09Estimadores.Rmd

# Estimación de parámetros

Un estimador se define como una función de la muestra aleatoria, el cual toma valores en los reales y solo depende de los elementos pertenecientes a la muestra. A su vez, un diseño de muestreo, se define por el soporte que es el conjunto $Q$ de todas las posibles muestras. Las propiedades estadísticas de un estimador están determinadas por la medida de probabilidad discreta inducida por el diseño de muestreo. Es decir, dada la probabilidad de selección de cada muestra $s \in Q$, la esperanza, la varianza y otras propiedades de interés de los estimadores están definidas a partir de $p(s)$. En particular, la esperanza de un estimador $\hat\theta$ sigue la siguiente expresión:

$$
E(\hat\theta) = \sum_{s\subset Q} \theta(s)p(s)
$$

Las propiedades más comúnmente buscadas en un estimador $\hat\theta$ son el insesgamiento, la eficiencia y la consistencias. De esta manera, el sesgo está definido por la siguiente expresión:

$$
B(\hat\theta)=E(\hat\theta)-\theta
$$

y el error cuadrático medio, dado por

$$
ECM(\hat\theta)=E[\hat\theta-\theta]^2=Var(\hat\theta)+B^2(\hat\theta).
$$

Si el sesgo de un estimador es nulo, se dice que el estimador es insesgado y cuando esto ocurre el error cuadrático medio se convierte en la varianza del estimador. Además si la varianza del estimador es pequeña en relación con otros estimadores, se dice que el estimador es eficiente. Por último, si cuando el tamaño de muestra crece, el valor del estimador se acerca al parámetro desconocido, se dice que el estimador es consistente. @Sarndal_Swensson_Wretman_2003 afirman que el objetivo en un estudio por muestreo es estimar uno a más parámetros poblacionales. @Gutierrez_2016 resalta que las decisiones más importantes a la hora de abordar un problema de estimación por muestreo son

1. La escogencia de un diseño de muestreo  y un algoritmo de selección que permita implementar el diseño.
1. La elección de una fórmula matemática o estimador que calcule una estimación del parámetro de interés en la muestra seleccionada.

Las anteriores no son decisiones independientes. Es decir, la escogencia de un estimador dependerá, usualmente, del diseño de muestreo utilizado. De hecho, si $\hat\theta$ es un estimador del parámetro $\theta$ y $p_s(\cdot)$ un diseño de muestreo definido sobre un soporte $Q$, entonces la estrategia de muestreo será la dupla $(p(\cdot),\hat{T})$. A continuación se presentan algunos estimadores comúnmente usados en el procesamiento de las encuestas de hogares en la región. 

Aunque el marco de referencia de la teoría de muestreo es la estimación de un parámetro de interés, lo cierto es que en la práctica no solo se necesitan estimaciones que cobijen la población entera sino que también son indispensables estimaciones que involucren subgrupos poblacionales, puesto que estos inducen una partición de la población de interés. En general, es bien sabido que cuando se habla de subgrupos poblacionales se está haciendo referencia a dominios de interés, estratos o postestratos. Cuando el investigador se enfrenta a una encuesta que tiene en cuenta subgrupos poblacionales (es decir, siempre) es indispensable conocer en qué se diferencian cada uno de ellos, pues de esto depende que la investigación arroje resultados confiables mediante el planteamiento de la mejor estrategia de muestreo.

Asumiendo que $U_1, \ldots, U_g, \ldots, U_G$ denotan los subgrupos poblacionales tales que $\bigcup_{g=1}^GU_g=U$, y siendo $N_g$ el tamaño absoluto del subgrupo $U_g$, entonces se tiene que $\sum_{g=1}^G N_g=N$.  A partir de las anteriores definiciones, se pueden plantear algunas diferencias y similitudes entre cada uno de ellos. A continuación se resumen:

- *Dominios de interés*: este tipo de subgrupos poblacionales son aquellos para los cuales se requieren estimaciones separadas. Estos requerimientos se planean en la etapa de diseño para asegurar que el diseño de la muestra sea tal que al momento de la recolección de la información exista una cobertura apropiada en cada uno de los dominios de interés. Por lo general, lo anterior sólo se puede lograr ampliando el tamaño de muestra $(n)$, puesto que el marco de muestreo no informa acerca de la pertenencia de los individuos a los dominios de interés. Un aspecto importante de esta clase de subgrupos poblacionales es que el número de individuos en la muestra que pertenecen a un dominio de interés es siempre aleatorio, y para algunos dominios particulares puede llegar a ser muy pequeño. Por otro lado el tamaño absoluto de cada dominio no se conoce ni antes de la etapa de diseño ni después de la etapa de estimación. Un ejemplo claro de estos subgrupos es la condición de ocupación, la condición de pobreza, la rama de actividad, entre otros.

- *Estratos*: cuando el marco de muestreo permite conocer la pertenencia de todos los individuos de la población a un subgrupo poblacional, se dice que esta clase de subgrupos se llaman estratos. Más aun, cuando se sabe que la característica de interés tiene un comportamiento distinto en cada uno de los estratos y se planea un diseño de muestreo que tenga en cuenta este aspecto mediante la selección aleatoria de unidades en cada uno de los estratos, se dice que el diseño de muestreo es estratificado. El aspecto fundamental de esta clase de subgrupos poblacionales es que el conocimiento de la pertenencia de los individuos a los estratos se incorpora en la etapa de diseño de la muestra. Nótese que a diferencia de los dominios, en los estrato se conoce el tamaño poblacional y se controla el tamaño de muestra antes de la etapa de estimación. Un ejemplo claro de estos subgrupos son las zonas urbanas o rurales, regiones y municipios.

