updates to maxwell

sections/physics/maxwell.tex

@@ -41,7 +41,7 @@ \subsection{Распределение Максвелла}
 \end{equation*}
 Продифференцируем уравнение \eqref{eq:ln-maxwll} по переменной $v_x$:
 \begin{equation*}
-\frac{f^{\prime}(v)}{\int(v)} \frac{\partial v}{\partial v_x}=\frac{\varphi^{\prime}\left(v_x\right)}{\varphi\left(v_x\right)}
+\frac{f^{\prime}(v)}{f(v)} \frac{\partial v}{\partial v_x}=\frac{\varphi^{\prime}\left(v_x\right)}{\varphi\left(v_x\right)}
 \end{equation*}
 Так как
 \begin{equation*}
@@ -87,7 +87,7 @@ \subsection{Распределение Максвелла}
 \end{equation*}
 Эта величина должна быть равна $3 k T / 2$, откуда находим, что $\alpha=m /(2 k T)$.
 
-Итак, в однородном по пространству идеальном газе со средней плотностью $n$ в равновесном состоянии число молекул, обладающих скоростями в интервале
+Итак, в однородном по пространству идеальном газе со средней концентрацией $n$ в равновесном состоянии число молекул, обладающих скоростями в интервале
 \begin{equation*}
 (v_x \div v_x+d v_x), \quad (v_y \div v_y+d v_y), \quad (v_z \div v_z+d v_z)
 \end{equation*}
@@ -111,14 +111,48 @@ \subsubsection{Распределение по энергиям}
 
 \subsubsection{Средние значения}
 \begin{enumerate}
-	\item $\overline{\mathbf{v}}=0$~--- все направления скорости равновероятны);
+	\item $\overline{\mathbf{v}}=0$~--- все направления скорости равновероятны;
 	\item $v_{\text {с.к. }}=\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\int_0^{\infty} v^2 \Phi(v) d v}=\sqrt{3 k T / m}$~--- средняя квадратичная скорость;
 	\item $\bar{v}=\int_0^{\infty} v \Phi(v) d v=\sqrt{\frac{8 k T}{\pi m}}$~--- средняя скорость;
 	\item $\bar{\varepsilon}=\frac{1}{n} \int_{\varepsilon=0}^{\varepsilon=\infty} \varepsilon d n(\varepsilon)=\frac{3}{2} k T$~--- средняя энергия.
 \end{enumerate}
 
 \subsubsection*{Среднее число ударов молекул о стенку}
-Рассмотрим столкновения молекул газа с неподвижной стенкой. Выделим группу молекул, имеющих скорость $v$. Плотность этих молекул обозначим $d n(v)$. Вследствие изотропии газа в телесный угол $d \Omega=2 \pi \sin \theta d \theta$ летит доля молекул, равная $d \Omega / 4 \pi$. Соответственно плотность этих молекул равна $dn(v) d \Omega / 4 \pi$. За время $dt$ до поверхности долетят молекулы, удаленные от нее на расстояние $v_z d t$, где $v_z=v \cos \theta$. Bceго в площадку $d S$ попадут молекулы, находящиеся в цилиндре объемом $v_z d t d S$, содержащем $v_z d t d S d n(v) d \Omega /(4 \pi)$ молекул выделенной группы. Суммируя результат по всем допустимым углам $\theta \in (0, \nicefrac{\pi}{2})$ и скоростям $v \in (0, \infty)$ и деля результат на $d t d S$, получаем
+
+\begin{wrapfigure}[9]{r}{0.35\tw}
+    \centering
+    \vspace{-1pc}
+    \tikzsetnextfilename{mean-particles}
+    \begin{tikzpicture}[]
+
+        \tkzDefPoint(0, 0){A}
+        \tkzDefPoint(0, 2){B}
+        \tkzDefPoint(3, 1){C}
+        \tkzDefPoint(3, -1){D}
+        \tkzDefPoint(1.5, 0.5){O}
+        \tkzDefPoint(-0.5, 0.5){V}
+        \tkzDefPoint(1.5, 1){dV1}
+        \tkzDefPoint(1.5, 1.2){dV2}
+
+
+        \foreach \r in {0.5,0.7} {
+        	\tkzDefShiftPoint[O](\r,0){r}
+            \tkzDrawCircle[gray!40, line width=0.4pt](O,r)
+        }
+
+        \tkzDrawSegments[](A,B B,C C,D D,A)
+        \tkzDrawSegments[-latex](V,O V,dV1 V,dV2)
+        \tkzLabelSegments[below, font=\scriptsize](O,V){$\vec{v}_z$}
+        \tkzLabelSegments[above, font=\scriptsize](V,dV2){$\vec{v}$}
+
+        \tkzMarkAngle[size=0.8, arc=l, mksize=2pt](O,V,dV1)
+        \tkzLabelAngle[font=\scriptsize, pos=1.05](O,V,dV1){$\theta$}
+
+    \end{tikzpicture}
+    \caption{Столкновение частиц со стенкой}
+    \label{pic:mean-particles}    
+\end{wrapfigure}
+Рассмотрим столкновения молекул газа с неподвижной стенкой \picRef{pic:mean-particles}. Выделим группу молекул, имеющих скорость $v$. Концентрацию этих молекул обозначим $d n(v)$. Телесный угол сферической шапки $\Omega = 2 \pi (1 - \cos \theta)$, вследствие изотропии газа в телесный угол $d \Omega=2 \pi \sin \theta d \theta$ летит доля молекул, равная $d \Omega / 4 \pi$. Соответственно плотность этих молекул равна $dn(v) d \Omega / 4 \pi$. За время $dt$ до поверхности долетят молекулы, удаленные от нее на расстояние $v_z d t$, где $v_z=v \cos \theta$. Bceго в площадку $d S$ попадут молекулы, находящиеся в цилиндре объемом $v_z d t d S$, содержащем $v_z d t d S d n(v) d \Omega /(4 \pi)$ молекул выделенной группы. Суммируя результат по всем допустимым углам $\theta \in (0, \nicefrac{\pi}{2})$ и скоростям $v \in (0, \infty)$ и деля результат на $d t d S$, получаем
 \begin{equation}
 j=\int d n(v) v \cos \theta \frac{d \Omega}{4 \pi}=n \underbrace{\int_0^{\infty} v \Phi(v) \, d v}_{\text{средняя скорость}} \times \frac{1}{4 \pi} \int_0^{\pi / 2} \cos \theta \cdot 2 \pi \sin \theta d \theta=\frac{1}{4} n \bar{v} .
 \label{eq:mean-count-mxwl}