Roche limit, SOI, Hills sphere

sections/celestial-mechanics/ebb-flow.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\subsection{Приливы и отливы}
+\subsection{Приливные силы}
 
 \term{Приливы и отливы}~--- периодические вертикальные колебания уровня океана, являющиеся результатом изменения положения Луны и Солнца. Хотя силы тяготения Солнца почти в 200 раз больше, чем силы тяготения Луны, приливные силы, порождаемые Луной, в 2.2 раза больше порождаемых Солнцем. Это происходит из-за того, что приливные силы зависят не от величины гравитационного поля, а от степени его неоднородности. Высота приливов зависит от взаимного расположения Луны и Солнца: наибольший~---  силы от Луны и от Солнца действуют вдоль одного направления, а наименьший~--- под прямым углом друг к другу.
 
@@ -24,3 +24,15 @@ \subsection{Приливы и отливы}
 Под действием лунного притяжения водная оболочка Земли принимает форму
 эллипсоида, который вытянут по направлению к Луне. Близ точек $A$ и $B$ будет
 прилив, а в точках $F$ и $D$ --- отлив (см.~Рис.\,\ref{Ebb_flow}).
+
+Если расстояние между телами будет достаточно мало, то одно из них из них может начать разрушаться вследствие приливных сил.
+
+\term{Предел Роша}~--- радиус круговой орбиты спутника, обращающегося вокруг небесного тела, на котором приливные силы, вызванные гравитацией центрального тела, равны собственной силе гравицации спутника. На расстоянии равному пределу Роша любое малое возмущение на поверхности меньшего тела приведёт к его разрушению. Для того чтобы его найти требуется приравнять выражение для приливной силы (\ref{eq:ebb-force}) к ускорению свободного падения $g$ на поверхности спутника:
+\begin{equation*}
+	g=\frac{G m}{R^2}=\frac{4}{3} \pi G \rho_{\text{s}} R
+\end{equation*}
+Отсюда можно получить предел Роша:
+\begin{equation*}
+	r_{\text{crit}} = \sqrt[3]{\frac{3M}{2\pi\rho_{\text{s}}}}=R_{\text{c}} \sqrt[3]{\frac{2\rho_{\text{c}}}{\rho_{\text{s}}}}
+\end{equation*}
+Где $M, R_{\text{c}}, \rho_{\text{c}}$~--- соответствующие параметры центрального (возмущающего) тела и $\rho_{\text{s}}$~--- плотность спутника. Стоит отметить, что тут рассматривается случай твёрдого спутника, в случае жидкого спутника предел Роша возрастает примерно в два раза.

sections/celestial-mechanics/lagr-points.tex

@@ -123,6 +123,7 @@ \subsection{Точки Лагранжа}
 Заметим, что уравнение для точки $L_2$ с точностью до знака перед $r$ совпадает с \eqref{eq:lagrange-1}. Следовательно, расстояние от центра масс системы до точек $L_1$ и $L_2$ определяется, как
 \begin{equation}
 	R_{1,2} = R \left( 1 \mp \sqrt[3]{\frac{M_2}{3M_1}} \right).
+	\label{eq:lagrange-12}
 \end{equation}
 
 