- *Postestratos*: la propiedad que caracteriza a este tipo de subgrupos poblacionales es que aunque en la etapa de diseño el tamaño del postestrato es conocido, se desconoce el número de individuos que pertenecerán al postestrato en la muestra seleccionada. Un ejemplo claro de estos subgrupos son los grupos etarios, el sexo o la etnia que, si bien no siempre son utilizadas en la fase de diseño, sí se utilizan sus proyecciones demográficas en la fase de análisis para analizar mejorar la eficiencia de los estimadores. Al respecto @Sarndal_Swensson_Wretman_2003 afirman que existen dos situaciones en las cuales se presenta esta situación, llamada comúnmente postestratificación:
    - Cuando el marco de muestreo es tal que se conoce la pertenencia de todos los elementos a los subgrupos poblacionales pero el investigador decide no utilizar esta información en la etapa de diseño. Las razones para esto son diversas pero principalmente se decide obviar este tipo de información por practicidad logística. Una vez que se ha realizado la selección de la muestra, se observa la característica de interés $y_k$ en los individuos de la muestra. El investigador decide utilizar la información auxiliar de pertenencia a los postestratos en la etapa de estimación para mejorar la eficiencia de la estrategia de muestreo, en particular del estimador propuesto.
    - Mediante alguna fuente de información confiable se conocen los tamaños absolutos $N_g$ de cada subgrupo poblacional aunque se desconoce la pertenencia de los individuos a los subgrupos, pues el marco de muestreo presenta esta deficiencia. Después de la etapa de diseño, se observa la característica de interés y se pregunta acerca de la pertenencia de los individuos seleccionados en los postestratos de tal forma que en la etapa estimación se utiliza esta información para mejorar la eficiencia de los estimadores de los parámetros de interés.
    
Es posible afirmar que el análisis apropiado de una encuesta no puede pasar por alto las diferencias de estos subgrupos. Es más, el diseño y rediseño de las encuestas se basan fundamentalmente en la búsqueda de estos subgrupos en la población. En todas las encuestas de hogares que se planean en América Latina se busca investigar fenómenos asociados a subgrupos poblacionales que se encuentran dispersos en la geografía de los países y, en general, se podría especificar los siguientes aspectos:

1. El tamaño de muestra de una encuesta casi siempre se basa en la incidencia de un fenómeno que clasifica a la población en algún dominio de interés.
1. Este tamaño de muestra se reparte entre los diferentes estratos geográficos para mejorar la eficiencia del levantamiento de la información y del diseño de muestreo.
1. En muchas ocasiones, las proyecciones demográficas sobre los post-estratos son utilizadas en la fase de estimación para mejorar la precisión de los estimadores.


## El estimador de Horvitz-Thompson para totales y tamaños poblacionales 

### Estimación para totales   

La mayoría de indicadores sociales a nivel nacional pueden verse como funciones de totales de una o más variables de interés. Por ejemplo, si el interés está en estimar un total $t_y=\sum_U y_k$, el estimador de Horvitz-Thompson (HT) provee una metodología que induce insesgamiento.

$$
\hat{t}_{y, \pi} = \sum_s d_k y_k
$$

En donde la muestra $s$ hace referencia al subconjunto de la población que fue seleccionado siguiendo un diseño de muestreo probabilístico que induce los pesos de muestreo $d_k$, los cuales expanden el valor de la variable de interés $y_k$ para el $k$-ésimo individuo. Nótese que $d_k$ es el inverso multiplicativo de la probabilidad de inclusión de $k$-ésimo individuo en la muestra, $d_k = \pi_k^{-1}$. 

Como se verá más adelante, en presencia de esquemas de estratificación y selección de conglomerados y varias etapas, esta probabilidad resulta ser el producto de las probabilidades condicionales que surgen en los subsecuentes procesos de selección probabilística. Por tanto, el peso final de muestreo resulta ser por lo general una multiplicación de factores de expansión en cada etapa o fase del esquema de muestreo. En general, este estimador toma diferentes formas a medida que el diseño de muestreo cambia. A continuación se presenta una lista no exhaustiva de algunas de los diseños más importantes en la teoría de muestreo para encuestas de hogares. 


#### Muestreo aleatorio simple 

En este caso, las probabilidades de inclusión son equivalentes para cada unidad incluida en la muestra,

$$
\pi_k =\frac{n}{N}
$$

Por tanto el estimador toma la siguiente forma:

$$
\hat{t}_{y,\pi}=\frac{N}{n}\sum_s y_k
$$

#### Muestreo proporcional al tamaño 

Este diseño de muestreo induce probabilidades de inclusión proporcionales al tamaño de una característica de información auxiliar (estrictamente positiva) disponible en el marco de muestreo; por tanto las probabilidades de inclusión obedecen la siguiente relación:

$$
\pi_k=\frac{n\ x_k}{t_x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0<\pi_k\leq 1
$$

Por tanto el estimador toma la siguiente forma:

$$
\hat{t}_{y,\pi}=t_x \ \sum_s\frac{y_k}{n\ x_k}
$$

Por último, no es cierto que la asignación de probabilidades desiguales en las unidades de muestreo induzca sesgo en la encuesta Por ejemplo, cuando se utiliza el estimador de expansión (Hansen-Hurwitz, para el caso de muestreos con reemplazo - Horvitz-Thompson, en muestreos sin reemplazo) el sesgo es nulo bajo estas condiciones. Sin embargo, si se utilizara un estimador que no haga uso de los factores de expansión, la inferencia sí estaría sesgada. Por ende, lo natural es que si el diseño es con probabilidades desiguales, éstas se utilicen dentro de un estimador que considere esta desigualdad; luego sería incorrecto que se utilice otro estimador diferente al estimador de expansión.

