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0077.组合优化.md

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欢迎大家参与本项目，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们收益！

在回溯算法：求组合问题！中，我们通过回溯搜索法，解决了n个数中求k个数的组合问题。

可以直接看我的B栈视频讲解：带你学透回溯算法-组合问题的剪枝操作

文中的回溯法是可以剪枝优化的，本篇我们继续来看一下题目77. 组合。

链接：https://leetcode-cn.com/problems/combinations/

看本篇之前，需要先看回溯算法：求组合问题！。

大家先回忆一下[77. 组合]给出的回溯法的代码：

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
    vector<int> path; // 用来存放符合条件结果
    void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
        if (path.size() == k) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
            path.push_back(i); // 处理节点
            backtracking(n, k, i + 1); // 递归
            path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        result.clear(); // 可以不写
        path.clear();   // 可以不写
        backtracking(n, k, 1);
        return result;
    }
};

剪枝优化

我们说过，回溯法虽然是暴力搜索，但也有时候可以有点剪枝优化一下的。

在遍历的过程中有如下代码：

for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
    path.push_back(i);
    backtracking(n, k, i + 1);
    path.pop_back();
}

这个遍历的范围是可以剪枝优化的，怎么优化呢？

来举一个例子，n = 4，k = 4的话，那么第一层for循环的时候，从元素2开始的遍历都没有意义了。 在第二层for循环，从元素3开始的遍历都没有意义了。

这么说有点抽象，如图所示：

77.组合4

图中每一个节点（图中为矩形），就代表本层的一个for循环，那么每一层的for循环从第二个数开始遍历的话，都没有意义，都是无效遍历。

所以，可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置。

如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了。

注意代码中i，就是for循环里选择的起始位置。

for (int i = startIndex; i <= n; i++) {

接下来看一下优化过程如下：

  1. 已经选择的元素个数：path.size();

  2. 还需要的元素个数为: k - path.size();

  3. 在集合n中至多要从该起始位置 : n - (k - path.size()) + 1，开始遍历

为什么有个+1呢，因为包括起始位置，我们要是一个左闭的集合。

举个例子，n = 4，k = 3， 目前已经选取的元素为0（path.size为0），n - (k - 0) + 1 即 4 - ( 3 - 0) + 1 = 2。

从2开始搜索都是合理的，可以是组合[2, 3, 4]。

这里大家想不懂的话，建议也举一个例子，就知道是不是要+1了。

所以优化之后的for循环是：

for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) // i为本次搜索的起始位置

优化后整体代码如下：

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
        if (path.size() == k) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) { // 优化的地方
            path.push_back(i); // 处理节点
            backtracking(n, k, i + 1);
            path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
        }
    }
public:

    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        backtracking(n, k, 1);
        return result;
    }
};

总结

本篇我们准对求组合问题的回溯法代码做了剪枝优化，这个优化如果不画图的话，其实不好理解，也不好讲清楚。

所以我依然是把整个回溯过程抽象为一颗树形结构，然后可以直观的看出，剪枝究竟是剪的哪里。

就酱，学到了就帮Carl转发一下吧，让更多的同学知道这里！

其他语言版本

Java：

class Solution {
    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
    LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
    public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
        combineHelper(n, k, 1);
        return result;
    }

    /**
     * 每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围，就是要靠startIndex
     * @param startIndex 用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,...,n] ）。
     */
    private void combineHelper(int n, int k, int startIndex){
        //终止条件
        if (path.size() == k){
            result.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++){
            path.add(i);
            combineHelper(n, k, i + 1);
            path.removeLast();
        }
    }
}

Python：

class Solution:
    def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:
        res=[]  #存放符合条件结果的集合
        path=[]  #用来存放符合条件结果
        def backtrack(n,k,startIndex):
            if len(path) == k:
                res.append(path[:])
            return 
            for i in range(startIndex,n-(k-len(path))+2):  #优化的地方
                path.append(i)  #处理节点 
                backtrack(n,k,i+1)  #递归
                path.pop()  #回溯，撤销处理的节点
    backtrack(n,k,1)
    return res

Go：

var res [][]int 
func combine(n int, k int) [][]int {
   res=[][]int{}
   if n <= 0 || k <= 0 || k > n {
		return res
	}
    backtrack(n, k, 1, []int{})
	return res
}
func backtrack(n,k,start int,track []int){
    if len(track)==k{
        temp:=make([]int,k)
        copy(temp,track)
        res=append(res,temp)
    }
    if len(track)+n-start+1 < k {
			return
		}
    for i:=start;i<=n;i++{ 
        track=append(track,i)
        backtrack(n,k,i+1,track)
        track=track[:len(track)-1]
    }
}

javaScript:

var combine = function(n, k) {
    const res = [], path = [];
    backtracking(n, k, 1);
    return res;
    function backtracking (n, k, i){
        const len = path.length;
        if(len === k) {
            res.push(Array.from(path));
            return;
        }
        for(let a = i; a <= n + len - k + 1; a++) {
            path.push(a);
            backtracking(n, k, a + 1);
            path.pop();
        }
    }
};