sections/celestial-mechanics/sphere-of-influence.tex

@@ -0,0 +1,122 @@
+\subsection{Сфера действия, сфера Хилла}
+\term{Сфера действия}~--- область пространства внутри которой возмущение от внешнего тела относительно планеты меньше, чем возмущение от планеты относительно внешнего тела. То есть лёгкое отклонение от положения на орбите не должно приводить к уводу внешним телом. В первом приближении данная область~--- сфера. Приведем  классический вывод её радиуса:
+
+Для этого рассмотрим две точечные массы~$A$ и $B$ расположенные в точках $\vec{r}_A$ и $\vec{r}_B$, с массами $M_A$ и $M_B$ соответственно. Расстояние между объектами $R=\left|r_B-r_A\right|$. Введем третью безмассовую частицу $C$ в точке $\vec{r}_{\text{C}}$. Далее для анализа динамики движения точки $C$ мы можем рассматривать задачу как в системе отсчета точки $A$, так и точки $B$.
+
+Рассмотрим систему отсчета связанную с точкой~$A$. Точка~$B$ с силой гравитации которую мы обозначим как~$g_B$ будет возмущать точку~$C$ относительно гравитации~$g_A$ точки~$A$. Вследствие закона всемирного тяготения, точка~$A$ будет притягиваться к точке~$B$ с ускорением 
+\begin{equation*}
+	\vec{a}_A=\frac{G M_B}{R^3}\left(\vec{r}_B-\vec{r}_A\right),
+\end{equation*}
+а значит данная система отсчета неинерциальна. Для того чтобы оценить эффекты возмущений в данной системе отсчета можно рассмотреть отношение величины данных возмущений к основному гравитирующему телу, то есть:
+\begin{equation*}
+	\chi_A=\frac{\left|g_B-a_A\right|}{\left|g_A\right|}.
+\end{equation*}
+Возмущающая сила $g_B-a_A$ также известна как приливная (\ref{Ebb_flow}). Аналогичным образом строится $\chi_B$ для системы отсчета точки $B$, в выводе требуется лишь провести замену $A \leftrightarrow B$.
+
+По приближении точки $C$ к $A, \chi_A \rightarrow 0$ и $\chi_B \rightarrow \infty$, и в обратную сторону. Главным считается тот объект относительно которого отношение возмущающих сил меньше, чем относительно другого. Поверхность для которой $\chi_A=\chi_B$ разграничивает пространство на области влияния того или иного тела. В общем случае эта поверхность имеет сложную форму, однако в случае когда масса одного тела много больше другого, скажем $M_A \ll M_B$, возможно найти хорошую аппроксимацию этой разграничивающей поверхности. В этом случае поверхность будет располагаться вокруг точки~$A$, обозначим $r$ расстояние от точки $A$ до разграничивающей поверхности.
+
+Главное ускорение в системе отсчета точки $A$ будет равно $g_A$:
+\begin{equation*}
+	g_A = \frac{GM_A}{r^2}.
+\end{equation*}
+Ускорение системы отсчета $a_A$ по модулю равно:
+\begin{equation*}
+	a_A = \frac{GM_B}{R^2}.
+\end{equation*}
+Вторичное же ускорение равно:
+\begin{equation*}
+	g_B\simeq\frac{GM_B}{R^2}+\frac{GM_B}{R^3}r.
+\end{equation*}
+Приливные силы тогда как разность вторичного ускорения и ускорения системы отсчёта:
+\begin{equation*}
+	g_B-a_A \simeq \frac{G M_B}{R^3} r.
+\end{equation*} 
+Заключая находим отношение $\chi_A$:
+\begin{equation*}
+	\chi_A\simeq\frac{M_B}{M_A} \frac{r^3}{R^3}.
+\end{equation*}
+Аналогично для системы отсчёта точки $B$. Главным ускорением тут будет $g_B$, а вторичным $g_A$. Вследстивие массивности тела $B$ ($M_A~\ll~M_B$) ускорение системы отсчета можно принять равным 0:
+\begin{equation*}
+	a_B=\frac{G M_A}{R^2} \simeq 0,
+\end{equation*}
+тогда приливные силы равные $g_A-a_B$ будут численно равны $g_A$. Отсюда отношение $\chi_B$ равно:
+\begin{equation*}
+	\chi_B \simeq \frac{M_A}{M_B} \frac{R^2}{r^2}.
+\end{equation*}
+Расстояние до сферы действия должно удволетворять равенству:
+\begin{equation*}
+	\frac{M_B}{M_A} \frac{r^3}{R^3}=\frac{M_A}{M_B} \frac{R^2}{r^2},
+\end{equation*}
+а отсюда мы можем записать выражение для радиуса сферы действия точки $A$:
+\begin{equation}
+	\frac{r}{R}=\left(\frac{M_A}{M_B}\right)^{2 / 5}.
+\end{equation} 
