Skip to content

Commit

Permalink
wzor wykladow
Browse files Browse the repository at this point in the history
  • Loading branch information
@pgawron
pgawron committed Jul 10, 2024
1 parent bd9ee77 commit ba5d958
Show file tree
Hide file tree
Showing 21 changed files with 2,540 additions and 132 deletions.
2 changes: 1 addition & 1 deletion lectures/99-materals/ch_infkw.tex
View file
Original file line number Diff line number Diff line change
@@ -1,5 +1,5 @@
% LTeX: language=pl-PL
\lecture{Informatyka kwantowa}
% \lecture{Informatyka kwantowa}
% \chapterauthor{PG}
% +Oskar Słowik w wydaniu 2

Expand Down
5 changes: 2 additions & 3 deletions lectures/99-materals/ch_mechkw.tex
View file
Original file line number Diff line number Diff line change
Expand Up @@ -2,7 +2,6 @@
\lecture{Mechanika kwantowa}
% \chapterauthor{PG}
% +Oskar Słowik w wydaniu 2

Mechanika kwantowa opisuje zachowania bardzo małych cząstek fizycznych,
czyli~np.~fotonów, elektronów albo~kwantowych bitów -- kubitów.
Na~potrzeby niniejszej~książki przyjmiemy, że~nie~będą nas interesować
Expand Down Expand Up @@ -654,7 +653,7 @@ \subsubsection{Bramka $\mat{SWAP}$}

\subsection{Łączenie bramek szeregowo}
Jeżeli~ewolucja kwantowa $\mat{U}$ jest podzielona w~czasie na~kolejne etapy,
tzn. na~przykład rozpoczyna~się od~bramki kwantowej $\mat{U}_{0\rightarrow 1}$,
tzn.\ na~przykład rozpoczyna~się od~bramki kwantowej $\mat{U}_{0\rightarrow 1}$,
która~przeprowadza stan z~chwili 0 do~chwili 1, a następnie wprowadza bramkę
kwantową $\mat{U}_{1\rightarrow 2}$, która~przeprowadza stan z~chwili 1
do~chwili 2 itd. \dots, aż~do~bramki
Expand Down Expand Up @@ -888,7 +887,7 @@ \section{Pomiar}
\caption{Pomiar z~wykorzystaniem macierzy $\mat{P}_0=\ketbra{0}{0},\mat{P}_1=\ketbra{1}{1}$.}
\label{rys:pomiar-P}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{width}{0.3\textwidth}
\begin{subfigure}{0.3\textwidth}
\includegraphics[height=0.38\textheight]{pics/pomiar_sy}
\caption{Pomiar z~wykorzystaniem macierzy $\mat{Q}_{-_\i}=\ketbra{-_\i}{-_\i}, \mat{Q}_{+_\i}=\ketbra{+_\i}{+_\i}$.}
\label{rys:pomiar-Q}
Expand Down
230 changes: 107 additions & 123 deletions lectures/99-materals/ch_podstawy_mat.tex
View file
Original file line number Diff line number Diff line change
@@ -1,52 +1,35 @@
% LTeX: language=pl-PL
\lecture{Podstawy matematyczne}\label{ch:podstawy}
\section{Liczby zespolone}
Czy~widział ktoś kiedyś liczbę? Na~przykład takie czterdzieści
dwa\footnote{Zobacz: Douglas Adams, ,,Autostopem przez~Galaktykę''.}? Czy można ją
zobaczyć? Możemy zobaczyć reprezentację liczby czterdzieści dwa w~postaci zapisu
dziesiętnego
\begin{quotation}
\centering 42\index{forty two},
\end{quotation}
lub~binarnego
\begin{quotation}
\centering 101010,
\end{quotation}
możemy też~zobaczyć czterdzieści dwa obiekty -- na~przykład ręczniki.
Jednak samej liczby zobaczyć nie~możemy, bo jest ona pojęciem abstrakcyjnym, które
istnieje niezależnie od~reprezentacji czy~interpretacji. Liczba czterdzieści dwa
jest liczbą naturalną. Tak samo jest z~liczbami wymiernymi i~rzeczywistymi ---
nie~możemy ich zobaczyć, dotknąć czy~powąchać; jednakże możemy na~nich działać.

