verbesserung analysis

MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 02.yaml

@@ -52,3 +52,19 @@ cards:
     $x \neq x_k$ $\forall k$.<br> %TODO Automatically generated<br> % \begin{figure}[H]<br>
     %     \centering<br> %     \includegraphics[width=0.8\textwidth]{lec_02_1697720358}<br>
     % \end{figure}<br> [/latex]'
+
+
+- type: latex_plus
+  front: "Def.: injektiv, surjektiv, bijektiv"
+  back: |+
+    [latex] Eine Funktion $ f: A \to B $ ist injektiv, wenn für alle $ x_1, x_2 $ in der Definitionsmenge $ A $ gilt:
+    $ f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2 $ 
+    
+    <br>
+    
+    Eine Funktion $ f: A \to B $ ist surjektiv, wenn für jedes Element $y$ in der Zielmenge $B$ mindestens ein Element $x$ in der Definitionsmenge $A$ existiert, so dass $f(x) = y$
+    
+    <br>
+    
+    Eine Funktion ist bijektiv wenn sie surjektiv und injektiv ist
+    [/latex]

MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 03.yaml

@@ -79,3 +79,9 @@ cards:
     Das Skalarprodukt wird auch $\langle x, y \rangle$ geschrieben.<br> <br> Wir definieren
     die Euklidische Norm<br> \[\|(x_1, \dots, x_n)\|\coloneqq\sqrt{(x_1,\dots,x_n)\cdot
     (x_1,\dots,x_n)}=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}x_k^2}.\]<br> [/latex]'
+
+
+- type: latex_plus
+  id: 8  # (generated)
+  front: '[latex]Satz von Cantor Bernstein? [/latex]'
+  back: '[latex]% Falls Injektionen von A nach B und von B nach A existieren, dann existiert auch eine Bijektion zwischen A und B[/latex]'

MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 05.yaml

@@ -10,17 +10,11 @@ cards:
   back: '[latex]%<br> Sind $(a_n)$ und $(b_n)$ konvergente Folgen mit dem Grenzwert
     $a$ und $b$, also $a_n\to a$ und $b_n\to b$, so gilt:<br> \begin{enumerate}<br>
     \item Die Summenfolge $(a_n+b_n)$ konvergiert gegen $a+b$.<br> \item Die Produktfolge
-    $(a_nb_n)$ konvergiert gegen $ab$.<br> \item Die Quotientenfolge $(a_n/b_n)_{n\geq
-    N}$ konvergiert gegen $a/b$, falls $b\neq 0$ (es gibt dann ein $N\in\mathbb{N}$
-    mit $b_n\neq 0$ für alle $n\geq N$).<br> \item Für alle $\lambda\in\mathbb{R}$
-    konvergiert $(\lambda a_n)$ gegen $\lambda a$.<br> \item Falls $a_n\geq 0$ für
-    alle $n$, dann konvergiert $(\sqrt{a_n}$) gegen $\sqrt{a}$.<br> \item Die Betragsfolge
-    ($|a_n|$) konvergiert gegen $|a|$.<br> \item Gibt es $N\in\mathbb{N}$, sodass
-    $a_n\leq b_n$ für $n\geq N$, so gilt: $a\leq b$.<br> \item \emph{Einschnürungskriterium}:
-    Gilt $a=b$ und erfüllt die Folge $(c_n)$ die Ungleichung<br> \[a_n\leq c_n\leq
-    b_n,\]<br> so konvergiert $(c_n)$ gegen $a=b$.<br> \end{enumerate}<br> [/latex]'
+    $(a_nb_n)$ konvergi '
+
 
 - type: cloze
   id: 1  # (generated)
   front: |
-    [$$] \item Sind $(a_n)$ eine Nullfolge und $(b_n)$ eine [/$$] {{c1::[$$] beschränkte Folge [/$$]}} [$$], so konvergiert $(a_nb_n)$ gegen [/$$] {{c1::[$$] 0 [/$$]}}
+    [latex] Sind $(a_n)$ eine Nullfolge und $(b_n)$ eine {{c1::beschränkte Folge }}, so konvergiert $(a_nb_n)$ gegen {{c1::0}} [/latex]
+

MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 07.yaml

@@ -7,23 +7,27 @@ cards:
 - type: latex_plus
   id: 0  # (generated)
   front: '[latex]%<br> Konvergenz- und Divergenzkriterien [HMiR]<br> [/latex]'
-  back: '"[latex]%<br> Gegeben ist eine Reihe $\sum_{k=0}^\infty$.<br> \begin{itemize}<br>
-    \item Das \emph{Nullfolgenkriterium}: Die Reihe $\sum_{k=0}^\infty a_k$ divergiert,
-    falls $(a_k)_k$ keine Nullfolge ist.<br> \item Das \emph{Leibnitzkriterium}: Die
-    alternierende Reihe $\sum_{k=0}^\infty(-a)^ka_k$ konvergiert, falls $(a_k)_k$
-    eine monoton fallende Nullfolge ist (das impliziert $a_k\geq 0$). Für den Wert
-    $S$ der Reihe gilt die Abschätzung<br> \[\left|S-\sum_{k=0}^n(-1)^ka_k\right|\leq
-    a_{n+1}.\]<br> \item Das \emph{Majorantenkriterium}: Die Reihe $\sum_{k=0}^\infty
-    a_k$ konvergiert absolut, falls es eine \emph{konvergente Majorante} gibt, d.h.<br>
-    \[\exists\text{konvergente Reihe $\sum_{k=0}^\infty b_k$}:|a_k|\leq b_k\;\forall
-    k\geq N\in\mathbb{N}.\]<br> \item Das \emph{Minorantenkritierum}: Die Reihe $\sum_{k=0}^\infty
-    a_k$ divergiert, falls es eine \emph{divergente Minorante} gibt, d.h.<br> \[\exists\text{divergente
-    Reihe $\sum_{k=0}^\infty b_k$}:0\leq b_k\leq a_k\;\forall k\geq N\in\mathbb{N}.\]<br>
-    \item Das \emph{Quotientenkriterium}: Existiert $r=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|$,
-    so gilt:<br> \[\text{Im Fall}\begin{cases*}                          r&lt;1 &amp;
-    konvergiert die Reihe absolut. \\                          r&gt;1 &amp; divergiert
-    die Reihe.          \\                          r=1 &amp; ist alles möglich.                      \end{cases*}\]<br>
-    \end{cases*}\]<br> \end{itemize}<br> [/latex]"'
+  back: '[latex]%<br> Gegeben ist eine Reihe $\sum_{k=0}^\infty$.<br> Das \emph{Nullfolgenkriterium}: Die Reihe $\sum_{k=0}^\infty a_k$ divergiert, falls $(a_k)_k$ keine Nullfolge ist.<br> 
+
+          Das \emph{Leibnitzkriterium}: Die alternierende Reihe $\sum_{k=0}^\infty(-a)^ka_k$ konvergiert, falls $(a_k)_k$ eine monoton fallende Nullfolge ist (das impliziert $a_k\geq 0$). Für den Wert $S$ der Reihe gilt die Abschätzung<br> $
+          \left|S-\sum_{k=0}^n(-1)^ka_k\right|\leq a_{n+1} $<br> 
+          
+          Das \emph{Majorantenkriterium}: Die Reihe $\sum_{k=0}^\infty a_k$ konvergiert absolut, falls es eine \emph{konvergente Majorante} gibt, d.h.<br> $\exists \text{konvergente Reihe $\sum_{k=0}^\infty b_k$}:$ <br>
+          
+          Das \emph{Minorantenkritierum}: Die Reihe $\sum_{k=0}^\infty a_k$ divergiert, falls es eine \emph{divergente Minorante} gibt, d.h.<br> $\exists\text{divergente Reihe $\sum_{k=0}^\infty b_k$}:0\leq b_k\leq a_k\;\forall k\geq N\in\mathbb{N}.$<br>
+          
+          Das \emph{Quotientenkriterium}: Existiert $r=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|$, so gilt:<br> 
+          
+          $
+          \begin{cases*}                          
+          r&lt;1 &amp; konvergiert die Reihe absolut.  \\
+          r&gt;1 &amp; divergiert die Reihe.          \\  
+          r=1 &amp; ist alles möglich.                      
+          
+          \end{cases*}
+          $
+          
+          [/latex]'
 
 
 - type: latex_plus

MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 13.yaml

@@ -6,13 +6,14 @@ cards:
 
 - type: latex_plus
   id: 0  # (generated)
-  front: '[latex]%<br> Def.: Konvergenz von Folgen ($d\geq 2$)<br> [/latex]'
+  front: '[latex]%<br> Def.: Konvergenz von Folgen <br> [/latex]'
   back: '[latex]%<br> Eine Folge $(x_n)$ in $\mathbb{R}^d$ \emph{konvergiert} gegen
     ein $x\in\mathbb{R}^d$ falls $\lim_{n\to\infty}\lVert x_n-x\rVert=0$. Wir schreiben
     $x_n\overset{n\to\infty}{\longrightarrow}x$ oder $\lim_{n\to\infty}x_n=x$.<br>
     <br> [/latex]'
 
 
+
 - type: latex_plus
   id: 2  # (generated)
   front: '[latex]%<br> Def.: Kompakte Mengen ($d \geq 2$)<br> [/latex]'
@@ -47,3 +48,10 @@ cards:
   back: '[latex]%<br> Sei $I\subseteq\mathbb{R}$ und $f:I\to\mathbb{R}$ stetig und
     streng monoton wachsend. Dann ist $f:I\to f(I)$ bijektiv und die Umkehrfunktion
     $f^{-1}:f(I)\to I$ ist ebenfalls stetig und streng monoton wachsend.<br> [/latex]'
+
+
+- type: latex_plus
+  id: 6  # (generated)
+  front: '[latex]%<br> Def.: Kettenregel Grenzwerte? <br>
+    [/latex]'
+  back: '[latex]%<br> Sei $\lim_{x \to a} f(x) = b$ und $g(x)$ stetig in $b$, so gilt $\lim_{x \to a} g(f(x)) = g(b) $<br> [/latex]'

MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 15.yaml

@@ -6,8 +6,7 @@ cards:
 
 - type: cloze
   id: 0  # (generated)
-  front: '[$$]%<br> Sei $f:D\to\mathbb{R}$ differenzierbar in $x_o\in D$. Dann ist
-    $f$ [/$$] {{c1::[$$]stetig[/$$]}} [$$] in $x_0$.<br> [/$$]'
+  front: '[latex] Sei $f\in D\to\mathbb{R}$ differenzierbar in $x_o\in D$. Dann ist $f$ {{c1::stetig}} in $x_0$ [/latex]'
 
 
 - type: latex_plus

MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 18.yaml

@@ -31,8 +31,7 @@ cards:
 
 - type: latex_plus
   id: 2  # (generated)
-  front: '[latex]%<br> Thm.: Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung und erste
-    Konsequenzen [HMiR]<br> [/latex]'
+  front: '[latex]%<br> Thm.: Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung <br> [/latex]'
   back: "[latex]%<br> Ist $f:[a,b]\\subseteq\\mathbb{R}\\to\\mathbb{R}$ eine stetige
     und auf $(a,b)$ differenzierbare Funktion, so gibt es ein $x_0\\in(a,b)$ mit<br>
     \\[f'(x_0)=\\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\\]<br> Es folgt:<br> \\begin{itemize}<br> \\

MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 19.yaml

@@ -44,8 +44,9 @@ cards:
 - type: latex_plus
   id: 3  # (generated)
   front: "[latex]%<br> Thm: Die Jensen'sche Ungleichung<br> [/latex]"
-  back: "[latex]%<br> Sei $f:(a,b)\\to\\mathbb{R}$ konvex, $n\\geq 2$, $x_1,\\dots,x_n\\
-    in(a,b)$, $p_1,\\dots,p_n&gt;0$ und $\\sum_{i=1}^np_i=1$. Dann gilt<br> \\[f\\
-    left(\\sum_{k=1}^np_kx_k\\right)\\leq\\sum_{k=1}^np_kf(x_k).\\]<br> <br> \\textit{Die
+  back: "[latex]%
+      <br> Sei $f:(a,b)\\to\\mathbb{R}$ konvex, $n\\geq 2$, $x_1,\\dots,x_n\\in(a,b)$, $p_1,\\dots,p_n&gt;0$ und $\\sum_{i=1}^np_i=1$. Dann gilt<br>
+       \\[f\\left(\\sum_{k=1}^np_kx_k\\right)\\leq\\sum_{k=1}^np_kf(x_k)\\]<br>
+      <br> \\textit{Die
     AM-GM-Ungleichung kann aus dem Spezialfall der Jensen'schen Ungleichung mit $f(x)=ln(x)$
     hergeleitet werden.}<br> [/latex]"

MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 20.yaml

@@ -22,24 +22,17 @@ cards:
 