#### Muestreo estratificado 

Si $\hat{t}_{yh,\pi}$ estima insesgadamente el total de la característica de interés $t_{yh}$ del estrato $h$, entonces un estimador insesgado para el total poblacional $t_y$ está dado por
$$
\hat{t}_{y,\pi}=\sum_{h=1}^H \hat{t}_{yh,\pi}
$$
Por ejemplo, para un diseño de muestreo aleatorio estratificado, las probabilidades de inclusión de primer orden están dadas por:
$$
\pi_k = \dfrac{n_h}{N_h} \ \ \ \text{si $k\in U_h$}
$$

En este caso, siendo un $s_h$ la muestra seleccionada en el estrato $U_h$, el estimador insesgado del total $t_{y}$ está dado por
$$
\hat{t}_{y,\pi}=\sum_{h=1}^H\dfrac{N_h}{n_h}\sum_{k\in s_h}y_k
$$


#### Muestreo de conglomerados  

En el esquema general del muestreo por conglomerados, se utiliza un diseño de muestreo específico para la selección de los conglomerados en la muestra. La probabilidad de que el $k$-ésimo elemento, sea incluido en la muestra $s$ es idéntica a la porbablidad de inclusión del conglomerado al que pertenece $\pi_{Ii}$; es decir

$$
\pi_{k}=\pi_{Ii}  \ \ \ \text{si $k\in U_i$}
$$

Si se asume que la población está dividida en $N_I$ conglomerados y se selecciona una muestra de conglomerados $s_I$ de tamaño $n_I$, entonces para un diseño de muestreo aleatorio de conglomerados, el estimador de HT del total poblacional está dado por

$$
\hat{t}_{y,\pi}=\frac{N_I}{n_I}\sum_{s_I}t_{yi}
$$

En donde $t_{yi}$ hace referencia al total de la característica de interés en el conglomerado $U_i$. Como se mencionó en los capítulos anteriores, definir los conglomerados con tamaños muy desiguales redunda en un aumento significativo de la varianza del estimador; es por esto que, en encuestas de hogares, se intenta crear conglomerados acotados, a nivel de manzana, o vereda. Esta es una práctica muy pertinente, puesto que la varianza del estimador de expansión estará en función de la varianza de los totales de los conglomerados; si existe una alta variación en los tamaños, habrá también una alta variación en los totales y, por consiguiente, la varianza del estimador será alta. De otra forma, si se tiene conocimiento de una característica de información auxiliar a nivel de los conglomerados (medida de tamaño), es posible hacer uso de esta información del marco para reducir la varianza en el estimador.

#### Muestreo en dos etapas 

Bajo este diseño la probabilidad de inclusión de primer orden del $k$-ésimo elemento está dada por
$$
\pi_{k}=Pr(k\in s)=Pr(k\in s_i|i\in s_I)\ Pr(i\in s_I)=\pi_{k|i}\ \pi_{Ii}
$$

En donde $s_i$ corresponde a la submuestra de elementos seleccionada en el conglomerado $U_i$. En particular, cuando el diseño de muestreo es aleatorio simple en las dos etapas, y para cada unidad primaria de muestreo seleccionada $i\in s_{I}$ de tamaño $N_i$ se selecciona una muestra $s_i$ de elementos de tamaño $n_i$, entonces el estimador HT toma la siguiente forma
$$
\hat{t}_{y,\pi}=\frac{N_{I}}{n_{I}}\sum_{i\in S_{I}}\frac{N_i}{n_i}\sum_{k\in s_i}y_k
$$


#### Muestreo en dos fases 

Este tipo de muestreo selecciona una muestra de elementos $s_a$ en una primera fase en la cual se recolecta información de interés para crear una versión reducida y acotada del marco de muestreo. A partir de esta información, en una segunda fase, se realiza una nueva selección que define una submuestra $s$, en donde se observa la característica de información auxiliar. Bajo este esquema, la probabilidad de que un elemento esté en la submuestra de la segunda fase $s$ depende de lo que haya sucedido en la muestra de la primera fase $s_a$; por lo tanto, la probabilidad de inclusión de cualquier elemento en la muestra final no tiene una forma cerrada y es algebraicamente intratable. Por ende, se define el estimador de Horvitz-Thompson condicionado, el cual toma la siguiente forma

$$
\hat{t}_{y,\pi^*}=\sum_{s}\frac{y_k}{\pi_{k}^*}=\sum_{s}\frac{y_k}{\pi_{ak}\pi_{k\mid{s_a}}}
$$

En la anterior expresión, $\pi_{ak}$ denota la probabilidad de inclusión del elemento en la muestra de la primera fase, mientras que $\pi_{k\mid{s_a}}$ denota la probabilidad de inclusión del elemento a la submuestra de la segunda fase, condicionada a que haya sido incluido en la primera fase. 

### El estimador HT en una encuesta de hogares regular 

Suponga un diseño regular en una encuesta de hogares; por ejemplo, asuma que se tiene un esquema estratificado de $H$ estratos, con dos etapas de selección dentro de cada estrato (la primera etapa con selección de UPM dentro del estrato, la segunda con selección de hogares), entonces el peso de muestreo final y el estimador del total estará dado por la siguiente expresión

$$
\hat{t}_{y, \pi} = \sum_s d_k y_k = \sum_h \sum_{i \in s_{Ih}} \sum_{k \in s_{hi}}  w_{hik} y_{hik}
$$

Por ejemplo, si dentro de cada estrato $U_h$ $h=1,\ldots, H$ existen $N_{Ih}$ unidades primarias de muestreo, de las cuales se selecciona una muestra $s_{Ih}$ de $n_{Ih}$ unidades mediante un diseño de muestreo aleatorio simple; y además, se considera que el sub-muestreo dentro de cada unidad primaria seleccionada es también aleatorio simple, de tal manera que para cada unidad primaria de muestreo seleccionada $U_i\in s_{Ih}$ de tamaño $N_i$ se selecciona una submuestra $s_i$ de elementos de tamaño $n_i$, entonces la forma final del estimador de Horvitz-Thompson para el total poblacional quedaría expresada de la siguiente manera:

$$
\hat{t}_{y,\pi}=\sum_{h=1}^H\hat{t}_{yh,\pi}=\sum_{h=1}^H\left[\frac{N_{Ih}}{n_{Ih}}\sum_{i\in S_{Ih}}\frac{N_i}{n_i}\sum_{k\in s_i}y_k\right]
$$