Powyższe wprowadzenie ma Cię przekonać, że~liczby zespolone, o~których zaraz
będzie mowa, nie~są straszniejsze, dziwaczniejsze czy~bardziej abstrakcyjne
niż~liczby naturalne, całkowite, wymierne czy~rzeczywiste.
Dla~matematyka liczby są pewnymi obiektami, które mają pewną (mniej lub~bardziej elegancką)
strukturę matematyczną, między którymi istnieją relacje i~na~których można wykonywać pewne działania.
Dla~fizyka czy~inżyniera natomiast liczby służą do~opisu rzeczywistości:
naturalne -- do~zliczania obiektów, wymierne -- do~opisu stosunków między licznościami,
rzeczywiste -- do~mierzenia czasu, odległości, siły, a~zespolone -- do~opisywania prądu zmiennego,
fal lub~mechaniki kwantowej. Liczby zespolone stosowane są często tam, gdzie~mamy do~czynienia
z~obrotami lub~cyklicznie zmieniającymi~się wartościami.

Przejdźmy zatem do~rzeczy: zdefiniujmy liczby zespolone i~działania, jakie można
na~nich wykonywać.
Na~początek wprowadźmy jednostkę urojoną: ,,$\i$'', czyli~taką liczbę, dla której $\i^2=-1$.
Teraz możemy powiedzieć, że~\newterm{liczbą zespoloną}\index{liczba zespolona}
możemy nazwać dowolną liczbę $z$ taką, że
$$
z = a + b \i,
\mode*
\lecture{Podstawy matematyczne}{ch:podstawy}
\section{Podstawy matematyczne}
\subsection{Liczby zespolone}
\mode<article>{
Zdefiniujmy liczby zespolone i~działania, jakie można na~nich wykonywać.
Na~początek wprowadźmy jednostkę urojoną: ,,$\i$'', czyli~taką liczbę, dla
której $\i^2=-1$. Teraz możemy powiedzieć, że~\newterm{liczbą
zespoloną}\index{liczba zespolona} możemy nazwać dowolną liczbę $z$ taką, że
}
$$
z = a + b \i,
$$
gdzie $a$ i~$b$ są liczbami rzeczywistymi. Samą liczbę $a$ nazywamy
\newterm{częścią
rzeczywistą}\index{liczba zespolona!część rzeczywista} $z$ i~oznaczamy ją przez~$\Re z$,
a~$b$ nazywamy \newterm{częścią urojoną} \index{liczba zespolona!część urojona}
liczby $z$ i~oznaczamy przez~$\Im z$.
Zbiór liczb zespolonych oznacza~się przez~$\Complex$. Oznaczamy, że~$z$ należy do~zbioru~$\Complex$
-- albo~inaczej: że~jest liczbą zespoloną -- pisząc $z\in\Complex$.
\newterm{częścią rzeczywistą}\index{liczba zespolona!część rzeczywista} $z$
i~oznaczamy ją przez~$\Re z$, a~$b$ nazywamy \newterm{częścią urojoną}
\index{liczba zespolona!część urojona} liczby $z$ i~oznaczamy przez~$\Im z$.
Zbiór liczb zespolonych oznacza~się przez~$\Complex$. Oznaczamy, że~$z$ należy
do~zbioru~$\Complex$ -- albo~inaczej: że~jest liczbą zespoloną -- pisząc
$z\in\Complex$.

\frame{\frametitle{Lizba zespolona}
$$
z = a + b \i,
$$
}


Liczby zespolone przedstawia~się na~tzw.~płaszczyźnie zespolonej, na~której
na~osi poziomej odkłada~się wartość części rzeczywistej, a~na~osi pionowej -- wartość części urojonej.
na~osi poziomej odkłada~się wartość części rzeczywistej, a~na~osi pionowej --
wartość części urojonej.

