221.maximal-square.md

题目地址(221. 最大正方形)

https://leetcode-cn.com/problems/maximal-square/

题目描述

在一个由 0 和 1 组成的二维矩阵内，找到只包含 1 的最大正方形，并返回其面积。

示例:

输入:

1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0

输出: 4

前置知识

• 动态规划
• 递归

公司

• 阿里
• 腾讯
• 百度
• 字节

思路

符合直觉的做法是暴力求解处所有的正方形，逐一计算面积，然后记录最大的。这种时间复杂度很高。

我们考虑使用动态规划，我们使用 dp[i][j]表示以 matrix[i][j]为右下角的顶点的可以组成的最大正方形的边长。 那么我们只需要计算所有的 i，j 组合，然后求出最大值即可。

我们来看下 dp[i][j] 怎么推导。 首先我们要看 matrix[i][j], 如果 matrix[i][j]等于 0，那么就不用看了，直接等于 0。 如果 matrix[i][j]等于 1，那么我们将 matrix[[i][j]分别往上和往左进行延伸，直到碰到一个 0 为止。

如图 dp[3][3] 的计算。 matrix[3][3]等于 1，我们分别往上和往左进行延伸，直到碰到一个 0 为止，上面长度为 1，左边为 3。 dp[2][2]等于 1（之前已经计算好了），那么其实这里的瓶颈在于三者的最小值, 即Min(1, 1, 3), 也就是1。 那么 dp[3][3] 就等于 Min(1, 1, 3) + 1。

dp[i - 1][j - 1]我们直接拿到，关键是往上和往左进行延伸, 最直观的做法是我们内层加一个循环去做就好了。 但是我们仔细观察一下，其实我们根本不需要这样算。 我们可以直接用 dp[i - 1][j]和 dp[i][j -1]。 具体就是Min(dp[i - 1][j - 1], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + 1。

事实上，这道题还有空间复杂度 O(N)的解法，其中 N 指的是列数。 大家可以去这个leetcode 讨论看一下。

关键点解析

• DP
• 递归公式可以利用 dp[i - 1][j]和 dp[i][j -1]的计算结果，而不用重新计算
• 空间复杂度可以降低到 O(n), n 为列数

代码

代码支持：Python，JavaScript：

Python Code：

class Solution:
    def maximalSquare(self, matrix: List[List[str]]) -> int:
        res = 0
        m = len(matrix)
        if m == 0:
            return 0
        n = len(matrix[0])
        dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]

        for i in range(1, m + 1):
            for j in range(1, n + 1):
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - 1]) + 1 if matrix[i - 1][j - 1] == "1" else 0
                res = max(res, dp[i][j])
        return res ** 2

JavaScript Code：

/*
 * @lc app=leetcode id=221 lang=javascript
 *
 * [221] Maximal Square
 */
/**
 * @param {character[][]} matrix
 * @return {number}
 */
var maximalSquare = function (matrix) {
  if (matrix.length === 0) return 0;
  const dp = [];
  const rows = matrix.length;
  const cols = matrix[0].length;
  let max = Number.MIN_VALUE;

  for (let i = 0; i < rows + 1; i++) {
    if (i === 0) {
      dp[i] = Array(cols + 1).fill(0);
    } else {
      dp[i] = [0];
    }
  }

  for (let i = 1; i < rows + 1; i++) {
    for (let j = 1; j < cols + 1; j++) {
      if (matrix[i - 1][j - 1] === "1") {
        dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;
        max = Math.max(max, dp[i][j]);
      } else {
        dp[i][j] = 0;
      }
    }
  }

  return max * max;
};

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(M * N)$，其中 M 为行数，N 为列数。
• 空间复杂度：$O(M * N)$，其中 M 为行数，N 为列数。