+\term{Сфера Хилла}~--- одна из моделей рассчета радиуса \imp{сферы действия}. Имеет физический смысл области пространства вокруг некоторого объекта (планеты) в которой его собственное гравитационное влияние на пробную массу больше, чем от внешних тел (Солнца). В первом приближении данная область~--- сфера, содержащая на себе точку $L_1$ \eqref{eq:lagrange-12} интересующей системы. В обозначениях предыдущей задачи её радиус будет выражаться как:
+\begin{equation}
+	\frac{r}{R} = \sqrt[3]{\frac{M_A}{3M_B}}.
+\end{equation}
+\begin{wrapfigure}[15]{r}{0.50\tw}
+    \centering
+    \vspace{-1pc}
+    \tikzsetnextfilename{hill-influence-sphere-plot}
+    \begin{tikzpicture}
+		\begin{axis}[
+			width	=	6cm,
+			height	=	6cm,
+			xlabel	=	{$\lg(M_B / M_A)$},
+			ylabel	=	{$r/R$},
+			ymax	=	0.3,
+			ymin	=	0,
+			xmax	=	5,
+			xmin	=	1.5,
+			legend cell align=left,
+			legend style={
+				row sep = 0.8pc,
+				draw=none,
+				fill=none,
+				font=\scriptsize,
+				at={(axis cs:2.65, 0.285)}, anchor=north west,
+			},
+		]
+			\addplot [domain=1.5:5, samples=100, black] {10 ^ (-2 * x / 5)};
+			\addplot [domain=1.5:5, samples=100, dash pattern=on 6pt off 2pt on 1pt off 2pt] {1 / (3 * 10^x)^(1/3)};
+
+			\legend{
+			    Сфера действия,
+				Сфера Хилла
+			}
+		\end{axis}
+	\end{tikzpicture}
+	\caption{Сравнение радиусов сферы действия и сферы Хилла}
+	\label{pic:hill-influence-sphere-plot}    
+\end{wrapfigure} 
+Часто про сферу Хилла можно услышать что она является областью пространства в которой объект может иметь собственный спутник, однако в реальности же на расстоянии равной сфере Хилла любое внешнее возмущение будет уводить спутник с орбиты и по-настоящему стабильные обриты имеют радиусы в 2-3 раза меньшие, чем сфера Хилла.
+ График сравнения радиусов сферы действия и сферы Хилла для разных отношений масс $M_A$ и $M_B$ приведен правее. При отношении масс тел порядка 250 размеры сфер сравнимы между собой, однако же для малых тел для которых параметр $\lg(M_{\astrosun} / M)>6$ сфера действия будет уже вдвое меньше сферы Хилла. 
+\begin{figure}[h!]
+\tikzsetnextfilename{hill-influence-sphere-bar-plot2}
+\begin{tikzpicture}
+\begin{axis}[
+    ybar,
+    ymode=log,
+    enlargelimits=0.15,
+    legend cell align=left,
+    legend style={at={(0.03,0.97)},
+      			  row sep = 0.8pc,
+      			  font=\scriptsize,
+      			  anchor=north west,
+      			  draw=none,},
+    ylabel={млн. км},
+    symbolic x coords={Меркурий,Венера,Земля,Марс,Юпитер,Сатурн,Уран,Нептун},
+    xtick=data,
+    width	=	\tw,
+	height	=	6cm,
+    ]
+\addplot[pattern=dots] coordinates {(Меркурий,0.117) (Венера, 0.616) (Земля, 0.929) (Марс, 0.578) (Юпитер, 48.2) (Сатурн, 54.5) (Уран, 51.9) (Нептун, 86.2)};
+\addplot[pattern=grid] coordinates {(Меркурий, 0.1753) (Венера, 1.0042) (Земля, 1.4714) (Марс, 0.9827) (Юпитер, 50.5736) (Сатурн, 61.6340) (Уран, 66.7831) (Нептун, 115.0307)};
+\legend{Cфера действия,
+	    Сфера хилла}
+\end{axis}
+\end{tikzpicture}
+\caption{Радиусы сферы действия и сферы Хилла для разных планет}
+	\label{pic:hill-influence-sphere-bar-plot2}   
+\end{figure}

style/plotting.sty

@@ -4,7 +4,7 @@
 \RequirePackage{fp}
 \RequirePackage{xparse}
 
-\usetikzlibrary{calc, fadings, decorations.markings, shapes, snakes, fpu, fixedpointarithmetic}
+\usetikzlibrary{calc, fadings, decorations.markings, shapes, snakes, fpu, fixedpointarithmetic, patterns}
 
 \newcommand{\drawGrid}[4]{
     \def\xmin{#1}

sys/celestial-mechanics.tex

@@ -11,6 +11,7 @@ \section{Небесная механика}
 \input{sections/celestial-mechanics/kepler-eq-hyp.tex}
 \input{sections/celestial-mechanics/barker-eq.tex}
 \input{sections/celestial-mechanics/lagr-points.tex}
+\input{sections/celestial-mechanics/sphere-of-influence.tex}
 \input{sections/celestial-mechanics/grav-assist.tex}
 \input{sections/celestial-mechanics/hodograph.tex}
 \input{sections/celestial-mechanics/ebb-flow.tex}