\subsubsection{Moduł i~argument liczby zespolonej}
W~przypadku liczby zespolonej możemy mówić o~dwóch jej własnościach: module i~argumencie.
Expand Down Expand Up @@ -91,7 +74,7 @@ \subsubsection{Postać trygonometryczna liczby zespolonej}

\begin{figure}[h]
\centering
\resizebox{2in}{!}{
\resizebox{2in}{!}{%
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}[thick,font=\normalsize]
\draw
Expand Down Expand Up @@ -132,91 +115,92 @@ \subsubsection{Operacje arytmetyczne na~liczbach zespolonych}
Dodawanie i~odejmowanie liczb zespolonych przeprowadza~się w~sposób naturalny, tzn.
jeśli~dodajemy dwie liczby zespolone $z_1 = a_1 + b_1 \i$ oraz~$z_2 = a_2 + b_2 \i$, to
ich suma wynosi
$
z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) \i,
$
$z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) \i,$
a~ich różnica
$
z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2) \i.
$
$z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2) \i.$
Geometryczna interpretacja dodawania
liczb zespolonych jest podana na~Rysunku~\ref{rys:dodawaniezespolonych}.

\begin{figure}[b]
\begin{figure}
\centering
[Dodawanie liczb zespolonych $z_1 = 2 + 1\i$ oraz $z_2 = 1 + \frac{3}{2}\i$.\label{rys:dodawaniezespolonych}]%
{
\resizebox{0.46\textwidth}{!}{
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}[thick,font=\normalsize]

\draw [->] (-1.1,0) -- (5,0) node [below] {$\Re$};
\draw [->] (0,-1.1) -- (0,5) node [below right] {$\Im$};


\draw [->] (0,0) -- (2,1) node [right] {$z_1$};
\draw [->] (0,0) -- (1,1.5) node [above] {$z_2$};

\draw [dashed] (2,1) -- (3,2.5) ;
\draw [->] (0,0) -- (3,2.5) node [above] {$z_1+z_2$};

\foreach \n in {-1,...,-1,1,2,...,4}{%
\draw (\n,-3pt) -- (\n,3pt) node [below=5pt] {$\n$};
\draw (-3pt,\n) -- (3pt,\n) node [left=1ex] {$\n \i$};
}
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\begin{subfigure}{0.46\textwidth}
{
\resizebox{\textwidth}{!}{
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}[thick,font=\normalsize]

\draw [->] (-1.1,0) -- (5,0) node [below] {$\Re$};
\draw [->] (0,-1.1) -- (0,5) node [below right] {$\Im$};


\draw [->] (0,0) -- (2,1) node [right] {$z_1$};
\draw [->] (0,0) -- (1,1.5) node [above] {$z_2$};

\draw [dashed] (2,1) -- (3,2.5) ;
\draw [->] (0,0) -- (3,2.5) node [above] {$z_1+z_2$};

\foreach \n in {-1,...,-1,1,2,...,4}{%
\draw (\n,-3pt) -- (\n,3pt) node [below=5pt] {$\n$};
\draw (-3pt,\n) -- (3pt,\n) node [left=1ex] {$\n \i$};
}
\end{scope}
\end{tikzpicture}
}
}
}\hfill
[Mnożenie liczb zespolonych $z_1 = 3 + \frac{1}{2}\i$ oraz~$z_2 = 1 + 1\i$. Aby~uzyskać ich iloczyn, musimy pomnożyć amplitudy i~dodać fazy.\label{rys:mnożeniezespolonych}]%
{
\resizebox{0.46\textwidth}{!}{
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}[thick,font=\normalsize]

\draw
(3,0) coordinate (a)
-- (0,0) coordinate (o)
-- (0,0.5) coordinate (b)
[->] (0,0) -- (3 ,0.5) coordinate (z) node[right] {$z_1$} node [above, pos=0.65] {$\abs{z_1}$}
pic["$\phi_1$", draw=black, ->, angle eccentricity=1.2, angle radius=2cm]
{angle=a--o--z};

