Существует два способа представления вещественных чисел: с фиксированным количеством разрядов (fixed-point) под дробную часть, и с переменным числом разрядов (floating-point).
Представление чисел с фиксированной точкой часто используется там, где требуется гарантированная точность до определенного разряда, например, в финансовой сфере.
Представление в формате с плавающей точкой является более универсальным, и все современные архитектуры процессоров работают именно в этом формате.
Два основных типа вещественных с плавающей точкой, которые определены стандартом языка Си, - это float (используется 4 байта для хранения) и double (используется 8 байт).
Самый старший бит в представлении числа - это признак отрицательного значения. Далее, по старшинству бит, хранится значения смещенной экспоненциальной части (8 бит для float или 11 бит для double), а затем - значение мантиссы (23 или 52 бит).
Смещение экспоненциальной части необходимо для того, чтобы можно было в таком представлении хранить значения с отрицательной экспонентой. Смещение для типа float равно 127, для типа double - 1023.
Таким образом, итоговое значение может быть получено как:
Value = (-1)^S * 2^(E-B) * ( 1 + M / (2^M_bits - 1) )
где S - бит знака, E - значение смещенной экспоненты, B - смещение (127 или 1023), а M - значение мантиссы, M_bits - количество бит в экспоненте.
Поразрядные операции относятся к целочисленной арифметике, и не предусмотрены для типов float и double. Таким образом, нужно сохранить вещественное число в памяти, и затем прочитать его, интерпретируя как целое число. В случае с языком C++ для этого предназначен оператор reinterpret_cast. Для языка Си есть два способа: использовать аналог reinterpret_cast - приведение указателей, либо использовать тип union.
// У нас есть некоторое целое вещественное число, которое хранится в памяти
double a = 3.14159;
// Получаем указатель на это число
double* a_ptr_as_double = &a;
// Теряем информацию о типе, приведением его к типу void*
void* a_ptr_as_void = a_ptr_as_void;
// Указатель void* в языке Си можно присваивать любому указателю
uint64_t* a_ptr_as_uint = a_ptr_as_void;
// Ну а дальше просто разыменовываем указатель
uint64_t b = *a_as_uint;
Тип union - это тип данных, который синтаксически очень похож на тип struct, то есть там можно перечислить несколько именованных полей, но концептуально - это совершенно разные типы данных! Если в структуре или классе, для хранения каждого поля для предусмотрено отдельное место в памяти, то для union этого не происходит, и все поля накладываются друг на друга при размещении в памяти.
Обычно тип union используется в качестве вариантного типа данных (в С++ начиная с 17-го стандарта для этого предусмотрен std::variant), но в качестве побочного эффекта - его удобно использовать приведения типов в стиле reinterpret_cast, не используя при этом указатели.
// У нас есть некоторое целое вещественное число, которое хранится в памяти
double a = 3.14159;
// Используем тип union
typedef union {
double real_value;
uint64_t uint_value;
} real_or_uint;
real_or_uint u;
u.real_value = a;
uint64_t b = u.uint_value;
- Бесконечность:
E=0xFF...FF,M=0 - Минус ноль (результат деления 1 на минус бесконечность):
S=1,E=0,M=0 - NaN (Not-a-Number):
S- любое,E=0xFF...FF,M <> 0
Некоторые процессоры, например архитектуры x86, поддерживают расширение стандарта, позволяющее более эффективно представлять множество чисел, значения которых близко к нулю. Такие числа называются денормализованными.
Признаком денормализованного числа является значение смещенной экспоненты E=0. В этом случае, численное значение получается следующим образом:
Value = (-1)^S * ( M / (2^M_bits - 1) )
Некоторые процессоры, например Intel x86, различают два вида чисел NaN - невалидное значение.
Значения sNaN возникают при выполнении операций, которые сигнализируют об ошибке на уровне прерывания процессора. Например, деление на 0. Обычно, чтобы получить такие значения, необходимо собирать программу с опцией -fno-signaling-nans. Более подробно - см. FloatingPointMath - GCC Wiki
Пример битовой маски для типа double на x86_64, определяющей значение sNaN:
Номера битов 6 5 4 3 2 1 0
3210987654321098765432109876543210987654321098765432109876543210
----------------------------------------------------------------
Значения 0111111111110100000000000000000000000000000000000000000000000000
----------------------------------------------------------------
Регион SEEEEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
В отличии от sNaN, значения Quiet NaN, которые получаются в результате вычислений, не приводят к прерыванию процессора и вызове обработчика исплючительной ситуации.
Примером является попытка сложить +inf и -inf.
Пример битовой маски для типа double на x86_64, определяющей значение qNaN:
Номера битов 6 5 4 3 2 1 0
3210987654321098765432109876543210987654321098765432109876543210
----------------------------------------------------------------
Значения 0111111111111000000000000000000000000000000000000000000000000000
----------------------------------------------------------------
Регион SEEEEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM