21-janghw0126

[janghw0126]

🔗 문제 링크

백준 | 약수의 합

문제 설명

두 자연수 A와 B가 있을 때, A = BC를 만족하는 자연수 C를 A의 약수라고 한다. 예를 들어, 2의 약수는 1, 2가 있고, 24의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24가 있다. 자연수 A의 약수의 합은 A의 모든 약수를 더한 값이고, f(A)로 표현한다. x보다 작거나 같은 모든 자연수 y의 f(y)값을 더한 값은 g(x)로 표현한다. 자연수 N이 주어졌을 때, g(N)을 구해보자.

입력

• 첫째 줄에 테스트 케이스의 개수 T($1 ≤ T ≤ 100,000$)가 주어진다.
• 둘째 줄부터 테스트 케이스가 한 줄에 하나씩 주어지며 자연수 N($1 ≤ N ≤ 1,000,000$)이 주어진다.

출력

• 각각의 테스트 케이스마다, 한 줄에 하나씩 g(N)를 출력한다.

✔️ 소요된 시간

하루(집중력 바닥 이슈...😅) + 1시간 반

✨ 수도 코드

✅이 문제에서는 약수를 구하는 방법이 핵심이다. 일단 약수를 구하는 방법은 두 가지로 구분할 수 있다.

1. 자연수 N이 주어졌을 때, 1부터 N까지 나누어가면서 나머지가 0인 값을 구하는 방법
2. 자연수 N이 주어졌을 때, 약수는 서로 대칭 구조를 이루고 있으므로 1부터 A의 제곱근까지의 약수를 구하는 방법

하지만 이 문제에서는 시간 제한이 1초이므로 시간 복잡도가 그보다 큰 위에서 말한 두 가지 방법을 사용할 수 없다.
그래서 다른 아이디어를 생각해보는 도중에 배수를 이용한 방법을 생각해보았다.
예를 들어, 4의 배수는 4,8,12, ... 이다. 그러니까 4의 배수는 4를 약수로 갖는다. 다른 수들도 마찬가지이므로 결론을 내보면, N의 배수는 N을 항상 약수로 갖는다.

그러므로 N이하의 자연수 중에서 i를 약수로 갖는 갯수는 N/i개라고 할 수 있다.

$g(N)=1×N/1+2×N/2+...+N×N/N$

이런 원리를 바탕으로 문제를 해결하면 무난하게 통과될 것 같았다!

📖첫 번째 시도 방법

1. 정수 값을 입력받는다.
2. 각 테스트 데이터를 입력받을 때마다 1부터 반복하면서 나누어 떨어지면 합한다.
3. 각각의 반복에서 N을 입력 받는다.
4. g(N)인 total_sum을 초기화한다.
5. 1부터 시작해서 N까지의 수를 순서대로 대입하면서 반복문을 실행한다.
6. N을 test로 나눈 몫을 구한 뒤에 test를 곱해서 total_sum에 더한다.

⬇️전체 코드

import sys
input=sys.stdin.readline
# 정수 값을 입력받는다.
T=int(input())

#각 테스트 데이터를 입력받을 때마다 1부터 반복하면서 나누어 떨어지면 합한다.
for _ in range(T):
    # 각각의 반복에서 N을 입력받는다.
    N=int(input())
    # g(N)인 total_sum을 초기화한다.
    total_sum=0
    # 1부터 시작해서 N까지의 수를 순서대로 대입하면서 반복문을 실행한다.
    for test in range(1,N+1):
        # N을 test로 나눈 몫을 구한 뒤에 test를 곱해서 total_sum에 더한다.
        total_sum+=(N//test)*test
    print(total_sum)

이렇게 제출하였더니

시간 초과가 떴다.....
왜 그런지 하루 종일 붙잡고 생각해봐도 도저히 답이 떠오르지 않아 찾아보니 백준 알고리즘의 경우 시간 복잡도가 $O(n^2)$일 땐 2000이상의 테스트 케이스가 입력되면 시간 초과로 오답 처리를 내버린다고 한다.

💡그래서 시간 복잡도를 줄이기 위해 다른 해결 방법을 생각해보다가 약수가 아닌 수를 연산하지 않는 아이디어를 알게 되었다. 그러니까 N은 N의 약수의 배수로 이루어져 있기 때문에 이를 이용하여 DP 배열을 만들 수 있다. 즉, 미리 DP 배열을 만들어 놓고 그에 맞는 값을 입력 받아 출력하면 된다. 이 경우의 시간복잡도는 $O(nlogn)$이라고 한다.

📖DP 배열을 이용한 해결 방법

1. 각 숫자의 약수의 합을 저장하는 리스트와 dp 리스트의 누적 합을 저장하는 리스트를 선언한다.
2. 2부터 MAX까지의 수에 대해 반복문을 실행한다.
3. 각 숫자 i에 대해 i의 배수들을 찾아가며 dp 리스트의 값을 업데이트한다.

