minor fixes

sections/celestial-mechanics/circular-orbit.tex

@@ -79,25 +79,29 @@ \subsubsection{Первая космическая скорость}
 \subsubsection{Геостационарные и геосинхронные спутники}
     Рассмотрим массивное тело массы $M$, вращающееся вокруг своей оси с периодом $T$. \term{Геостационарным} спутником такого тела называется спутник, находящийся постоянно над одной точкой поверхности этого тела. Другими словами, такой спутник, что его радиус-вектор является продолжением радиус-вектора одной из точек поверхности этого тела. 
 
-    Заметим, что плоскость орбиты спутника всегда проходит через центр масс гравитирующего тела, а значит, совпадает с одним из больших кругов с центом в центре масс гравитирующего тела. Из этого факта и определения \imp{геостационарного} спутника следует, что точка поверхности центрального тела также должна находиться в плоскость этого большого круга.
+    Заметим, что плоскость орбиты спутника всегда проходит через центр масс гравитирующего тела, а значит, совпадает с одним из больших кругов с центом в центре масс гравитирующего тела. Из этого факта и определения геостационарного спутника следует, что точка поверхности центрального тела также должна находиться в плоскости этого большого круга.
 
     С другой стороны, только точки на экваторе тела движутся в плоскости большого круга, траектории других точек являются малыми кругами, так как их плоскость не содержит центра масс тела.
 
     Из данных утверждений вытекает ограничение на расположение орбиты геостационарного спутника~--- она всегда находится в плоскости экватора центрального тела.
 
     Кроме этого вращение тела происходит равномерно, следовательно, движение спутника также должно быть равномерно. Значит, орбита должна быть круговой. Далее будет показано, что угловая скорость тел на иных орбитах не постоянна. 
 
-    Отсюда легко получить радиус орбиты геостационарного спутника: нужно лишь приравнять период вращения центрального к периоду обращения спутника по орбите с искомым радиусом $R_\text{г.\,стац.}$:
+    Отсюда легко получить радиус орбиты геостационарного спутника: нужно лишь приравнять период вращения центрального тела к периоду обращения спутника по орбите с искомым радиусом $R_\text{г.\,стац.}$:
     \begin{gather}
         T = \frac{2 \pi R_\text{г.\,стац.}}{v_1} = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3_\text{г.\,стац.}}{G M}}, \nonumber \\
         R_\text{г.\,стац.} = \sqrt[3]{\frac{G M T^2}{4 \pi^2}}.
     \end{gather}
 
     Расширением понятия геостационарности является \term{гео\-синх\-рон\-ность}, когда спутник в один и тот же момент периода своего обращения находится над одной и той же точкой поверхности центрального тела. 
 
-    Отсюда также, как и в случае геостационарности следует, что период обращение по орбите совпадает с периодом вращения центрального тела. Значит, \imp{большая полуось}\footnote{\lookSecRef{sec:ellips}} орбиты $a_\text{г.\,синх.} = R_\text{г.\,стац.}$. При этом орбита может быть как наклоненной к экватору, так и вытянутой~--- эллиптичной.
+    Отсюда, также как и в случае геостационарности, следует, что период обращение по орбите совпадает с периодом вращения центрального тела. Значит, \imp{большая полуось}\footnote{\lookSecRef{sec:ellips}} орбиты $a_\text{г.\,синх.} = R_\text{г.\,стац.}$ согласно третьему закону Кеплера\footnote{\lookSecRef{sec:first-kepler-law}}. При этом орбита может быть как наклоненной к экватору, так и вытянутой~--- эллиптичной.
 
-    В заключение данного раздела найдём большую полуось геосинхронной орбиты спутник Земли. Здесь важно учесть, что сидерический период обращения Земли вокруг своей оси равен одним звёздным, а не солнечным\footnote{\lookSecRef{sec:synodic-period}} суткам, продолжительность которых $T_\oplus = 23\,\text{ч}~56\,\text{мин}~4\,\text{c} = 86164\,\text{секунды}$. Отсюда,
+    В заключение данного раздела найдём большую полуось геосинхронной орбиты спутника Земли. Здесь важно учесть, что сидерический период вращения Земли вокруг своей оси составляет одни звёздные, а не солнечные сутки\footnote{\lookSecRef{sec:synodic-period}}, продолжительность которых $
+    T_\oplus 
+%        = 23\,\text{ч}~56\,\text{мин}~4\,\text{c} 
+        = 86164\,\text{c}
+    $. Отсюда,
     \begin{equation*}
         a_\text{г.\,синх.\,$\oplus$} = \sqrt[3]{\frac{GM_\oplus T_\oplus}{4 \pi^2}} \simeq 42164~\text{км}.
     \end{equation*}

sections/celestial-mechanics/energy-conserv.tex

@@ -14,6 +14,8 @@ \subsection{Закон сохранения энергии}
 
 При инфинитном движении в некоторый момент пробное тело удаляется бесконечно далеко от массивного, другими словами $r \rightarrow \infty$. В этом случае, согласно закону сохранения энергии, $E_0 = K \geqslant 0$, а значит, минимальное значение полной механической энергии, при котором движение неограниченно, равно нулю. При этом на бесконечном удалении от гравитирующего центра скорость пробного тела также будет равна нулю. Если же $E_0 > 0$, минимальная скорость пробного тела всегда больше нуля, а получение выражения для вычисления ее величины оставим читателю.
 
+\subsubsection*{Вторая космическая скорость}
+
 Найдем минимальную скорость $v_2$, необходимую пробному телу, чтобы удалиться от массивного тела бесконечно далеко. Как было показано выше, в этом случае $E_0 = 0$, следовательно,
 \begin{gather}
     \frac{mv_2^2}{2} = \frac{GMm}{r}, \nonumber \\