add q7

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+\section*{Questão 7}
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+**Enunciado:** O interferômetro de Mach-Zehnder é um dispositivo óptico que, através do uso de espelhos semirrefletores, divide um feixe de luz em duas partes, uma refletida e uma transmitida, de igual intensidade. Essas duas partes percorrem dois caminhos distintos, C1 e C2, e depois são recombinadas, permitindo observar padrões de interferência. O interferômetro possui como componentes dois detectores, D1 e D2, dois espelhos semirrefletores, S1 e S2, e dois espelhos de reflexão total E, conforme ilustra a figura. A cada reflexão, ocorre um avanço de \(1/4\) de comprimento de onda, \(\lambda/4\). Por outro lado, a onda transmitida não sofre defasagem. Sabendo que o feixe incidente é uma onda senoidal de intensidade \(I_0\), faça o que se pede nos itens a seguir.
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+a) Determine a intensidade medida por cada um dos detectores. Justifique.
+
+b) Considere agora que um material \(M\), que causa um deslocamento de fase de \(\phi\) na onda transmitida, seja inserido no caminho entre E e S2. Esboce os gráficos de intensidade versus deslocamento de fase \(\phi\), correspondentes à detecção de fótons em \(D1\) e \(D2\), para \(\phi = [0, 2\pi]\).
+
+c) Se o feixe incidente fosse composto por apenas um fóton, discuta se ele iria percorrer um caminho específico até um dos detectores.
+
+**Descrição da Imagem:**
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+A imagem mostra um diagrama do interferômetro de Mach-Zehnder. No centro, há um quadrado rotulado como \(M\), onde se insere o material que causa um deslocamento de fase. O feixe de luz incidente entra pelo canto inferior esquerdo, passa pelo primeiro espelho semirrefletor \(S1\), onde se divide em duas partes. Uma parte reflete para o caminho \(C1\) e a outra é transmitida para o caminho \(C2\). Ambos os caminhos se encontram novamente em espelhos de reflexão total \(E\) e se dirigem para o segundo espelho semirrefletor \(S2\). Após \(S2\), as ondas se propagam até os detectores \(D1\) e \(D2\).
+
+\section*{Solução}
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+\textbf{a) Determinação das intensidades em \(D1\) e \(D2\):}
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+Vamos analisar os caminhos percorridos pelas ondas e calcular as amplitudes resultantes nos detectores \(D1\) e \(D2\), considerando a fase acumulada em cada percurso devido às reflexões e transmissões.
+
+Considere que a amplitude da onda incidente seja \(A_0\), de modo que a intensidade seja \(I_0 \propto |A_0|^2\).
+
+No espelho semirrefletor \(S1\):
+
+- A onda refletida tem amplitude \(\displaystyle A_{R1} = A_0 \cdot r\), onde \(r = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \, e^{i\phi_r}\).
+- A onda transmitida tem amplitude \(\displaystyle A_{T1} = A_0 \cdot t\), onde \(t = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \, e^{i\phi_t}\).
+
+Sabendo que cada reflexão causa um avanço de fase de \(\dfrac{\lambda}{4}\) (\(\dfrac{\pi}{2}\) radianos), e que nas transmissões não há mudança de fase (\(\phi_t = 0\)), temos que:
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+- \(\phi_r = \dfrac{\pi}{2}\) (avançado em \(\dfrac{\pi}{2}\) devido à reflexão em \(S1\)).
+
+Percurso \(C1\) (Reflexão em \(S1\) e em \(E\)):
+
+- A onda sofre duas reflexões: em \(S1\) e em \(E\), acumulando uma fase total de \(\phi_{C1} = \phi_r + \phi_E = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{2} = \pi\).
+- Amplitude que chega em \(S2\) pelo caminho \(C1\): \(\displaystyle A_{C1} = A_0 \cdot r \cdot r_E = A_0 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}} \, e^{i\frac{\pi}{2}} \cdot e^{i\frac{\pi}{2}} = -\dfrac{A_0}{\sqrt{2}}\).
