 - 3 < 0$
然而，这使得 平衡元素 相对 混沌元素更有优势，因为在两元素相等时，即强度为 $0$ 时，向量的系数仍然为正。

其次，为所有元素赋予一个作用矩阵实在是一个非常糟糕的想法，这导致了魔法元素合成的冲突。并且，作为一个基本规律，它应当足够简单。因此，我希望魔法元素的合成是平凡的向量加法，并且顺序无关。