本实验以MATLAB2016a为实验平台，编程实现了频域低通和高通滤波器的设计。利用butterworth和gaussian低通滤波器，采用不同的半径，对test1,test2图像进行了滤波并对比分析了其优缺点；利用butterworth and Gaussian高通滤波器，采用不同半径对test3,test4图像进行了滤波操作，对比分析了其优缺点；利用拉普拉斯和Unmask高通滤波器，对比分析了参数不同取值对图像的影响；最后总结并讨论了空域低通高通滤波与频域低通和高通的关系。
低通滤波是要保留图像中的低频分量而除去高频分量。图像中的边缘和噪声都对应图像傅里叶频谱中的高频部分，所以低通滤波可以除去或消弱噪声的影响并模糊边缘轮廓。
n阶巴特沃斯低通滤波器的传递函数定义为：
(M,N)表示扩展后图像的中心点坐标。观察滤波器函数的图形可以发现，其过渡没有理想低通滤波器那么剧烈，从图中可以看出，阶数越高，滤波器的过度越剧烈，振铃现象将越明显。
二维高斯低通滤波器，其传递函数的形式为：
其中，D0是截止频率。当D(u,v)=D0时，滤波器下降到它最大值的0.607倍处。由于高斯低通滤波器的傅里叶反变换也是高斯的，所以得到的空间高斯滤波器将没有振铃。
- 给定一幅大小为m*n的图像f(x,y)。选择适当的填充参数P和Q，一般令P = 2m，Q = 2n；
- 对图像f(x, y)填充0，填充后得到图像大小为P*Q的图像fp(x, y)；
- 用(-1)^(x+y)乘以fp(x,y)将其移到变换中心(中心化);
- 计算fp(x, y)的DFT，得到F(u,v);
- 生成一个实的，对称的滤波函数H(u, v)，大小为P*Q，中心在(P/2, Q/2)处。然后相乘（矩阵点乘）得到G(u,v) = H(u,v)F(u,v);
- 对G(u, v)反傅里叶变换，然后取实部，再乘以(-1)^(x+y)进行反中心变换最后得到gp(x,y);
- 提取gp(x,y)左上角的m*n区域，对提取的部分进行标准化处理，得到最终的结果图像g(x,y)。
值得一提的是，频域滤波操作是具有通用性的，低通和高通的区别也仅仅在于传递函数H的不同，所以只需要修改传递函数H，就可以得到不同的滤波器。编写的滤波器程序见源代码.md文件。
对图片test1,不同截止频率的巴特沃斯滤波和高斯滤波效果如下：
对于图像test1,两种滤波器不同截止频率的功率谱比如下表所示：
| 滤波器类型 | 截至频率D0 | 功率谱比 | 滤波器类型 | 截至频率D0 | 功率谱比 |
|---|---|---|---|---|---|
| 低通butterworth | 25 | 0.9323 | 低通gauss | 25 | 0.9537 |
| 低通butterworth | 50 | 0.9696 | 低通gauss | 50 | 0.9747 |
| 低通butterworth | 75 | 0.9824 | 低通gauss | 75 | 0.9824 |
对图片test2,不同截止频率的巴特沃斯滤波和高斯滤波效果如下：
对于图像test2,两种滤波器不同截止频率的功率谱比如下表所示：
| 滤波器类型 | 截至频率D0 | 功率谱比 | 滤波器类型 | 截至频率D0 | 功率谱比 |
|---|---|---|---|---|---|
| 低通butterworth | 25 | 0.9228 | 低通gauss | 25 | 0.9481 |
| 低通butterworth | 50 | 0.9622 | 低通gauss | 50 | 0.9707 |
| 低通butterworth | 75 | 0.9766 | 低通gauss | 75 | 0.9793 |
通过观察不同截止频率的低通巴特沃斯和高斯滤波器的效果，可以发现：
- 两种滤波器对图像都有平滑（模糊）效果，并且截止频率越小，模糊效果越好；因为截止频率越小，保留的低频高频信息越少，图像边缘就越模糊；
- 截止频率越小，图像的功率谱比越小，因为滤除的频率分量变多；
