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别看本篇选的是组合总和III，而不是组合总和，本题和上一篇回溯算法：求组合问题！相比难度刚刚好！
找出所有相加之和为 n 的 k 个数的组合。组合中只允许含有 1 - 9 的正整数，并且每种组合中不存在重复的数字。
说明：
- 所有数字都是正整数。
- 解集不能包含重复的组合。
示例 1: 输入: k = 3, n = 7 输出: [[1,2,4]]
示例 2: 输入: k = 3, n = 9 输出: [[1,2,6], [1,3,5], [2,3,4]]
本题就是在[1,2,3,4,5,6,7,8,9]这个集合中找到和为n的k个数的组合。
相对于77. 组合，无非就是多了一个限制，本题是要找到和为n的k个数的组合，而整个集合已经是固定的了[1,...,9]。
想到这一点了，做过77. 组合之后，本题是简单一些了。
本题k相当于了树的深度，9（因为整个集合就是9个数）就是树的宽度。
例如 k = 2，n = 4的话，就是在集合[1,2,3,4,5,6,7,8,9]中求 k（个数） = 2, n（和） = 4的组合。
选取过程如图：
图中，可以看出，只有最后取到集合（1，3）和为4 符合条件。
- 确定递归函数参数
和77. 组合一样，依然需要一维数组path来存放符合条件的结果，二维数组result来存放结果集。
这里我依然定义path 和 result为全局变量。
至于为什么取名为path？从上面树形结构中，可以看出，结果其实就是一条根节点到叶子节点的路径。
vector<vector<int>> result; // 存放结果集
vector<int> path; // 符合条件的结果
接下来还需要如下参数：
- targetSum（int）目标和，也就是题目中的n。
- k（int）就是题目中要求k个数的集合。
- sum（int）为已经收集的元素的总和，也就是path里元素的总和。
- startIndex（int）为下一层for循环搜索的起始位置。
所以代码如下：
vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(int targetSum, int k, int sum, int startIndex)
其实这里sum这个参数也可以省略，每次targetSum减去选取的元素数值，然后判断如果targetSum为0了，说明收集到符合条件的结果了，我这里为了直观便于理解，还是加一个sum参数。
还要强调一下，回溯法中递归函数参数很难一次性确定下来，一般先写逻辑，需要啥参数了，填什么参数。
- 确定终止条件
什么时候终止呢？
在上面已经说了，k其实就已经限制树的深度，因为就取k个元素，树再往下深了没有意义。
所以如果path.size() 和 k相等了，就终止。
如果此时path里收集到的元素和（sum） 和targetSum（就是题目描述的n）相同了，就用result收集当前的结果。
所以 终止代码如下：
if (path.size() == k) {
if (sum == targetSum) result.push_back(path);
return; // 如果path.size() == k 但sum != targetSum 直接返回
}- 单层搜索过程
本题和77. 组合区别之一就是集合固定的就是9个数[1,...,9]，所以for循环固定i<=9
如图：
处理过程就是 path收集每次选取的元素，相当于树型结构里的边，sum来统计path里元素的总和。
代码如下：
for (int i = startIndex; i <= 9; i++) {
sum += i;
path.push_back(i);
backtracking(targetSum, k, sum, i + 1); // 注意i+1调整startIndex
sum -= i; // 回溯
path.pop_back(); // 回溯
}别忘了处理过程 和 回溯过程是一一对应的，处理有加，回溯就要有减！
参照关于回溯算法，你该了解这些！中的模板，不难写出如下C++代码：
class Solution {
private:
vector<vector<int>> result; // 存放结果集
vector<int> path; // 符合条件的结果
// targetSum：目标和，也就是题目中的n。
// k：题目中要求k个数的集合。
// sum：已经收集的元素的总和，也就是path里元素的总和。
// startIndex：下一层for循环搜索的起始位置。
void backtracking(int targetSum, int k, int sum, int startIndex) {
if (path.size() == k) {
if (sum == targetSum) result.push_back(path);
return; // 如果path.size() == k 但sum != targetSum 直接返回
}
for (int i = startIndex; i <= 9; i++) {
sum += i; // 处理
path.push_back(i); // 处理
backtracking(targetSum, k, sum, i + 1); // 注意i+1调整startIndex
sum -= i; // 回溯
path.pop_back(); // 回溯
}
}
public:
vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {
result.clear(); // 可以不加
path.clear(); // 可以不加
backtracking(n, k, 0, 1);
return result;
}
};这道题目，剪枝操作其实是很容易想到了，想必大家看上面的树形图的时候已经想到了。
如图：
已选元素总和如果已经大于n（图中数值为4）了，那么往后遍历就没有意义了，直接剪掉。
那么剪枝的地方一定是在递归终止的地方剪，剪枝代码如下：
if (sum > targetSum) { // 剪枝操作
return;
}
和回溯算法：组合问题再剪剪枝 一样，for循环的范围也可以剪枝，i <= 9 - (k - path.size()) + 1就可以了。
最后C++代码如下：
class Solution {
private:
vector<vector<int>> result; // 存放结果集
vector<int> path; // 符合条件的结果
void backtracking(int targetSum, int k, int sum, int startIndex) {
if (sum > targetSum) { // 剪枝操作
return; // 如果path.size() == k 但sum != targetSum 直接返回
}
if (path.size() == k) {
if (sum == targetSum) result.push_back(path);
return;
}
for (int i = startIndex; i <= 9 - (k - path.size()) + 1; i++) { // 剪枝
sum += i; // 处理
path.push_back(i); // 处理
backtracking(targetSum, k, sum, i + 1); // 注意i+1调整startIndex
sum -= i; // 回溯
path.pop_back(); // 回溯
}
}
public:
vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {
result.clear(); // 可以不加
path.clear(); // 可以不加
backtracking(n, k, 0, 1);
return result;
}
};开篇就介绍了本题与回溯算法：求组合问题！的区别，相对来说加了元素总和的限制，如果做完回溯算法：求组合问题！再做本题在合适不过。
分析完区别，依然把问题抽象为树形结构，按照回溯三部曲进行讲解，最后给出剪枝的优化。
相信做完本题，大家对组合问题应该有初步了解了。
Java：
模板方法
class Solution {
List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
public List<List<Integer>> combinationSum3(int k, int n) {
backTracking(n, k, 1, 0);
return result;
}
private void backTracking(int targetSum, int k, int startIndex, int sum) {
// 减枝
if (sum > targetSum) {
return;
}
if (path.size() == k) {
if (sum == targetSum) result.add(new ArrayList<>(path));
return;
}
// 减枝 9 - (k - path.size()) + 1
for (int i = startIndex; i <= 9 - (k - path.size()) + 1; i++) {
path.add(i);
sum += i;
backTracking(targetSum, k, i + 1, sum);
//回溯
path.removeLast();
//回溯
sum -= i;
}
}
}其他方法
class Solution {
List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
List<Integer> list = new ArrayList<>();
public List<List<Integer>> combinationSum3(int k, int n) {
res.clear();
list.clear();
backtracking(k, n, 9);
return res;
}
private void backtracking(int k, int n, int maxNum) {
if (k == 0 && n == 0) {
res.add(new ArrayList<>(list));
return;
}
// 因为不能重复，并且单个数字最大值是maxNum，所以sum最大值为
// （maxNum + (maxNum - 1) + ... + (maxNum - k + 1)） == k * maxNum - k*(k - 1) / 2
if (maxNum == 0
|| n > k * maxNum - k * (k - 1) / 2
|| n < (1 + k) * k / 2) {
return;
}
list.add(maxNum);
backtracking(k - 1, n - maxNum, maxNum - 1);
list.remove(list.size() - 1);
backtracking(k, n, maxNum - 1);
}
}Python：
class Solution:
def combinationSum3(self, k: int, n: int) -> List[List[int]]:
res = [] #存放结果集
path = [] #符合条件的结果
def findallPath(n,k,sum,startIndex):
if sum > n: return #剪枝操作
if sum == n and len(path) == k: #如果path.size() == k 但sum != n 直接返回
return res.append(path[:])
for i in range(startIndex,9-(k-len(path))+2): #剪枝操作
path.append(i)
sum += i
findallPath(n,k,sum,i+1) #注意i+1调整startIndex
sum -= i #回溯
path.pop() #回溯
findallPath(n,k,0,1)
return resGo：
回溯+减枝
func combinationSum3(k int, n int) [][]int {
var track []int// 遍历路径
var result [][]int// 存放结果集
backTree(n,k,1,&track,&result)
return result
}
func backTree(n,k,startIndex int,track *[]int,result *[][]int){
if len(*track)==k{
var sum int
tmp:=make([]int,k)
for k,v:=range *track{
sum+=v
tmp[k]=v
}
if sum==n{
*result=append(*result,tmp)
}
return
}
for i:=startIndex;i<=9-(k-len(*track))+1;i++{//减枝（k-len(*track)表示还剩多少个可填充的元素）
*track=append(*track,i)//记录路径
backTree(n,k,i+1,track,result)//递归
*track=(*track)[:len(*track)-1]//回溯
}
}javaScript:
// 等差数列
var maxV = k => k * (9 + 10 - k) / 2;
var minV = k => k * (1 + k) / 2;
var combinationSum3 = function(k, n) {
if (k > 9 || k < 1) return [];
// if (n > maxV(k) || n < minV(k)) return [];
// if (n === maxV(k)) return [Array.from({length: k}).map((v, i) => 9 - i)];
// if (n === minV(k)) return [Array.from({length: k}).map((v, i) => i + 1)];
const res = [], path = [];
backtracking(k, n, 1, 0);
return res;
function backtracking(k, n, i, sum){
const len = path.length;
if (len > k || sum > n) return;
if (maxV(k - len) < n - sum) return;
if (minV(k - len) > n - sum) return;
if(len === k && sum == n) {
res.push(Array.from(path));
return;
}
const min = Math.min(n - sum, 9 + len - k + 1);
for(let a = i; a <= min; a++) {
path.push(a);
sum += a;
backtracking(k, n, a + 1, sum);
path.pop();
sum -= a;
}
}
};