### Estimación para tamaños y totales en dominios   

En general todas las expresiones para totales son apropiadas para tamaños poblacionales, puesto que la variable $y_k = 1 \ \forall k \in s$. De esta forma, el estimador HT para un tamaño está dado por la suma de los factores de expansión:

$$
\hat{N} = \sum_s d_k 
$$

Bajo un diseño regular en una encuesta de hogares, con un esquema estratificado y dos etapas de selección, el estimador del tamaño poblacional estará dado por la siguiente expresión

$$
\hat{N} = \sum_s d_k = \sum_h \sum_{i \in s_{Ih}} \sum_{k \in s_{hi}}  w_{hik} 
$$


Al asumir un diseño de muestreo estratificado bietápico, con selección aleatoria simple en cada etapa, entonces la forma final del estimador de Horvitz-Thompson para el tamaño poblacional quedaría de la siguiente manera:

$$
\hat{N}_{\pi}=\sum_{h=1}^H\left[\frac{N_{Ih}}{n_{Ih}}\sum_{i\in S_{Ih}}\frac{N_i}{n_i}\sum_{k\in s_i}1\right]
$$

Como lo afirma @Gutierrez_2016, en muchas investigaciones es necesario llevar a cabo estimaciones sobre la población en general, y también sobre subgrupos de ella (denominados dominios por la subcomisión en muestreo de las Naciones Unidas). La identificación de los dominios se logra una vez la información de los elementos ha sido registrada. Los dominios tienen que cumplir las siguientes características:

1. Ningún elemento de la población puede pertenecer a dos dominios.
1. Todo elemento de la población debe pertenecer a un dominio.
1. La reunión de todos los dominios es la población del estudio.

La estimación por dominios se caracteriza por el desconocimiento previo de la pertenencia de las unidades poblacionales al dominio. Es decir, para conocer cuáles unidades de la población pertenecen al dominio, es necesario realizar el proceso de medición. En primer lugar construir una función indicadora $z_{dk}$ de la pertenencia del elemento al dominio, la cual toma el valor 1, si el elemento $k$ pertenece al dominio $U_d$ $(k\in U_d)$, y toma el valor 0, en otro caso. Ahora se puede utilizar los principios del estimador de Horvitz-Thompson para hallar un estimador insesgado del tamaño del dominio $U_d$, dado por:

$$
\hat{N}_d = \sum_{s_d} d_k 
$$

Al multiplicar la variable de pertenencia $z_{dk}$ por el valor de la característica de interés $y_k$, se crea una nueva variable $y_{dk}$ dada por $y_{dk}=z_{dk} \ y_k$, y una vez construida es posible definir el estimador insesgado del total de la característica de interés en el dominio $U_d$, dado por:
$$
\hat{t}_{y_d,\pi}=\sum_sd_k\ y_{dk}=\sum_{S_d}d_ky_k
$$

## El estimador de Hájek para medias y proporciones

Cuando se quieren estimar medias y proporciones, es muy probable que no se tenga conocimiento exacto del tamaño poblacional. Por ejemplo, para la estimación de indicadores a nivel de hogar en encuestas mensuales, es difícil tener certeza exacta del número de hogares en el país mes a mes. Por esta razón, cuando se definen estimadores de indicadores relativos, es necesario hacer un doble proceso de inferencia: a nivel de la característica de interés que se quiere investigar, y a nivel del tamaño de la población. El enfoque más comúnmente usado es el de Hájek, que define el estimador para una media de la siguiente manera:

$$
\hat{\bar{y}}_s=\frac{\hat t_y}{\hat N} = \frac{\sum_sd_k\ y_{k}}{\sum_sd_k}
$$

Para el caso de la estimación de una proporción $P_d$, el estimador de Hájek toma la siguiente forma:

$$
\hat{P}_d=\frac{\hat N_d}{\hat N} = \frac{\sum_{s}d_k\ z_{dk}}{\sum_sd_k} = \frac{\sum_{s_d}d_k}{\sum_s d_k}
$$

Para el caso de la estimación de una media en una subpoblación, como por ejemplo la media del gasto en el área urbana, el estimador de Hájek puede escribirse de la siguiente manera:
$$
\hat{\bar{y}}_d=\frac{\hat t_{y_d}}{\hat N_d} = \frac{\sum_s d_k\ y_{k} \ z_{dk} }{\sum_s d_k \ z_{dk}} = \frac{\sum_{s_d} d_k\ y_{k}}{\sum_{s_d} d_k}
$$

En general, este tipo de estimadores se pueden considerar no lineales y sus propiedades estadísticas son complejas, y puesto que tanto el numerador como el denominador son variables aleatorias, es necesaria la verificación de algunos supuestos que tienen que ver con el tamaño de la población y de la muestra [@Gutierrez_2016].  En particular, bajo un diseño de muestreo que plantee un esquema estratificado y tres etapas de selección, el estimador de la media poblacional estará dado por la siguiente expresión:

$$
\hat{\bar{y}}_s=\frac{\sum_h \sum_{i \in s_{Ih}} \sum_{j \in s_{hi}} \sum_{k \in s_{hij}} w_{hijk} \ y_{hijk}}{\sum_h \sum_{i \in s_{Ih}} \sum_{j \in s_{hi}} \sum_{k \in s_{hij}} w_{hijk} }
$$

Las demás expresiones para los estimadores de proporciones o medias en una subpoblación, bajo un diseño de muestreo regular, pueden ser fácilmente derivadas siguiendo los principios expuestos anteriormente. 