+
+Percurso \(C2\) (Transmissão em \(S1\) e reflexão em \(E\)):
+
+- A onda sofre uma reflexão: em \(E\), acumulando uma fase total de \(\phi_{C2} = 0 + \phi_E = 0 + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2}\).
+- Amplitude que chega em \(S2\) pelo caminho \(C2\): \(\displaystyle A_{C2} = A_0 \cdot t \cdot r_E = A_0 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot e^{i\frac{\pi}{2}} = \dfrac{A_0}{\sqrt{2}} \, e^{i\frac{\pi}{2}}\).
+
+No espelho semirrefletor \(S2\), as ondas se combinam e são divididas novamente entre os detectores \(D1\) e \(D2\):
+
+- Coeficientes de transmissão e reflexão em \(S2\): \(t'\) e \(r'\), com magnitudes \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) e fases \(\phi_{t'} = 0\) e \(\phi_{r'} = \dfrac{\pi}{2}\).
+
+Amplitude em \(D1\):
+
+
+\begin{align*}
+A_{D1} &= (A_{C1} \cdot t') + (A_{C2} \cdot r') \\
+&= \left( -\dfrac{A_0}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) + \left( \dfrac{A_0}{\sqrt{2}} \, e^{i\frac{\pi}{2}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}} \, e^{i\frac{\pi}{2}} \right) \\
+&= -\dfrac{A_0}{2} + \dfrac{A_0}{2} \, e^{i\pi} \\
+&= -\dfrac{A_0}{2} - \dfrac{A_0}{2} = -A_0
+\end{align*}
+
+
+Portanto, a intensidade em \(D1\) é:
+
+\[
+I_{D1} \propto |A_{D1}|^2 = | -A_0 |^2 = A_0^2
+\]
+
+Amplitude em \(D2\):
+
+
+\begin{align*}
+A_{D2} &= (A_{C1} \cdot r') + (A_{C2} \cdot t') \\
+&= \left( -\dfrac{A_0}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}} \, e^{i\frac{\pi}{2}} \right) + \left( \dfrac{A_0}{\sqrt{2}} \, e^{i\frac{\pi}{2}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) \\
+&= -\dfrac{A_0}{2} \, e^{i\frac{\pi}{2}} + \dfrac{A_0}{2} \, e^{i\frac{\pi}{2}} = 0
+\end{align*}
+
+
+Logo, a intensidade em \(D2\) é:
+
+\[
+I_{D2} \propto |A_{D2}|^2 = 0
+\]
+
+\textbf{Resposta do item a):}
+
+\textbf{ANSWER:} A intensidade medida em \(D1\) é \(I_{D1} = I_0\), e em \(D2\) é \(I_{D2} = 0\).
+
+---
+
+\textbf{b) Gráficos de intensidade versus deslocamento de fase \(\phi\):}
+
+Com a inserção do material \(M\), que introduz um deslocamento de fase \(\phi\) no caminho \(C2\), precisamos recalcular as amplitudes nos detectores considerando esse adicional.
