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capitoli/01-introduzione.tex

@@ -241,7 +241,7 @@ \subsection{Formulazione debole}
 	\displaystyle\int\nolimits ^{1}_{0} u'(x) v'(x) \dx=\int\nolimits ^{1}_{0} f(x) v(x) \dx,\ \ \ \ \forall v(x) \in V.
 	\label{eq:formulazione-debole}
 \end{equation}
-\textit{La formulazione debole è quindi piu generale di quella forte}, dal momento che non richiede che $f$ sia derivabile, ma formula la soluzione sotto forma di integrale. Di conseguenza la richiesta su $f$ sarà di integrabilità: lo spazio $L^{2} $ è infatti lo spazio di funzioni il cui quadrato è integrabile\footnote{Tra tutti gli spazi $L^{p} $ c'è una preferenza a scegliere $L^2$ dato che è l'unico ad essere uno spazio di Hilbert, e questo porta con sé una serie di interessanti e utili proprietà, non oggetto di questo corso.}.
+\textit{La formulazione debole è quindi più generale di quella forte}, dal momento che non richiede che $f$ sia derivabile, ma formula la soluzione sotto forma di integrale. Di conseguenza la richiesta su $f$ sarà di integrabilità: lo spazio $L^{2} $ è infatti lo spazio di funzioni il cui quadrato è integrabile\footnote{Tra tutti gli spazi $L^{p} $ c'è una preferenza a scegliere $L^2$ dato che è l'unico ad essere uno spazio di Hilbert, e questo porta con sé una serie di interessanti e utili proprietà, non oggetto di questo corso.}.
 
 \textit{Osservazioni.} % TODO GRAF vanno formattate meglio
 \begin{itemize}
@@ -262,7 +262,7 @@ \subsection{Problema numerico}
 \end{equation}
 \textit{Osservazioni.}
 \begin{itemize}
-	\item In base a come costruiamo lo spazio discreto $V_{h} \subset V$, e quindi l'approsimazione $u_{h}$ di $u$, possiamo ottenere metodi numerici diversi.
+	\item In base a come costruiamo lo spazio discreto $V_{h} \subset V$, e quindi l'approssimazione $u_{h}$ di $u$, possiamo ottenere metodi numerici diversi.
 	\item Nel \textbf{metodo degli elementi finiti}\index{metodo!degli elementi finiti} (FEM, Finite Elements Method), l'approssimazione $\displaystyle u_{h} \in V_{h}$ di $u\in V$ è costruita come un polinomio (spesso lineare) a tratti continuo e che si annulla agli estremi.
 
   \begin{figure}[htpb]

capitoli/02-sistemi-metodi-diretti.tex

@@ -228,7 +228,7 @@ \subsection{Come trovare la fattorizzazione LU}
 0 & u_{22}
 \end{bmatrix}
 \end{equation*}
-in questo sistema abbiamo $\displaystyle 3+3$ incognite nel menbro destro e i $\displaystyle 4$ vincoli del membro sinistro. Questo problema è irrisolvibile in quanto sottodimensionato: abbiamo troppe incognite rispetto ai vincoli, il che produrrebbe infinite fattorizzazioni possibili.
+in questo sistema abbiamo $\displaystyle 3+3$ incognite nel membro destro e i $\displaystyle 4$ vincoli del membro sinistro. Questo problema è irrisolvibile in quanto sottodimensionato: abbiamo troppe incognite rispetto ai vincoli, il che produrrebbe infinite fattorizzazioni possibili.
 Dobbiamo dunque eliminare almeno $2$ incognite.
 Per esempio, possiamo fissare gli elementi $\displaystyle l_{11} =1,l_{22} =1$.
 Avendo ora incognite e vincoli in egual numero, siamo nelle condizioni di poter trovare una soluzione, e non ci resta che svolgere i calcoli per trovarla.
@@ -630,7 +630,7 @@ \section{Tecniche di Pivoting}
 U\x =\y.
 \end{cases}
 \end{equation*}
-Similmente, esiste anche il \textbf{pivoting per colonne}\index{pivoting!per colonne}, ma Matlab raramente lo utilizza.
+Similmente, esiste anche il \textbf{pivoting per colonne}\index{pivoting!per colonne}, ma MATLAB raramente lo utilizza.
 \begin{equation*}
 A^{(k)} =\begin{bmatrix}
 a^{(1)}_{11} & \dotsc  & \dotsc  & \\
@@ -1082,6 +1082,6 @@ \section{Problema del fill-in}
 \end{equation*}
 Illustriamo qualche possibile soluzione a questo problema:
 \begin{enumerate}
-\item Riordinare le righe e le colonne in modo da ottenere le righe e le colonne di $A$ in una configurazione che minimizza il fill-in (approccio utilizzato da Matlab).
+\item Riordinare le righe e le colonne in modo da ottenere le righe e le colonne di $A$ in una configurazione che minimizza il fill-in (approccio utilizzato da MATLAB).
 \item Cambiare completamente prospettiva, cercando di risolvere il problema \textit{senza manipolare affatto la matrice }$A$. L'idea sarà sviluppata nel prossimo capitolo nei cosiddetti \textbf{metodi iterativi}\index{metodi iterativi}.
 \end{enumerate}