## Otros estimadores de muestreo

En presencia de información auxiliar es posible mejorar la eficiencia de la estimación acudiendo a diferentes formas funcionales que estiman el total; por ejemplo, con el estimador de razón:

$$
\hat{t}_{y, r} = t_x \frac{\sum_s d_k y_k}{\sum_s d_k x_k}
$$

En donde $t_x$ denota el total poblacional, que se supone conocido para toda la población, de una variable auxiliar $x$ que es preguntada en la encuesta de hogares. Por supuesto, en el análisis de este tipo de encuestas es común realizar inferencias sobre parámetros que tienen una forma no lineal. Uno de los más básicos es la razón poblacional $R_U = t_{y_1} / t_{y_2}$ cuya estimación se lleva a cabo estimando ambos componentes de la fracción 

$$
\hat{R}= \frac{\hat{t}_{y_1}}{\hat{t}_{y_2}}
= \frac{\sum_s d_k y_{1k}} {\sum_s d_k y_{2k}}
$$

Como se indicó anteriormente, la estimación de un promedio poblacional $\bar{y}_U = t_y / N$, se lleva a cabo de forma eficiente estimando el tamaño de la población y se puede ver como un caso particular de la estimación de una razón. Por otra parte, las encuestas de hogares con diseños panel o rotativos, tienen un mayor interés en la estimación del cambio de indicadores en dos periodos tiempo $\Delta = t_{y^{(t)}} - t_{y^{(t-1)}}$. Nótese que un estimador de este parámetro está dado por

$$
\hat{\Delta} = \hat{t}_{y^{(t)}} - \hat{t}_{y^{(t-1)}}
$$

Además, si el interés está en estimar algunas características asociadas con la pobreza, es posible utilizar estimadores más complejos. Siendo $y_k$ el ingreso del individuo $k$ y $l$ el umbral de pobreza, entonces el siguiente estimador puede ser utilizado 

$$
\hat{F}_{\alpha}=\frac{1}{N}\sum_{k\in s} d_k 
\left(\frac{l-y_k}{l}\right)^{\alpha}I(y_k<l)
$$

En donde $I(y_k<l)$ es una variable indicadora que toma el valor uno si $y_k<l$ o cero, en cualquier otro caso. Note que si $\alpha = 0$, se tiene una estimación de la incidencia de la pobreza y si $\alpha = 1$, se obtiene un estimación de la brecha de la pobreza [@Foster_Greer_Thorbecke_1984].

La selección del estimador está altamente relacionada con el diseño de la encuesta. Por ejemplo, si se pretende estimar un indicador para un periodo de tiempo definido, el diseño de la encuesta no debería inducir un esquema de rotación que tenga traslape de hogares, puesto que la correlación del indicador induciría un aumento de su varianza y por ende pérdida de eficiencia. Sin embargo, si se desea estimar el cambio del indicador entre dos periodos de tiempos, es necesario contar con un esquema de rotación que asegure un tamaño de muestra suficiente para estimar con precisión este cambio. @Cochran_1977[sección 12.13] afirma que, cuando el interés se centra tanto en la estimación del indicador en el periodo actual como en la estimación del cambio entre periodos, es recomendable tener una tasa de traslape de 2/3, 3/4 o 4/5 de una ronda a otra.


## Estimadores de calibración

La calibración se ha establecido como un importante instrumento metodológico en la producción de grandes masas de estadísticas [@Sar08]. Esta metodología integra información auxiliar en las estimaciones de la encuesta, no solo para garantizar la consistencia con las cifras oficiales reportadas por los INE, sino para hacer más eficiente el proceso de estimación. @Gutierrez_2016 da una breve descripción de este método:

1. Suponga que se tiene acceso a un vector de información auxiliar, $\mathbf{x}_k=(x_{1k}, x_{2k},\ldots,x_{pk})$, de $p$ variables auxiliares, el cual es conocido para los individuos seleccionados en la muestra.
1. Además, por registros administrativos u otras fuentes de confianza, se tiene el conocimiento del total del vector de información auxiliar $\mathbf{t_X}=\sum_{k\in U}\mathbf{x}_k$.
1. El propósito del estudio es estimar el total de la característica de interés incorporando la información auxiliar, dada por $\mathbf{x}_k (k\in s)$.
1. Se requiere que los pesos resultantes cumplan con la siguiente restricción
$$
  \sum_{k\in s}w_k\mathbf{x}_k = \mathbf{t_X}
$$
la cual es conocida como la ecuación de calibración.
1. El resultado de la calibración es un nuevo conjunto de pesos $w_k$ que son muy cercanos al inverso de la probabilidad de inclusión del $k$-ésimo elemento $d_k=1/\pi_k$

En general, en América Latina, la estrategia de estimación utilizada por los INE recurre a la metodología de calibración sobre proyecciones poblacionales en los dominios de representatividad de la encuesta. Por ejemplo, departamento, zona urbana, zona rural, sexo y/o grupos de edad. Algunas ventajas de utilizar estos procedimientos es que las estimaciones tendrán un sesgo despreciable, y los errores estándares serán más pequeños al compararlos con los del estimador de Horvitz-Thompson; de esta forma se crea un sistema de ponderación que reproduce la información auxiliar disponible y que es eficiente al momento de estimar cualquier característica de interés en la encuesta. Esta coherencia entre las cifras oficiales y las que la encuesta puede producir hace que sea preferible el uso de los estimadores de calibración. 

En un encuesta de hogares las restricciones de calibración pueden establecerse sobre características de hogares y características de personas al mismo tiempo. De esta forma, por ejemplo, es posible calibrar sobre las proyecciones demográficas de personas y al mismo tiempo controlar las estimaciones del número de hogares en el país de manera conjunta. @Estevao_Sarndal_2006 discuten una amplia variedad de casos en donde se calibra conjuntamente en distintos niveles de desagregación sobre diferentes esquema de muestreo. Por ejemplo, para la *Encuesta Continua de Empleo* de Bolivia la calibración está inducida por una post-estratificación sobre los tamaños poblacionales de los cruces resultantes entre las variable Departamento (hay 9 departamentos), Zona (rural y urbano) y PET (con dos categorías: mayor o igual a 10 años y menor de 10 años).

En resumen, utilizar este tipo de estimadores garantiza una *consistencia estética*, puesto que es deseable que las estimaciones puntuales de las encuestas coincidan con los conteos censales, proyecciones poblacionales, registros estadísticos o registros administrativos. Además, existirá un *aumento de la precisión*, porque en la búsqueda de la mejor estrategia de muestreo, el estadístico quiere obtener cifras precisas y confiables que induzcan intervalos de variación angostos y menores errores de muestreo. Por último, si existe una integración adecuada de la información auxiliar, se *disminuye el sesgo* generado por la ausencia de respuesta (debido a los individuos) o por la falta de cobertura (debido a los defectos del marco de muestreo).

