Cao18.tex

\begin{tiny}(Cao18)\end{tiny} On considère la base orthonormée directe $\mathcal{U}=(u,v,\frac{1}{\sqrt{3}}w)$ avec $u$ de coordonnées $\frac{1}{\sqrt{2}}(0,1,1)$ dans $\mathcal{B}$ pour laquelle $v = w\wedge u$.  
\begin{displaymath}
 P_{\mathcal{B}\mathcal{U}}=
\begin{pmatrix}
 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}}  \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{6}}
\end{pmatrix},\;
P_{\mathcal{U}\mathcal{B}} = \trans P_{\mathcal{B}\mathcal{U}} 
\end{displaymath}
La matrice cherchée est
\begin{multline*}
P_{\mathcal{B}\mathcal{U}}
 \begin{pmatrix}
  0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1
 \end{pmatrix}
P_{\mathcal{U}\mathcal{B}}\\
= \frac{1}{3}
\begin{pmatrix}
 1 & 1+\sqrt{3} & -1+\sqrt{3} \\
 1-\sqrt{3} & 1 & -1-\sqrt{3} \\
-1-\sqrt{3} & -1+\sqrt{3} & 1
\end{pmatrix}
\end{multline*}