ct0371-1, ct0371-2: Add notes

src/SUMMARY.md

@@ -58,6 +58,11 @@
 			- [Funzioni elementari](./ct0371-1/01/01/02/README.md)
 		- [Calcolo della complessità](./ct0371-1/01/02/README.md)
 		- [Ricorrenze](./ct0371-1/01/03/README.md)
+	- [Grafi](./ct0371-1/02/README.md)
+		- [Concetti](./ct0371-1/02/01/README.md)
+			- [Rappresentazioni](./ct0371-1/02/01/01/README.md)
+			- [Grado](./ct0371-1/02/01/02/README.md)
+			- [Isomorfismo](./ct0371-1/02/01/03/README.md)
 
 - [Basi di dati (M. 1)](./ct0006-1/README.md)
 	- [Progettazione concettuale](./ct0006-1/01/README.md)

src/ct0371-1/02/01/01/README.md

@@ -0,0 +1,33 @@
+# Rappresentazioni
+
+Un grafo **sparso** conviene venga rappresentato attraverso una **lista di adiacenza** attraverso un array di $n = |V|$ celle, in ognuna delle quali c'è una _lista concatenata_ contenente i nodi _adiacenti_.
+
+Per un grafo **denso** invece, è più conveniente usare una [**matrice di adiacenza**](../../ct0435/06/README.md#matrice-di-adiacenza) $A$ di dimensione $|V| \times |V|$, in cui $a_{ij} > 0$ rappresenta la presenza di un arco, e che nei grafi _non orientati_ è [simmetrica](../../ct0435/04/README.md#proprietà), cioè $A^T = A$.
+
+Un'altra rappresentazione è la **matrice di incidenza** di dimensione $|V| \times |E|$,
+in cui $a_{ij}$ assume il valore $-1$ quando l'arco assegnato a $j$ che parte dal nodo $i$ è **uscente** e il valore $+1$ quando è **entrante**.
+
+Per esempio, il grafo
+```dot process
+digraph {
+	rankdir=LR
+	node [shape=circle]
+	edge [arrowsize=0.8]
+
+	1:n -> 2 [label="1"]
+	1 -> 4 [label="5"]
+	3 -> 1 [label="2" weight=100]
+	4 -> 3:s [label="3" dir=back]
+	2 -> 3 [style=invis]
+	4:w -> 1:s [xlabel="4"]
+}
+```
+avrà _matrice di incidenza_:
+$$
+A = \begin{bmatrix}
+-1 & 1 & 0 & 1 & -1 \\
+1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
+0 & -1 & -1 & 0 & 0 \\
+0 & 0 & 1 & -1 & 1
+\end{bmatrix}
+$$