### Ganancia en eficiencia   

Para mostrar cómo los estimadores de calibración inducen menores varianzas que los estimadores comunes, se planeó el siguiente experimento de simulación empírica:

1. Se generaron cuatro conjuntos de datos que guardan cierto tipo de relación específica entre la variable de interés y las variables de información auxiliar.
1. Se utilizó la metodología de calibración y se compararon, de forma empírica, para mil iteraciones, las medidas de variabilidad. 

Para el primer conjunto de datos, se supuso que existe una relación lineal entre la característica de interés y una variable de información auxiliar continua. Se nota que existe homoscedasticidad en el modelo y que los residuales tienen un comportamiento coherente. A pesar de que ambos estimadores se muestran insesgados para el parámetro de interés, se nota que el estimador de calibración es menos disperso y más eficiente.

Las cuatro siguientes figuras muestran la relación lineal entra las variables (arriba-izquierda), los residuales ajustados en un modelo de regresión simple (arriba-derecha), la dispersión (abajo-izquierda) de las estimaciones de Horvitz-Thompson (puntos grises) y de las estimaciones de calibración (puntos negros), así como la distribución empírica (abajo-derecha) del estimador de Horvitz-Thompson (línea gris) y del estimador de calibración (línea negra), en donde la línea vertical indica el valor del parámetros poblacional. 

![*Comportamiento del estimador de calibración en una relación de dependencia lineal*](Pics/c5.png)

El segundo conjunto de datos asume que existe una relación lineal entre la característica de interés y una variable de información auxiliar continua. Se nota que existe heteroscedasticidad en el modelo y los residuales lo muestran. A pesar de que ambos estimadores se muestran insesgados para el parámetro de interés, el estimador de calibración es un poco más eficiente que el de Horvitz-Thompson.

![*Comportamiento del estimador de calibración en una relación de dependencia lineal con heteroscedasticidad*](Pics/c6.png)

El tercer conjunto de datos asume que existe una relación cuadrática entre la característica de interés y una variable de información auxiliar continua. Al utilizar un estimador de calibración lineal, los residuales muestran un comportamiento inapropiado. Sin embargo, ambos estimadores se muestran insesgados para el parámetro de interés, pero el estimador de calibración es más eficiente que el de Horvitz-Thompson.

![*Comportamiento del estimador de calibración en una relación de dependencia cuadrática*](Pics/c7.png)

El último conjunto de datos asume que existe una relación logística entre la característica de interés y una variable de información auxiliar dicotómica Al utilizar un estimador de calibración lineal, los residuales muestran un comportamiento inapropiado. Ambos estimadores se muestran insesgados para el parámetro de interés e igual de eficientes.

![*Comportamiento del estimador de calibración en una relación de dependencia logística*](Pics/c8.png)

Es posible demostrar que la razón entre la varianza del estimador de calibración con la varianza del estimador de Horvitz-Thompson está supeditada al coeficiente de determinación $R^2_{\xi}$ en un modelo de regresión lineal simple $\xi$ entre la característica de interés y la información auxiliar. 

$$
\frac{Var(\hat t_{y, cal})}{Var(\hat t_{y, HT})} = (1-R^2_{\xi} + o(\sqrt{n})) \approx (1-R^2_{\xi})
$$

Por ende, usar la metodología de calibración supone casi siempre una ganancia en la eficiencia de la estrategia de muestreo.

### Diferentes formas del estimador de calibración   

La calibración es un ajuste que se realiza a los pesos de muestreo con el propósito de que las estimaciones de algunas variables de control reproduzcan de forma perfecta los totales poblacionales de estas variables. Sin embargo, es necesario tener en cuenta las diferencias entre los métodos de calibración, que en general corresponderán con el nivel de desagregación de información auxiliar:

1. Calibración con variables continuas, que es el caso en donde la calibración se realiza con totales de variables continuas como ingreso o gasto, entre otras. 
2. Post-estratificación con variables categóricas, que representa el caso en donde la calibración se realiza con los tamaños poblacionales (basados en proyecciones demográficas o registros administrativos) de subgrupos de interés. 
3. *Raking* con variables categóricas, que se define como una calibración sobre los tamaños marginales de tablas de contingencia de subgrupos de interés. A diferencia del caso anterior, esta calibración no tiene en cuenta los tamaños de los cruces, sino solo los tamaños marginales; por ende, este método induce menos restricciones. 


#### Postestratificación 

La postestratificación es una de las técnicas más usadas para el ajuste de los pesos de muestreo vía calibración. Este ajuste requiere la definición de categorías poblacionales. Por ejemplo, personas en un determinado grupo de edad, en cierta región y de cierta etnia o raza. Este método se implementa dentro de cada uno de los cruces inducidos por las covariables de interés (edad, región, etnia o raza). Nótese que, es necesario tener acceso a la información auxiliar a nivel de *todos* los cruces definidos por los subgrupos. Usualmente corresponden a proyecciones demográficas. En este caso, la suma de los pesos ajustados reproducirán con exactitud los tamaños poblacionales en cada cruce. 

Las categorías formadas para definir los pesos de muestreo se conocen como *post-estratos* puesto que son definidas después de que la muestra es seleccionada y los datos son recolectados. Esta es una ventaja pues estas variables no necesariamente participan en la planificación del diseño de muestreo. Por ejemplo, en una encuesta de hogares es difícil estratificar por etnia o raza, edad, sexo o ciclo educativo alcanzado. Como se conoce que estas variables pueden estar correlacionadas con la pobreza, el ingreso o la ocupación, sería una buena idea contemplarlas en la calibración. Suponiendo que se definen cuatro categorías para la raza, dos para sexo, cinco para la edad, entonces habrían 40 post-estratos y sus respectivas restricciones. 