+
+Nova amplitude que chega em \(S2\) pelo caminho \(C2\):
+
+\[
+A_{C2} = A_0 \cdot t \cdot r_E \cdot e^{i\phi} = \dfrac{A_0}{\sqrt{2}} \, e^{i\left( \frac{\pi}{2} + \phi \right)}
+\]
+
+Amplitude em \(D1\):
+
+
+\begin{align*}
+A_{D1} &= (A_{C1} \cdot t') + (A_{C2} \cdot r') \\
+&= \left( -\dfrac{A_0}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) + \left( \dfrac{A_0}{\sqrt{2}} \, e^{i\left( \frac{\pi}{2} + \phi \right)} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}} \, e^{i\frac{\pi}{2}} \right) \\
+&= -\dfrac{A_0}{2} + \dfrac{A_0}{2} \, e^{i\left( \pi + \phi \right)} \\
+&= -\dfrac{A_0}{2} - \dfrac{A_0}{2} \, e^{i\phi}
+\end{align*}
+
+
+Intensidade em \(D1\):
+
+
+\begin{align*}
+I_{D1} &\propto |A_{D1}|^2 = \left| -\dfrac{A_0}{2} - \dfrac{A_0}{2} \, e^{i\phi} \right|^2 \\
+&= \left( \dfrac{A_0}{2} \right)^2 \left| 1 + e^{i\phi} \right|^2 \\
+&= \left( \dfrac{A_0}{2} \right)^2 \left[ (1 + \cos\phi) + i \sin\phi \right]^2 \\
+&= \left( \dfrac{A_0}{2} \right)^2 \left( 2 + 2\cos\phi \right) \\
+&= A_0^2 \cos^2\left( \dfrac{\phi}{2} \right)
+\end{align*}
+
+
+Amplitude em \(D2\):
+
+
+\begin{align*}
+A_{D2} &= (A_{C1} \cdot r') + (A_{C2} \cdot t') \\
+&= \left( -\dfrac{A_0}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}} \, e^{i\frac{\pi}{2}} \right) + \left( \dfrac{A_0}{\sqrt{2}} \, e^{i\left( \frac{\pi}{2} + \phi \right)} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) \\
+&= -\dfrac{A_0}{2} \, e^{i\frac{\pi}{2}} + \dfrac{A_0}{2} \, e^{i\left( \frac{\pi}{2} + \phi \right)} \\
+&= \dfrac{A_0}{2} \, e^{i\frac{\pi}{2}} \left( e^{i\phi} - 1 \right)
+\end{align*}
+
+
+Intensidade em \(D2\):
+
+
+\begin{align*}
+I_{D2} &\propto |A_{D2}|^2 = \left| \dfrac{A_0}{2} \, e^{i\frac{\pi}{2}} \left( e^{i\phi} - 1 \right) \right|^2 \\
+&= \left( \dfrac{A_0}{2} \right)^2 \left| e^{i\phi} - 1 \right|^2 \\
+&= \left( \dfrac{A_0}{2} \right)^2 \left[ 2 - 2\cos\phi \right] \\
+&= A_0^2 \sin^2\left( \dfrac{\phi}{2} \right)
+\end{align*}
+
+
+Os gráficos de \(I_{D1}\) e \(I_{D2}\) em função de \(\phi\) para o intervalo \([0, 2\pi]\) são funções cossenoidal e senoide ao quadrado, respectivamente, que variam entre \(0\) e \(I_0\).
+
+\textbf{Resposta do item b):}
+
+\textbf{ANSWER:} Os gráficos de intensidade em função de \(\phi\) são:
+
+- \(I_{D1} = I_0 \cos^2\left( \dfrac{\phi}{2} \right)\)
+- \(I_{D2} = I_0 \sin^2\left( \dfrac{\phi}{2} \right)\)
+
+
+---
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+\textbf{c) Comportamento de um único fóton no interferômetro:}
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+Quando o feixe incidente é composto por apenas um fóton, a natureza quântica da luz se torna relevante. O fóton não percorre um caminho específico (nem \(C1\) nem \(C2\)), mas sim uma superposição de ambos os caminhos.
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+No interferômetro de Mach-Zehnder, a função de onda do fóton se divide nos dois caminhos, e os efeitos de interferência ocorrem devido à sobreposição das amplitudes associadas a cada caminho. A probabilidade de detecção em \(D1\) ou \(D2\) é determinada pelas amplitudes de probabilidade calculadas nos itens anteriores.
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+Portanto, o fóton não segue um caminho específico até um dos detectores. Em vez disso, existe uma probabilidade determinada pelas interferências quânticas de ele ser detectado em \(D1\) ou \(D2\).
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+\textbf{Resposta do item c):}
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+\textbf{ANSWER:} Não; o fóton não percorre um caminho específico até um dos detectores, mas sim existe em superposição de estados, e a probabilidade de detecção em \(D1\) ou \(D2\) é determinada pela interferência quântica entre os caminhos.