integral of energy as a function of eccentric anomaly

sections/celestial-mechanics/kepler-eq.tex

@@ -1,4 +1,5 @@
 \subsection{Уравнение Кеплера}
+\label{sec:kepler-eq}
 
 \begin{wrapfigure}[11]{r}{0.48\tw}
     \centering
@@ -225,7 +226,11 @@ \subsection{Уравнение Кеплера}
 \begin{equation}\label{eq:kepler-eq}
     M = E - e \sin E.
 \end{equation}
-Найдем теперь зависимость эксцентрической аномалии $E$ от истинной, чтобы связать все три аномалии. Вспомним, что точка $B$ принадлежит эллипсу $o$, следовательно, она удовлетворяет уравнению эллипса в декартовых координатах, значит
+
+%Найдем теперь зависимость эксцентрической аномалии $E$ от истинной, чтобы связать все три аномалии. 
+
+\subsubsection*{Расстояние от фокуса как функция эксцентрической аномалии}
+Вспомним, что точка $B$ принадлежит эллипсу $o$, следовательно, она удовлетворяет уравнению эллипса в декартовых координатах, значит
 \begin{equation}
     \frac{|CH|^2}{a^2} + \frac{|BH|^2}{b^2} = 1.
     \label{eq:kepler-eq-dec-eq}
@@ -243,8 +248,14 @@ \subsection{Уравнение Кеплера}
     |FB|^2 &= |FH|^2 + |BH|^2 = \\
     &= a^2 (\cos E - e)^2 + a^2 \left( 1 - e^2 \right) \sin^2 E = \\
     &= a^2 \left( \cos^2 E + e^2 - 2 e \cos E + \sin^2 E - e^2 \sin^2 E \right) = \\
-    &= a^2 \Big( 1 - 2 e \cos E + e^2 \left( 1 - \sin^2 E \right) \Big) =  a^2 \left( 1 - e \cos E \right)^2
+    &= a^2 \Big( 1 - 2 e \cos E + e^2 \left( 1 - \sin^2 E \right) \Big) =  a^2 \left( 1 - e \cos E \right)^2,
 \end{align*}
+где $|FB|$~--- есть расстояние до фокуса. Отсюда,
+\begin{equation}
+	r = a (1 - e \cos E).
+	\label{eq:kepler-eq-r-E}
+\end{equation}
+\subsubsection*{Связь эксцентрической и истинной аномалии}
 Приравняем полученное выражение для $|FB|$ и выражение через уравнение эллипса в полярных координатах:
 \begin{equation*}
     |FB| = r = \frac{a \left(1 - e^2 \right)}{ 1 + e \cos \nu},

sections/celestial-mechanics/orbit-motion.tex

@@ -89,6 +89,12 @@ \subsection{Движение по орбите}
 \end{equation}
 где $\nu$~--- истинная аномалия, а $p$~--- фокальный параметр.
 
+Установим зависимость скорости от эксцентрической аномалии~$E$\footnote{\lookSecRef{sec:kepler-eq}}, для этого воспользуемся выражением~\eqref{eq:kepler-eq-r-E} и подставим его в интеграл энергии~\eqref{eq:int-energy}, 
+\begin{equation}
+	v = \sqrt{\frac{GM}{a}}\sqrt{\frac{1 + e \cos E}{1 - e \cos E}}.
+	\label{eq:orbit-motion-eccentcic-int-energy}
+\end{equation}
+
 Найдем величину момента импульса пробной массы $m$ на эллиптической орбите. В силу постоянства данной величины, можно выбрать любую точку орбиты для её поиска. Проще всего рассмотреть перицентр или апоцентр, рассмотрим первый.
 \begin{multline*}
     L
@@ -109,4 +115,9 @@ \subsection{Движение по орбите}
     = m \sqrt{2GM \cdot \frac{p}{2}}
     = m \sqrt{GMp}.
 \end{multline*}
+Момент импульса также можно записать в терминах эксцентрической аномалии. Из такого равенства можно получить зависимость угла между радиус-вектором и вектором скорости от эксцентрической аномалии. Записав $L$ как $m r v \sin \alpha$, а далее подставив (\ref{eq:kepler-eq-r-E}) и (\ref{eq:orbit-motion-eccentcic-int-energy})
+\begin{gather}
+	m a (1 - e \cos E) \cdot \sqrt{\frac{GM}{a}}\sqrt{\frac{1 + e \cos E}{1 - e \cos E}} \sin \alpha = m \sqrt{GMa(1-e^2)}, \nonumber\\
+	 \sin \alpha = \sqrt{\frac{1-e^2}{1- e^2 \cos^2 E}}.
+\end{gather}