\draw
(1,0) coordinate (a)
-- (0,0) coordinate (o)
-- (0,1) coordinate (b)
[->] (0,0) -- (1,1) coordinate (z) node[above right] {$z_2$} node [above=0.15, midway] {$\abs{z_2}$}
pic["$\phi_2$", draw=black, ->, angle eccentricity=1.3, angle radius=1cm]
{angle=a--o--z};

\draw
(0.5,0) coordinate (a)
-- (0,0) coordinate (o)
-- (0,3) coordinate (b)
[->] (0,0) -- (-0.5,3) coordinate (z) node[above left] {$z_1 z_2$} node [left, midway] {$\abs{z_1}\abs{z_2}$}
pic["$\phi_1 + \phi_2$", draw=black, ->, angle eccentricity=1.2, angle radius=2.7cm]
{angle=a--o--z};

\draw [->] (-1.1,0) -- (5,0) node [below] {$\Re$};
\draw [->] (0,-1.1) -- (0,5) node [below right] {$\Im$};

\foreach \n in {-1,...,-1,1,2,...,4}{
\draw (\n,-3pt) -- (\n,3pt) node [below=5pt] {$\n$};
}
\foreach \n in {-1,...,-1,1,2,...,3}{
\draw (-3pt,\n) -- (3pt,\n) ;
}
\foreach \n in {4}{
\draw (-3pt,\n) -- (3pt,\n) node [left=1ex] {$\n \i$};
}

\end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{Dodawanie liczb zespolonych $z_1 = 2 + 1\i$ oraz $z_2 = 1 + \frac{3}{2}\i$.}\label{rys:dodawaniezespolonych}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{0.46\textwidth}
{
\resizebox{\textwidth}{!}{
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}[thick,font=\normalsize]

\draw
(3,0) coordinate (a)
-- (0,0) coordinate (o)
-- (0,0.5) coordinate (b)
[->] (0,0) -- (3 ,0.5) coordinate (z) node[right] {$z_1$} node [above, pos=0.65] {$\abs{z_1}$}
pic["$\phi_1$", draw=black, ->, angle eccentricity=1.2, angle radius=2cm]
{angle=a--o--z};

\draw
(1,0) coordinate (a)
-- (0,0) coordinate (o)
-- (0,1) coordinate (b)
[->] (0,0) -- (1,1) coordinate (z) node[above right] {$z_2$} node [above=0.15, midway] {$\abs{z_2}$}
pic["$\phi_2$", draw=black, ->, angle eccentricity=1.3, angle radius=1cm]
{angle=a--o--z};

\draw
(0.5,0) coordinate (a)
-- (0,0) coordinate (o)
-- (0,3) coordinate (b)
[->] (0,0) -- (-0.5,3) coordinate (z) node[above left] {$z_1 z_2$} node [left, midway] {$\abs{z_1}\abs{z_2}$}
pic["$\phi_1 + \phi_2$", draw=black, ->, angle eccentricity=1.2, angle radius=2.7cm]
{angle=a--o--z};

\draw [->] (-1.1,0) -- (5,0) node [below] {$\Re$};
\draw [->] (0,-1.1) -- (0,5) node [below right] {$\Im$};

\foreach \n in {-1,...,-1,1,2,...,4}{
\draw (\n,-3pt) -- (\n,3pt) node [below=5pt] {$\n$};
}
\foreach \n in {-1,...,-1,1,2,...,3}{
\draw (-3pt,\n) -- (3pt,\n) ;
}
\foreach \n in {4}{
\draw (-3pt,\n) -- (3pt,\n) node [left=1ex] {$\n \i$};
}

\end{scope}
\end{tikzpicture}
}
}
}
\caption{Mnożenie liczb zespolonych $z_1 = 3 + \frac{1}{2}\i$ oraz~$z_2 = 1 + 1\i$. Aby~uzyskać ich iloczyn, musimy pomnożyć amplitudy i~dodać fazy.}
\label{rys:mnożeniezespolonych}
\end{subfigure}
\caption{Graficzna reprezentacja dodawania i~mnożenia liczb zespolonych}
\label{rys:dodawanieimnożeniezespolonych}
\end{figure}
Expand Down
Loading

0 comments on commit ba5d958

Please sign in to comment.