ct0371-1: Add notes

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@@ -28,7 +28,7 @@ prim(G, w, r)
 che è **corretto** perchè rispetta il _teorema fondamentale_ degli _MST_.
 Infatti, ad ogni istante, si ha che:
 $$
-A = \Set{(\pi_v, v) \in E \mid u \in V \setminus Q \setminus \{r\}}
+A = \Set{(\pi_v, v) \in E | u \in V \setminus Q \setminus \{r\}}
 $$
 e dato che $\pi_v \in V \setminus Q$, l'arco $(\pi_v, v)$ **non attraverserà mai** il _taglio_ $(V \setminus Q, Q)$, cioè il bordo tra i nodi **già visitati** e quelli **ancora da visitare**.
 Inoltre, il prossimo $u$ proviene sicuramente dall'_arco leggero_ del _taglio_.

src/ct0371-1/02/03/README.md

@@ -27,17 +27,93 @@ digraph {
 }
 ```
 
-## Proprietà
+## Struttura
 
-<!-- TODO: Da spostare (con le funzioni ausiliarie, dopo le proprietà (?)) -->
-Gli algoritmi principali memorizzano due campi per ogni vertice $u \in V$:
+Gli algoritmi principali, come per [quello di Prim](../02/03/README.md), memorizzano due campi per ogni vertice $u \in V$:
 - La **stima della distanza minima** `d[u]`, che alla fine dovrà essere uguale a $\delta(s, u)$
 - Il **predecessore** `𝜋[u]`, da cui è partito l'arco verso $u$ che porta al peso finale `d[u]`
 
-Inoltre, sia sui grafi _orientati_ che _non orientati_ valgono le proprietà:
-- **Proprietà dei sottocammini minimi**
+Inoltre, gli algoritmi fanno uso delle **funzioni ausiliarie**:
+- **Init Single Source**
+
+	```c
+	init_ss(G, s)
+	  for each u in G.V
+	    d[u] = +infty
+	    𝜋[u] = NIL
+	  d[s] = 0
+	  return d, 𝜋
+	```
+	con costo $\Theta(1)$.
+
+- **Relax**
+
+	```c
+	relax(u, v, w, d, 𝜋)
+	  if d[v] > d[u] + w(u, v)
+	    d[v] = d[u] + w(u, v)
+	    𝜋[v] = u
+	```
+	che diventa $O(\log n)$ per l'assegnamento a `d[v]`, se `d` è usato in una coda di priorità.
+
+## Proprietà
+
+Sia sui grafi _orientati_ che _non orientati_ valgono le proprietà:
 - **Grafo dei predecessori**
-- **Albero dei predecessori**
+
+	Il grafo $G_\pi = (V_\pi, E_\pi)$ è detto **dei predecessori** se dipende da $\pi$, ovvero se è costruito tale che:
+	$$
+	\begin{split}
+	V_\pi &= \Set{u \in V | \exists\pi_u} \\
+	E_\pi &= \Set{(\pi_u, u) \in E | u \in V_\pi \setminus \{s\}}
+	\end{split}
+	$$
+	ovvero un'istanza dello stato dell'algoritmo, che alla fine diventerà l'**albero dei cammini minimi**.
+
+- **Albero dei cammini minimi**
+
+	Il sottografo $G' = (V', E')$ del grafo $G$ rappresenta i **cammini minimi** quando:
+	- $V' = \Set{u \in V | \delta(s, u) \neq \infty}$, ovvero l'insieme dei nodi **raggiungibili** in $G$ da $s$
+	- $G'$ forma un **albero** con radice $s$
+	- Il cammino tra $s$ e qualsiasi $u$ in $G'$ è **minimo** in $G$
+
+- **Proprietà dei sottocammini minimi**
+
+	Ogni sottocammino del **cammino minimo** $p$ è anch'esso **minimo**, perchè altrimenti $p$ non lo sarebbe.
+
 - **Disuguaglianza triangolare**
+
+	Dato $G = (V, E)$ ed un arco $(u, v) \in E$, allora:
+	$$
+	\delta(s, v) \leq \delta(s, u) + w(u, v)
+	$$
+
+	Che è dimostrato perchè nel caso di
+	- $\delta(s, u) = \infty$ allora $\delta(s, v) \leq \infty$
+	- $\delta(s, u) = -\infty$ allora è presente il _ciclo negativo_ anche tra $s$ e $v$, quindi $\delta(s, v) = -\infty$
+	- $\delta(s, u) \in \mathbb{R}$ allora, sia che $(u, v)$ sia il migliore o peggiore tra gli archi entranti di $v$, è verificata
+
 - **Proprietà del limite inferiore**
+
+	Su qualsiasi algoritmo che usa `init_ss` e che modifica $d$ e $\pi$ solamente con `relax` vale che:
+	$$
+		\delta(s, v) \leq d_v,\; \forall v \in V
+	$$
+
+	Inoltre, se ad un certo punto $d_v = \delta(s, v)$, ulteriori chiamate a `relax` **non cambieranno più** $d$.
+
+	La dimostrazione si concentra sui principali momenti che coinvolgono $d$:
+	- Dopo `init_ss`, se:
+		- $v \neq s$, allora $\delta(s, v) \leq d_v = +\infty$
+		- $v = s$, allora $\delta(s, s) \leq d_s = 0$ anche in presenza di _cicli negativi_, i.e. $\delta(s, s) = -\infty$
+	- Dopo `relax` su $(u, v)$, supponendo _per assurdo_ che causi per la **prima volta** $d_v < \delta(s, v)$:
+
+		Siccome la `relax` dev'essere **entrata nell'`if`** perchè le ipotesi siano vere:
+		$$
+		d_u + w(u, v) = d_v
+		\hspace{0.4em} < \hspace{0.4em}
+		\delta(s, v) \leq \delta(s, u) + w(u, v)
+		$$
+		per l'ipotesi e per la _disuguaglianza triangolare_, ovvero che $d_u < \delta(s, u)$ che è assurdo perchè $v$ **non sarebbe il primo** ad aver infranto la proprietà, ma lo sarebbe $u$.
+
 - **Proprietà della convergenza**