capitoli/04-approssimazione-funzioni-dati.tex

@@ -1022,7 +1022,7 @@ \subsection{Fattorizzazione QR}
 \end{array}
 \end{bmatrix}}_{\mathbf{b} \in \mathbb{R}^{n}}
 \end{equation*}
-\textit{Idea di dimostrazione.} Ci concentreremo sulla dimostrazione dell'esistenza, tralasciando quella dell'unicità. Supponendo che $A$ ammenta una fattorizzazione $QR$, allora:
+\textit{Idea di dimostrazione.} Ci concentreremo sulla dimostrazione dell'esistenza, tralasciando quella dell'unicità. Supponendo che $A$ ammetta una fattorizzazione $QR$, allora:
 \begin{align*}
 \Vert A\x -\mathbf{b}\Vert ^{2}_{2} & =\Vert QR\x -\mathbf{b}\Vert ^{2}_{2} & \\
  & =\left\Vert Q^{T} QR\x -Q^{T}\mathbf{b}\right\Vert ^{2}_{2} & \Vert \mathbf{z}\Vert _{2} =\left\Vert Q^{T}\mathbf{z}\right\Vert _{2} \ \forall \mathbf{z}\\

capitoli/06-approssimazione-derivate.tex

@@ -63,7 +63,7 @@ \chapter{Approssimazione di derivate}
 \FloatBarrier
 
 Aggiungiamo un ulteriore grado di complessità rispetto al problema proposto all'inizio del capitolo \ref{chap:introduzione}, cioè la variazione nel tempo oltre che nello spazio.
-Invece di avere una corda fissata agli estremi, osserviamo una barra di metallo che riscaldiamo. Vogliamo modellizzare come varia la tempertura $u( x,t)$ in funzione dello spazio $x$ e del tempo $t$, assegnate la temperatura agli estremi, la temperatura all'istante iniziale e la sorgente termica.
+Invece di avere una corda fissata agli estremi, osserviamo una barra di metallo che riscaldiamo. Vogliamo modellizzare come varia la temperatura $u( x,t)$ in funzione dello spazio $x$ e del tempo $t$, assegnate la temperatura agli estremi, la temperatura all'istante iniziale e la sorgente termica.
 