예를 들어 i가 2일 경우 dp[2], dp[4], dp[6], ... 등을 i만큼 증가시킨다.

4. 1부터 MAX까지의 숫자에 대해 s 리스트를 누적합으로 계산한다.
5. 입력으로 들어오는 iter 횟수만큼 반복문을 실행하면서 n 값을 입력받는다.
6. s[n] 값을 ans 리스트에 추가한다.
7. ans 리스트의 값을 줄바꿈으로 구분하여 출력한다.

⬇️최종 코드

MAX = 1000000
# 각 숫자의 약수의 합을 저장하는 리스트를 선언한다.
dp = [1] * (MAX + 1)
# dp 리스트의 누적 합을 저장하는 리스트를 선언한다.
s = [0] * (MAX + 1)
# 2부터 MAX까지의 수에 대해 반복문을 실행한다.
for i in range(2, MAX + 1):
    j = 1
    # 각 숫자 i에 대해 i의 배수들을 찾아가며 dp 리스트의 값을 업데이트한다.
    while i * j <= MAX:
        # 예를 들어 i가 2일 경우 dp[2], dp[4], dp[6], ... 등을 i만큼 증가시킨다.
        dp[i * j] += i
        j+=1
# 1부터 MAX까지의 숫자에 대해 s 리스트를 누적합으로 계산한다.
for i in range(1, MAX + 1):
    s[i] = s[i-1] + dp[i]
iter = int(input())
ans = []
for k in range(iter):
    #입력으로 들어오는 iter 횟수만큼 반복문을 실행하면서 n 값을 입력받는다.
    n = int(input())
    # s[n] 값을 ans 리스트에 추가한다.
    ans.append(s[n])
# ans 리스트의 값을 줄바꿈으로 구분하여 출력한다.
print('\n'.join(map(str,ans)) + '\n')

⁉️근데 python으로 하면 시간 초과가 뜨고 pypy3로 코드를 제출하면 통과가 되는데 뭐가 맞는 걸까요...?

📚 새롭게 알게된 내용

참고한 사이트
아직 DP 개념을 정확하게 파악하고 있지 못하고 있기 때문에 이 문제는 DP 개념을 확실히 잡고 다시 한번 풀어봐야겠다...🥹

[Hwangyerin]

ㄷㄱㄷㄱㄷㄱ🔥

[LJEDD2]

Python3 과 pypy3 의 차이를 잘 정리해주신 블로그가 있네요 !!
컴파일과 인터프리터 방식의 차이에 대해 조금 더 자세히 알아볼 수 있었습니다 ㅎㅎ

• Python3의 실행시 시간이 매우 오래 걸린다는 단점이 있어, 그것을 개선하고자 JIT 컴파일 방식을 도입한 언어가 PyPy3라고 합니다.
• 프로그램을 실행하기 전에 컴파일 하는 대신, 프로그램을 실행하는 시점에서 필요한 부분들을 즉석으로 컴파일 하는 방식입니다.
• 보통 인터프리터 언어의 성능 향상을 목적으로 도입하는 경우가 많습니다.

💡컴파일 언어vs 인터프리터 언어
컴파일 언어 : 소스 코드를 기계어로 컴파일(Compile time) -> 실행 파일 만듦 -> 실행(Run time)
인터프리터 언어 : 코드를 한 줄씩 읽어 가며 실행

여기서 수정 상황이 발생하면, 소스 전체를 다시 컴파일 할 필요가 없고, 코드 수정 후 바로 실행 가능 한 것이 인터프리터 언어입니다.
따라서 JIT(just in time) 컴파일은 인터프리트 과정에서 자주 쓰이는 코드를 캐싱하기 때문에 인터프리터의 느린 실행속도를 개선할 수 있습니다.
따라서, PyPy3에서는 실행시, 자주 쓰이는 코드를 캐싱하는 기능이 있기 때문에 메모리를 조금 더 사용하고 저장하고 있어, 실행속도를 개선할 수 있다고 합니다 !

간단한 코드 : Python3가 메모리, 속도 측에서 우세 
복잡한 코드 : PyPy3가 우세

[Hwangyerin]

저도 코드를 짜고 혜원님의 코드와 비교해봤는데 첫번째 시도와 비슷하네욥..
dp.........공부..저도. 공부 해야할 것 같습니다...
그리고 정은님께서 달아주신 python과 pypy의 차이가 컴파일, 인터프리터 방식이라는 것도 알게되었습니다.
21차시도 수고하셨습니다:)

[avocado-13]

저도 아직 dp 개념을 제대로 익히지 못했는데 차츰 공부를 해봐야겠습니다 🥺
pypy가 단순히 실행속도가 빠르다는 것만 알았는데, 정은님 덕분에 인터프리터 언어와 컴파일 언어를 제대로 구분하고 가는 것 같습니다!

이번 차시 PR도 정말 수고 많으셨습니다 .👍🏻💚👍🏻💚