src/ct0371-1/02/01/02/README.md

@@ -0,0 +1,96 @@
+# Grado
+
+Dato un grafo **non orientato** e la sua _matrice di adiacenza_ $A = (a_{ij}) = (a_{ji})$, il **grado** di un suo nodo $i$ è:
+$$
+\deg(i) = |N(i)| = \sum_{j \in V} a_{ij}
+$$
+
+Per i grafi **orientati** la _matrice di adiacenza_ non è _simmetrica_, quindi il **grado** si divide in **entrante** e **uscente**:
+$$
+\begin{split}
+\text{in-deg}(i) &= \sum_{j \in V} a_{ji} \\
+\text{out-deg}(i) &= \sum_{j \in V} a_{ij}
+\end{split}
+$$
+da cui si ricava che $\sum\limits_{i \in V} \text{in-deg}(i) = \sum\limits_{i \in V} \text{out-deg}(i) = |E|$.
+
+## Proprietà
+
+- **Numero di cammini**
+
+	Dalla [matrice di adiacenza](../../../ct0435/06/README.md#matrice-di-adiacenza) si può ricavare il **numero di cammini** lunghi $k$ da ogni nodo $i$ a $j$:
+	$$
+	A^k = (a_{ij}^{(k)})
+	$$
+
+	In particolare nei grafi _non orientati_ $A = A^T$, quindi se $k = 2$ si ha che:
+	$$
+	a_{ii}^{(2)} = A_i \cdot A^i \underset{A_i = A^i}{=} A_i \cdot A_i^T = \sum_{j = 1}^n {a_{ij}}^2 = \sum_{j = 1}^n a_{ij} = \deg(i)
+	$$
+
+	Si può dimostrare, per _induzione_ su $k$, che $A^k = A^{k-1} \times A$ contiene il numero di cammini lunghi $k$:
+	- **Caso base**, per $k = 1$: $a_{ij}^{(1)}$ è il numero di archi da $i$ a $j$ e quindi cammini lunghi $1$
+	- **Caso base**, per $k = 2$:
+		$$
+		a_{ij}^{(2)} = A_i \cdot A^j = \sum_{l = 1}^n a_{il} \cdot a_{lj}
+		$$
+		conta il cammino da $i$ a $j$ via $l$ sse $a_{il} \cdot a_{lj} = 1$, cioè se $a_{il}, a_{lj} \neq 0$ e quindi $(i, l), (l, j) \in E$.
+	- **Passo induttivo**, assumendo che valga per $k-1$:
+		$$
+		a_{ij}^{(k)} = \sum_{l \in V} a_{il}^{(k-1)} \cdot a_{lj}
+		$$
+		dove $a_{il}^{(k-1)}$ è il numero di cammini lunghi $k-1$ da $i$ a $j$ per l'_ipotesi induttiva_ e, come per $k = 2$, il cammino è contato solo se $a_{lj} \neq 0$ e quindi se $(l, j) \in E$.
+
+- **Almeno due nodi hanno lo stesso grado**
+
+	Un grafo _n.o._ avrebbe tutti i **gradi distinti** se fossero $0, ..., n-1$, ovvero se il nodo con grado $0$ non avesse nodi _adiacenti_, ma è una **contraddizione** perchè quello con grado $n-1$ lo sarebbe a tutti.
+
+- **Lemma della stretta di mano**
+
+	Per un grafo _non orientato_ $G = (V, E)$ la somma dei gradi corrisponde a:
+	$$
+	\sum_{v \in V} \deg(v) = 2|E| = 2m
+	$$
+	perchè ogni arco sta tra due nodi e quindi è **contato due volte**.
+
+- **Il numero di vertici con grado dispari è pari**
+
+	Dal _lemma della stretta di mano_ si ricava che, dato $P$ l'insieme dei vertici con grado pari e $D = V \setminus P$:
+	$$
+	\begin{split}
+	2m &= \sum_{u \in V} \deg(u) = \sum_{u \in P} \deg(u) + \sum_{u \in D} \deg(u) = \\
+	&= \sum_{u \in P} 2\frac{1}{2}\deg(u) + \sum_{u \in D} \left(2\frac{1}{2}(\deg(u)-1) + 1\right) = \\
+	&= 2\left(\sum_{u \in P} \frac{1}{2}\deg(u) + \sum_{u \in D}\frac{1}{2}(\deg(u) - 1)\right) + \sum_{u \in D} 1 = \\
+	&= 2\left(\sum_{u \in V} \frac{1}{2}(\deg(u) - (\deg(u) \bmod 2)) \right) + |D| = \\
+	&= 2h(V) + |D|
+	\end{split}
+	$$
+	da cui si può concludere che $|D| = 2m - 2h(V)$ che è **pari**, perchè $h(V) \in \mathbb{N}$.
+
+- **Grafi $k$-regolari**
+
+	Dal _lemma della stretta di mano_ si ricavano anche i **grafi $k$-regolari**, ovvero i grafi $G = (V, E)$ tali che:
+	$$
+	\forall u \in V,\ \deg(u) = k
+	$$
+
+	In particolare, un grafo $G = (V, E)$ ha proprietà:
+	- $|V| = |E|$, se è $2$-regolare:
+		$$
+		2m = \sum_{u \in V} \deg(u) = \sum_{u \in V} 2 = 2n
+		$$
+	- $|V|$ è pari, se è $3$-regolare:
+		$$
+		2m = \sum_{u \in V} \deg(u) = \sum_{u \in V} 3 = 3n
+		$$
+		quindi $n = 2\frac{m}{3}$ che è pari, dato che $\frac{m}{3} \in \mathbb{N}$.
+	- $|E|$ è pari, se è $4$-regolare:
+		$$
+		2m = \sum_{u \in V} \deg(u) = \sum_{u \in V} 4 = 4n
+		$$
+		quindi $m = 2n$.
+	- $|V|$ ed $|E|$ sono entrambi pari o dispari, se è $6$-regolare:
+		$$
+		2m = \sum_{u \in V} \deg(u) = \sum_{u \in V} 6 = 6n
+		$$
+		quindi $m = 3n$.