 Si può mostrare (ma non rientra nella nostra trattazione) che questo problema è modellato dall'\textit{equazione del calore}, abbinata ad opportune condizioni:
 \begin{equation}\tag{PM}\label{eq:pm-calore}

capitoli/07-edo.tex

@@ -114,28 +114,28 @@ \section{Problema di Cauchy}
 z(0) =y_{0} +\delta _{0}
 \end{cases} \quad t\in I
 \end{equation*}
-dove $\delta _{0} \in \mathbb{R}$ e $\delta (t)$ è una funzione continua in $I$. Vogliamo caratterizzare la sensibilità di $z(t)$ alle perturbazioni $\delta _{0}$ e $\delta (t)$. Questo è il concetto di stabilità secondo Liapunov.
+dove $\delta _{0} \in \mathbb{R}$ e $\delta (t)$ è una funzione continua in $I$. Vogliamo caratterizzare la sensibilità di $z(t)$ alle perturbazioni $\delta _{0}$ e $\delta (t)$. Questo è il concetto di stabilità secondo Lyapunov.
 
 \begin{definition}
-[Stabilità secondo Liapunov]
-\index{stabilità!secondo Liapunov}
+[Stabilità secondo Lyapunov]
+\index{stabilità!secondo Lyapunov}
 Sia $I=[ t_{0} ,t_{0} +T]$ un intervallo limitato $( T< +\infty )$.
-Diciamo che \eqref{eq:problema-di-cauchy} è stabile secondo Liapunov se per ogni perturbazione $( \delta _{0} ,\delta (t))$ tale che
+Diciamo che \eqref{eq:problema-di-cauchy} è stabile secondo Lyapunov se per ogni perturbazione $( \delta _{0} ,\delta (t))$ tale che
 \begin{equation*}
 | \delta _{0}| < \varepsilon ,\quad | \delta (t)| < \varepsilon ,\quad \forall t\in I,\quad \varepsilon  >0,
 \end{equation*}
 con $\varepsilon $ sufficientemente piccolo da garantire che $(\widetilde{\text{PC}})$ ammetta una e una sola soluzione, allora esiste $c >0$, indipendente da $\varepsilon $, tale che
 \begin{equation}
 | y(t) -z(t)| < c\ \varepsilon ,\quad \forall t\in I.
-\label{eq:stabilita-liapunov}
+\label{eq:stabilita-lyapunov}
 \end{equation}
 \end{definition}
 
 \begin{definition}
 [Stabilità asintotica]
 \index{stabilità!asintotica}
 Sia $I$ un intervallo superiormente illimitato.
-Si dice che \eqref{eq:problema-di-cauchy} è asintoticamente stabile se vale \eqref{eq:stabilita-liapunov} e inoltre
+Si dice che \eqref{eq:problema-di-cauchy} è asintoticamente stabile se vale \eqref{eq:stabilita-lyapunov} e inoltre
 \begin{equation*}
 \lim _{t\rightarrow \infty }| y(t) -z(t)| =0
 \end{equation*}
@@ -208,7 +208,7 @@ \section{Problema di Cauchy}
 \begin{theorem}
 [Buona posizione]
 \index{teorema!della buona posizione}
-Sotto le ipotesi del teorema \ref{thm:esistenza-unicita-PC} il \eqref{eq:problema-di-cauchy} è ben posto, cioè esiste un'unica soluzione $y(t) \in C^{1}(I)$ che dipende con continuità dai dati, ovvero è stabile secondo Liapunov.
+Sotto le ipotesi del teorema \ref{thm:esistenza-unicita-PC} il \eqref{eq:problema-di-cauchy} è ben posto, cioè esiste un'unica soluzione $y(t) \in C^{1}(I)$ che dipende con continuità dai dati, ovvero è stabile secondo Lyapunov.
 \end{theorem}
 
 \textit{Osservazioni.}
@@ -339,7 +339,7 @@ \subsection{Metodo di Crank–Nicolson}
 
 \subsection{Metodo di Heun}
 Analizziamo il metodo di \textbf{Heun}\index{metodo!di Heun}, che abbrevieremo con \eqref{eq:heun}.
-Ripendiamo il metodo di \eqref{eq:crank-nicolson}:
+Riprendiamo il metodo di \eqref{eq:crank-nicolson}:
 \begin{equation*}\tag{CN}
 \begin{cases}
 u_{n+1} =u_{n} +\frac{h}{2}[ f( t_{n+1} ,u_{n+1}) +f( t_{n} ,u_{n})]\\