 - type: latex_plus
   id: 1  # (generated)
-  front: '[latex]%<br> Wichtige Eigenschaften zu integrierbaren Funktionen [HMiR]<br>
+  front: '[latex]%<br> Wichtige Ungleichungen zu integrierbaren Funktionen [HMiR]<br>
     [/latex]'
+
   back: '"[latex]%<br> Für Funktionen $f,g:[a,b]\to\mathbb{R}$ gilt:<br> \begin{itemize}<br>
-    \item Ist $f$ stetig oder monoton, so ist $f$ integrierbar.<br> \item Ist $f$
-    integrierbar, so auch ihr Betrag $|f|:[a,b]\to\mathbb{R}$, $|f|(x)=|f(x)|$.<br>
     \item Ist $f$ integrierbar, so gilt:\marginnote{An dieser Stelle noch nicht in
     der VL behandelt}<br> \[\left|\int_a^bf(x)\,dx\right|\leq\int_a^b|f(x)|\,dx.\]<br>
+    
     \item Sind $f$ und $g$ integrierbar, so auch $\lambda f+g,\lambda\in\mathbb{R}$,
     und es gilt:<br> \[\int_a^b\left(\lambda f(x)+g(x)\right)\,dx=\lambda\int_a^bf(x)\,dx+\int_a^bg(x)\,dx.\]<br>
-    \item Sind $f$ und $g$ integrierbar und gilt $f(x)\leq g(x)$ für alle $x\in[a,b]$,
-    so gilt:<br> \[\int_a^bf(x)\,dx\leq\int_a^bg(x)\,dx.\]<br> \item Ist $f$ integrierbar,
-    so setzt man<br> \[\int_a^bf(x)\,dx=-\int_b^a\,dx,\quad\text{also gilt}\quad\int_a^af(x)\,dx=0.\]<br>
-    \item Ist $f$ integrierbar, so gilt für jedes $c\in[a,b]$:<br> \[\int_a^bf(x)\,dx=\int_a^cf(x)\,dx+\int_c^bf(x)\,dx.\]<br>
-    \item Ist $f$ integrierbar, so gilt für die Funktion\marginnote{An dieser Stelle
-    noch nicht in der VL behandelt}<br> \[\tilde{f}:[a,b]\to\mathbb{R},\quad\tilde{f}(x)=\begin{cases}                          f(x)   &amp;
-    x\neq x_0, \\                          \omega &amp; x=x_0      \\                      \end{cases}\]<br>
-    mit $x_0\in[a,b]$ und $\omega\in\mathbb{R}$:<br> \[\int_a^bf(x)\,dx=\int_a^b\tilde{f}(x)\,dx.\]<br>
-    \item Der \emph{Mittelwertsatz der Integralrechnung}\marginnote{An dieser Stelle
-    noch nicht in der VL behandelt}. Ist $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ stetig, so gibt es
-    ein $\xi\in[a,b]$, sodass<br> \[\int_a^bf(x)\,dx=f(\xi)(b-a).\]<br> \end{itemize}<br>
     [/latex]"'
+
+
+- type: cloze
+  front: Ist f {{c1::stetig}} oder {{c1::monoton}}, so ist f integrierbar.

MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 21.yaml

@@ -8,13 +8,13 @@ cards:
   id: 0  # (generated)
   front: '[latex]%<br> Die Existenz des Integrals<br> [/latex]'
   back: '[latex]%<br> Sei $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ beschränkt. $f$ ist genau dann integrierbar,
-    wenn für jeden $\epsilon&gt;0$ eine Zerlegung $Z$ existiert, so dass<br> \[|O_Z(xf)-U_Z(f)|&lt;\epsilon.\]<br>
+    wenn für jeden $\epsilon&gt;0$ eine Zerlegung $Z$ existiert, so dass<br> \[|O_Z(f)-U_Z(f)|&lt;\epsilon.\]<br>
     [/latex]'
 
 
 - type: latex_plus
   id: 1  # (generated)
-  front: '[latex]%<br> Def.: Gleichmäßig stetige Funktionen [Wiki]<br> [/latex]'
+  front: '[latex]%<br> Def.: Gleichmäßig stetige Funktionen (epsilon delta) <br> [/latex]'
   back: '[latex]%<br> Eine Abbildung $f:D\to\mathbb{R}$ heißt \emph{gleichmäßig stetig}
     genau dann, wenn<br> \[\forall\epsilon&gt;0\,\exists\delta&gt;0\,\forall x,x_0\in
     D:|x-x_0|&lt;\delta\implies|f(x)-f(x_0)|&lt;\epsilon.\]<br> [/latex]'

MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 22.yaml

@@ -9,6 +9,10 @@ cards:
   front: '[latex]%<br> Berechnen eines bestimmten Integrals mittels partieller Integration
     bzw. Substitution [HMiR]<br> [/latex]'
   back: "[latex]%<br> Man erhält das bestimmte Integral wie folgt:<br> \\[\\int_a^buv'=uv\\\
-    bigg\\rvert_a^b-\\int_a^bu'v\\quad\\text{bzw.}\\quad\\int_a^bf(g(x))g'(x)\\,dx=\\
-    int_{g(a)}^{g(b)}f(t)\\,dt.\\]<br> Auf dem Weg zur Bestimmung einer Stammfunktion
-    werden bereits die Ränder als Obergrenze bzw. Untergrenze eingesetzt.<br> [/latex]"
+    bigg\\rvert_a^b-\\int_a^bu'v<br> [/latex]"
+
+
+- type: latex_plus
+  id: 1  # (generated)
+  front: '[latex]%<br> Was erhält man wenn man $x = g(u)$ in einem integral substituiert?<br> [/latex]'
+  back: "[latex]%<br> \int_a^bf(x)\,dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(g(u))\cdot g'(u)\,du<br> [/latex]"