- 相同截止频率下，低通高斯滤波器比低通巴特沃斯滤波器保留了更多的低频信息，所以图像细节会更加丰富，功率谱比也更大；这是由于两种滤波器在过渡带的差异。
高通滤波是要保留图像中的高频分量而除去低频分量。而高频分量对应图像的边缘部分，所以高通滤波可以用来提取图像的边缘。
n阶巴特沃斯高通滤波器的传递函数定义为：
二维高斯低通滤波器，其传递函数的形式为：
对图片test3,不同截止频率的巴特沃斯滤波和高斯滤波效果如下:
对于图像test3,两种滤波器不同截止频率的功率谱比如下表所示：
| 滤波器类型 | 截至频率D0 | 功率谱比 | 滤波器类型 | 截至频率D0 | 功率谱比 |
|---|---|---|---|---|---|
| 高通butterworth | 25 | 0.017 | 高通gauss | 25 | 0.0136 |
| 高通butterworth | 50 | 0.0033 | 高通gauss | 50 | 0.0028 |
| 高通butterworth | 75 | 0.0011 | 高通gauss | 75 | 0.00095 |
对图片test4,不同截止频率的巴特沃斯滤波和高斯滤波效果如下:
其不同截止频率的滤波器的功率谱比如下表所示：
| 滤波器类型 | 截至频率D0 | 功率谱比 | 滤波器类型 | 截至频率D0 | 功率谱比 |
|---|---|---|---|---|---|
| 高通butterworth | 25 | 0.0335 | 高通gauss | 25 | 0.0285 |
| 高通butterworth | 50 | 0.0141 | 高通gauss | 50 | 0.0119 |
| 高通butterworth | 75 | 0.0080 | 高通gauss | 75 | 0.0067 |
观察上面的图像处理结果，可以发现：
- 高通滤波器对于图像有边缘增强效果，对于低频分量的滤除和对于高频分量的保留作用及截断效果；
- 当滤波器的半径不同时，对应的滤波效果也不同。半径越小，边缘效果越明显。因为半径越小，保留的高频分量越多，图像边缘也就越明显；
- 对比高通butterworth和高通高斯滤波器的功率谱比，可以发现butterworth高通滤波器保留的高频信息更多，图像边缘越明显。
拉普拉斯算子可使用如下滤波器在频率域实现：
或者，关于频率矩形的中心，可使用如下滤波器：
D(u,v)是距离函数，拉普拉斯增强可使用下式实现：
变换到频域为：
钝化模板由下式给出：
；
最终的表达式为：
其中，K1给出了控制距原点的偏移量；K2控制高频的贡献。
针对两幅图像的拉普拉斯滤波效果如下：
可以发现，随着系数c的增大，图像的边缘部分越明显。
针对两幅图像的Unmask锐化效果如下：
可以观察到，k1/k2的比值越大，对于整幅图像的提升效果越明显，图像平均亮度越大。
空间域中的滤波定义为滤波函数h(x,y)与输入图像f(x,y)进行卷积；频率域中的滤波定义为滤波函数H(u,v)与输入图像傅里叶变换F(u,v)进行相乘。空域的卷积对应于频域的相乘。
频域滤波分为高通滤波和低通滤波。高频信息主要对应于一些不规则噪声和边缘变化，低频信息为图像的大致轮廓样貌。而空间域的滤波主要有平滑和锐化滤波，平滑即去除一些噪声的影响，锐化就是突出图像的边缘部分。由此可知，频率域中的高通滤波对应于空间域的平滑滤波，频率域中的低通滤波对应于空间域的锐化滤波。
空域滤波操作，都是给定一个指定大小的模板，然后对图像的部分像素进行卷积操作；而频域滤波每次都是利用图像的整体像素值，具有全局性，有可能更好地体现图像的整体特性，如整体对比度和平均灰度值等。
空间卷积（相关）如果不加优化，使用最普通的算法，时间复杂度是N^2*M^2（其中M是窗宽），频域滤波的时间复杂度为：（4+8log2N）*N^2；所以当M^2<(4+8log2N)时，频域滤波速度没有优势。
频域滤波前对图像进行的填充操作，会引入高频分量，使得频域滤波后存在高频干扰；而空域滤波，可以选择图像边缘的填充方式，从而不会有高频干扰现象出现。