De esta manera, siendo $g = 1, \ldots, G$ el indicador del cruce poblacional (post-estrato), el estimador de postestratifiación queda definido de la siguiente manera:

$$
\hat{t}_{y, pos} = \sum_{g = 1}^G \frac{N_g}{\hat{N}_g}\hat{t}_{y_g}
$$

En donde $N_g$ corresponde al tamaño poblacional del post-estrato, $\hat{N}_g = \sum_{s_g} d_{k}$ y $\hat{t}_{y_g} = \sum_{s_g} d_{k} y_k$. Por lo anterior, el factor de expansión de estimador postestratificado queda definido como sigue:

$$
w_k= d_k \frac{N_g}{\hat{N}_g} \ \ \ \ \ (k \in s_g)
$$

Note que $d_k$ corresponde al peso inducido por el diseño de muestreo, corregido por los ajustes de elegibilidad y por la ausencia de respuesta, los cuales serán presentados en los capítulos posteriores del documento.

Por último, se debe considerar que la cantidad de postestratos en la calibración está inducido por la cantidad de interacciones en las variables auxiliares. En algunos casos, es posible encontrar cientos de interacciones. Aunque los tamaños de los postestratos se reproduce sin error, esto puede disminuir la eficiencia de la calibración en las variables de interés. Es decir, muchas variables e interacciones hacen que las estimaciones sean inestables, sobre todo si existen cruces con celdas vacías. Es posible que el efecto de las interacciones influencie la creación de los nuevos pesos calibrados y se tengan datos atípicos en los pesos de calibración resultantes. 

#### Raking 

¿Qué sucede si los conteos poblacionales (información auxiliar) no están disponibles para todos los cruces de las variables de calibración? Es posible que los agregados poblacionales de las variables provengan de distintas fuentes y no se pueda llegar a nivel de cruce. En este caso, es factible calibrar los marginales de la tabla cruzada, sin necesidad de calibrar todas sus entradas. En este caso, el número de restricciones decrecería con respecto a la postestratifación, pues se sumaría el número de categorías, mientras que en la postestratificación se multiplican. En el escenario anterior, en donde asumimos cuatro categorías para la raza, dos para sexo, cinco para la edad, entonces habrían únicamente 11 restricciones. 

Para ajustar los marginales de la tabla cruzada, es necesario realizar un procedimiento iterativo (IPFP), el cual no tiene una escritura cerrada [@Gutierrez_2016, capítulo 10]. Por ejemplo, si el *raking* es de dos marginales, se ajustan primero las filas, luego las columnas y así sucesivamente hasta alcanzar la convergencia de los pesos calibrados y el procedimiento se detiene cuando se alcanza una tolerancia prefijada. Sin pérdida de generalidad, bajo este enfoque, los pesos calibrados se escriben de la siguiente manera:

$$w_k = d_k \times exp(u_h) \times exp(v_g)$$

En donde $u_h$ es una función de los totales marginales de las filas de la tabla cruzada y $v_g$ es una función de los totales marginales de las columnas. El *raking* permite utilizar variables que pueden ser predictoras de las variables de interés o explicar la probabilidad de responder del hogar (o persona), además de paliar los efectos nocivos que las bajas tasas de cobertura del marco de muestreo conllevan sobre la inferencia.


### La calibración como un cambio de paradigma en una teoría de estimación exhaustiva

@Sar08 concluye que existen algunas ideas sobre las cuales vale la pena profundizar un poco más. A continuación se reproducen las ideas de @Gutierrez_2016 sobre estos criterios para enfatizar el uso práctico de los estimadores de calibración:

>> 1. *La calibración no se puede separar de la práctica.* El uso de los métodos de ponderación de las ONE es una costumbre que tiene sus orígenes en la ponderación de unidades mediante el inverso de su probabilidad de inclusión y continuó con las ponderaciones surgidas del enfoque de post-estratificación. Las ponderaciones de calibración extienden las anteriores ideas. Aunque la calibración aparece recientemente en la literatura, no lo es como técnica para producir ponderaciones. 

>> 2. *La calibración no puede separarse de la consistencia estética^[En este apartado la palabra consistente se da en el sentido de que el estimador reproduce exactamente los totales de la información auxiliar.].* Las ecuaciones de calibración imponen esta propiedad de consistencia sobre el vector de ponderaciones; así que, cuando éste se aplica a las variables auxiliares el resultado será consistente con los totales de estas variables. El deseo de promover la credibilidad en las estadísticas oficiales es una razón para que las entidades busquen este tipo de consistencia.

>> 3. *La calibración debe ser de fácil interpretación.* El enfoque de calibración ha ganado popularidad en las aplicaciones reales debido a que las estimaciones resultantes son fáciles de interpretar y de motivar puesto que están directamente relacionadas a los pesos inducidos por el diseño de muestreo. La calibración sobre los totales conocidos brinda al usuario una forma natural y transparente de estimación. El usuario que entiende la ponderación muestral aprecia el método de calibración puesto que modifica sutilmente los pesos originales, pero al mismo tiempo respeta los totales de la información auxiliar. Además, la calibración induce un único vector de ponderaciones aplicable a todas las variables involucradas en el estudio. Esta última razón hace que este método sea muy apetecido en las entidades oficiales que manejan encuestas muy extensas.

>> 4. *La calibración representa un enfoque exhaustivo y unificado basado en los avances de teorías anteriores.* En la práctica de las enceustas de hogares, es cpmún encontrar problemas como la ausencia de respuesta, deficiencias del marco muestral y errores de medición. Aunque algunos procesos como la imputación y la reponderación son ampliamente difundidos y usados en la práctica, estos métodos no están necesariamente enmarcados dentro de una teoría exhaustiva de inferencia en poblaciones finitas. La mayoría de artículos teóricos tratan con la estimación de parámetros bajo un mundo ideal, que no existe en la práctica, donde la ausencia de respuesta y otros errores no muestrales están ausentes. La calibración proporciona una teoría unificada que hace frente a estos inconvenientes. 