src/ct0371-1/02/01/03/README.md

@@ -0,0 +1,90 @@
+# Isomorfismo
+
+Una funzione $\phi\colon V_1 \to V_2$ è un **isomorfismo** di $G_1 = (V_1, E_1)$ e $G_2 = (V_2, E_2)$ se:
+- $\phi$ è **biunivoca**
+- $(u, v) \in E_1$ sse $(\phi(u), \phi(v)) \in E_2$, quindi l'_adiacenza_ è **preservata**
+
+Per esempio, esiste una funzione che può trasformare il primo grafo nel secondo:
+```dot process
+digraph {
+	node [shape=circle]
+	edge [dir=none]
+
+	1 -> 3, 2
+	a -> c [style=invis]
+	a -> b
+	{
+		rank=same
+		3 -> 2 -> c [minlen=2 style=invis]
+		c -> b [minlen=2]
+	}
+}
+```
+
+Perchè due grafi siano **isomorfi**, ovvero $G_1 \simeq G_2$, è **necessario** che:
+$$
+|V_1| = |V_2| \land |E_1| = |E_2| \land \text{deg-seq}(G_1) = \text{deg-seq}(G_2) \land c_1 = c_2
+$$
+dove $\text{deg-seq}(G)$ sono gli $n$ gradi dei nodi di $G$ in ordine crescente, e $c$ è il numero di _componenti connesse_.
+
+Per esempio, dati $G_1$ e $G_2$ come:
+```dot process
+digraph {
+	node [shape=circle]
+	edge [dir=none]
+
+	1 -> 2
+	2 -> 3
+	1 -> 3, 4 [style=invis]
+	1 -> 5
+	5 -> 4
+	{
+		rank=same
+		3 -> 4 [minlen=2]
+	}
+
+	{
+		rank=same
+		5 -> a2 [minlen=3 style=invis]
+	}
+
+	a1 -> a2 [style=invis]
+	a1 -> a3
+	a2 -> a3 [style=invis]
+	a1 -> a4
+	a1 -> a5 [style=invis]
+	a5 -> a4 [style=invis]
+	{
+		rank=same
+		a3 -> a4 [minlen=2 style=invis]
+	}
+	{
+		edge [constraint=false]
+		a2 -> a4, a5
+		a5 -> a3
+	}
+
+	a1 [label="1"]
+	a2 [label="2"]
+	a3 [label="3"]
+	a4 [label="4"]
+	a5 [label="5"]
+}
+```
+la funzione
+$$
+\phi(u) = \begin{cases}
+2 & \text{se } u = 1 \\
+4 & \text{se } u = 2 \\
+1 & \text{se } u = 3 \\
+3 & \text{se } u = 4 \\
+5 & \text{se } u = 5
+\end{cases}
+$$
+è un valido _isomorfismo_ per $G_1$ e $G_2$.
+Questo è vero perchè $\phi(u)$ è _biunivoca_, dato che ogni $v_2 \in V_2$ è assegnato ad un solo $v_1 \in V_1$ e perchè le _adiacenze_ sono preservate:
+- $(1, 2) \in E_1$ e $(\phi(1), \phi(2)) = (2, 4) \in E_2$
+- $(2, 3) \in E_1$ e $(\phi(2), \phi(3)) = (4, 1) \in E_2$
+- ...
+
+In questo caso si ha anche che $G_1 \simeq G_1^C$, infatti $G_2 = G_1^C$ e $E_2 = E_1^C$.