MA0902_Analysis_Informatik/TUM::Semester 3::Analysis::Lecture 24.yaml

@@ -54,12 +54,7 @@ cards:
     f \\                      \end{pmatrix}.\]<br> \item \emph{Laplaceoperator}: Der
     Laplaceoperator $\Delta$ ordnet einem Skalarfeld $f:D\subseteq\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$
     ein Skalarfeld $\Delta f$ zu:<br> \[\Delta f=\sum_{i=1}^n\partial_i^2f=\partial_1f+\dots+\partial_n^2f.\]<br>
-    \item \emph{Divergenz}: Die Divergenz $\text{div}$ ordnet einem Vektorfeld $v=(v_1,\dots,v_n)^T:D\subseteq\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$
-    ein Skalarfeld $\text{div}(v)$ zu:<br> \[\text{div}(v)=\sum_{i=1}^n\partial_iv_i=\partial_1v_1+\dots+\partial_nv_n.\]<br>
-    \item \emph{Rotation}: Die Rotation $\text{rot}$ ordnet einem Vektorfeld $v=(,v_1,v_2,v_3)^T:D\subseteq\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$
-    ein Vektorfeld $\text{rot}(v)$ zu:<br> \[\text{rot}(v)=\begin{pmatrix}                          \partial_2v_3-\partial_3v_2
-    \\                          \partial_3v_1-\partial_1v_3 \\                          \partial_1v_2-\partial_2v_1
-    \\                      \end{pmatrix}.\]<br> \end{itemize}<br> [/latex]"'
+  \end{itemize}<br> [/latex]"'
 
 
 - type: latex_plus
@@ -69,11 +64,4 @@ cards:
     I$.<br> \begin{itemize}<br> \item Ist $f:I\to\mathbb{R}$ eine $m$-mal differenzierbare
     Funktion, so nennt man<br> \[T_{m,f,a}(x)=\sum_{k=0}^m\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\]<br>
     das \emph{$m$-te Taylorpolynom zu $f$} im \emph{Entwicklungspunkt $a$} mit dem
-    \emph{Restglied}<br> \[R_{m+1}(x)=f(x)-T_{m,f,a}(x).\]<br> \item Sind $f\in C^{m+1}(1)$
-    und $T_{m,f,a}(x)$ das $m$-te Taylorpolynom von $f$ in $a$, so hat das Restglied
-    $R_{m+1}(x)$ die zwei verschiedenen Darstellungen:<br> \[R_{m+1}(x)=\frac{f^{(m+1)}(\xi)}{(m+1)!}(x-a)^{m+1}=\frac{1}{m!}\int_a^x(x-t)^mf^{(m+1)}(t)\,dt\]<br>
-    mit einem $\xi$ zwischen $a$ und $x$.<br> \item Ist $f\in C^{\infty}(I)$, so nennt
-    man<br> \[T_{f,a}(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\]<br> die \emph{Taylorreihe
-    von $f$ in $a$}.<br> \item Ist $f\in C^\infty(I)$ und $T_{f,a}(x)$ die Taylorreihe
-    von $f$ in $a$, so gilt mit dem Restglied $R_{m+1}(x)$<br> \[f(x)=T_{f,a}(x)\iff\lim_{m\to\infty}R_{m+1}(x)=0.\]<br>
-    \end{itemize}<br> [/latex]'
+    \emph{Restglied}<br> \[R_{m+1}(x)=f(x)-T_{m,f,a}(x).\]<br> [/latex]'

MA0902_Analysis_Informatik/sonstiges.yaml

@@ -0,0 +1,15 @@
+title: Analysis für Informatik - Sonstiges
+id: 1594111406
+author: Hendrik Hübner
+cards:
+- type: latex_plus
+  front: [latex]Wann konvergiert $\int_0^1 frac{1}{x^a}dx$?[/latex]
+  back: |+
+    [latex]Wenn $a < 1$ ergibt sich $frac{1}{1 - a}$ [/latex]
+    
+
+- type: latex_plus
+  front: [latex]Wie ist die eulersche Zahl definiert? (Grenzwert)[/latex]
+  back: |+
+    [latex]$ e = \lim_{{n \to \infty}} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n $[/latex]
+