## Estimadores compuestos

Es posible mejorar la estimación del total actual $t_y^{(t)}$ al tener en cuenta la información inducida por el traslape^[En esta sección, la notación para la parte traslapada $s_M$ de la muestra actual usará el superíndice $M$ (*matched*); mientras que se utilizará el superíndice $U$ (*unmatched*) para refereirse a la parte no traslapada $s_U$ de la muestra actual.] de la encuesta en el segundo periodo, así:

$$
\hat{t}_{y^{(t)}}^K = (1-K) \hat{t}_{y^{(t)}} 
+ K (\hat{t}_{y^{(t-1)}} + \hat{\Delta}_M)
$$

En donde $0 < \alpha < 1$ y $\hat{\Delta}_M=\hat{t}_{y^{(t)}}^M - \hat{t}_{y^{(t-1)}}^M$ es la diferencia de las estimaciones actual y previa en la muestra traslapada. Por otro lado, es posible añadir un término que dé cuenta de la diferencia entre las estimaciones actuales de las muestras con y sin traslape. De esta forma, un estimador compuesto es el siguiente:

$$
\hat{t}_{y^{(t)}}^{AK} = \hat{t}_{y^{(t)}}^K + A  (\hat{t}_{y^{(t)}}^U - \hat{t}_{y^{(t)}}^M)
$$

@Steel_McLaren_2008 afirman que esta clase de estimadores pueden generar ganancias en eficiencia porque aprovechan la correlación entre las estimaciones del mismo panel a lo largo del tiempo y puede otorgar una ventaja adicional a la estimación tradicional que utiliza únicamente la muestra actual como un todo, sin detenerse en su composición: parte traslapada y parte no traslapada. Estos estimadores pueden usar diferentes valores para las constantes $A$ y $K$, las cuales pueden ser escogidas con el objetivo de minimizar la varianza del estimador, o pueden ser escogidas de forma separada para aumentar la eficiencia del estimador con respecto a estimadores de niveles, como totales o proporciones del periodo actual, o de cambios temporales. @Gurney_Daly_1965 utilizan $A=0.4$ y $K=0.2$ en una aplicación con paneles rotativos.

Estos estimadores también pueden ser escritos como estimadores de regresión o calibración. En efecto, @Gambino_Kennedy_Singh_2001 proponen que, además de las covariables y restricciones de calibración usuales, es posible usar la siguiente covariable de calibración para estimar indicadores de nivel:

$$
x_k^{(l)} = 
\begin{cases}
\hat {\bar y} ^{(t-1)}, \ \ \ \ \ k \in s_U \\
y_{k}^{(t-1)}, \ \ \ \ \ k \in s_M 
\end{cases}
$$

Por ejemplo, si el interés está en la estimación de la proporción actual de personas ocupadas, entonces $x_k^{(l)}$ representará la covariable que se deberá añadir al sistema de calibración, $\hat {\bar y} ^{(t-1)}$ será la proporción estimada de personas ocupadas en el periodo anterior, mientras que $y_{k}^{(t-1)}$ representará una variable dicotómica sobre la población económicamente activa que toma el valor uno, si la persona estuvo ocupada en el periodo anterior, o cero, si no. En este caso, el total de control correspondiente estará definido por el total nacional estimado de personas ocupadas en el periodo anterior. Por lo tanto, como es de esperarse, la suma ponderada (con los pesos de calibración) de esta covariable deberá ser igual a su total de control. 

Para estimadores de cambio, @Gambino_Kennedy_Singh_2001 proponen la siguiente covariable:

$$
x_k^{(c)} = 
\begin{cases}
y_{k}^{(t)}, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k \in s_U \\
y_{k}^{(t)} - R(y_{k}^{(t)} - y_{k}^{(t-1)}), \ \ \ \ \ k \in s_M 
\end{cases}
$$

En donde $R = \sum_s w_k / \sum_{s_M} w_k$ es el inverso de la proporción de traslape real en el levantamiento. Siguiendo con el ejemplo, $y_{k}^{(t)}$ representa una variable dicotómica sobre la población económicamente activa que toma el valor uno, si la persona estuvo ocupada en el periodo actual, o cero, si no. En este caso, el total de control correspondiente sigue estando definido por el total nacional estimado de personas ocupadas en el periodo anterior. Por lo tanto, al sumar sobre la muestra expandida, se presenta la siguiente relación $\hat{t}_{y^{(t-1)}} = \hat{t}_{y^{(t)}} - \hat{\Delta}_M)$; es decir, que la estimación del periodo anterior es igual a la estimación del mes actual menos una diferencia de estimaciones en la muestra traslapada.  

Es posible usar ambas covariables $x_k^{(c)}$ y $x_k^{(l)}$ en el sistema de calibración, aunque es probable sea encontrar pesos resultantes negativos o menores que uno. Para evitar estos inconvenientes numéricos, y dado que para ambas variables se tiene el mismo total de control, es posible definir una combinación lineal convexa y crear una nueva covariable de calibración, de la siguiente manera:

$$
x_k = (1-\alpha) x_k^{(l)} + \alpha x_k^{(c)}
$$

@Fuller_Rao_2001 mencionan que en algunas aplicaciones particulares, se ha encontrado mayor eficiencia (menor varianza) al utilizar valores de $\alpha = 0.65$ o $\alpha = 0.75$; aunque se recomienda usar $\alpha = 2/3$ en los sistemas de producción de las ONE. 

@Gambino_Kennedy_Singh_2001 afirman que existe una facilidad en la implementación de estos estimadores puesto que se corresponde con la manera usual de un sistema tradicional de ponderación en las encuestas de hogares; es decir, se crea una columna nueva en la base de datos definiendo el nuevo factor de expansión, y esto se logra simplemente con la adición de nuevas covariables a la matriz de calibración. 

En América Latina, El Instituto Nacional de Estadística del Uruguay, decidió rediseñar en 2021 la Encuesta Continua de Hogares en 2019, la cual estaba definida desde el 2006 con base en la selección de muestras mensuales independientes. En la metodología nueva, se implementó un sistema de panel rotativo, en donde la muestra de un mes está compuesta por seis grupos de rotación y la recolección de la información tiene un carácter mixto: para la recolección de la información en la primera visita, de forma presencial y, para el seguimiento durante los siguientes cinco meses, de forma telefónica. Además, el INE implementó un sistema de estimación basado en los estimadores compuestos con mejoras en la eficiencia estadística [@INEURY]