Add ITA 2025 Physics Essay Exam Solutions

README.md

@@ -7,7 +7,7 @@ We'll use `o1-preview`, which is the best OpenAI model so far with reasoning cap
 
 The project begins with the ITA (Instituto Tecnológico de Aeronáutica) 2025 exam, focusing first on the Math essay section. This section, from the recent exam on November 5, 2024, demands deep subject understanding and step-by-step solutions. More details are in the [report](exams/ita_2025/report.md) documentation. 
 
-**Spoiler: o1-preview scored 90% in the ITA 2025 Math Essay Exam.**
+**Spoiler: o1-preview scored 90% in the ITA 2025 Math Essay Exam, 95% in Chemistry Essay and only 65% in Physics Essay.**
 
 After the first ITA 2025 exam is fully solved, the project will try to expand to other sections and eventually other exams. Feel free to contribute with ideas and implementations of other exams! 
 

exams/ita_2025/physics/essays/solutions/q10_solution.txt

@@ -0,0 +1,115 @@
+\section*{Questão 10}
+
+Em uma câmara de alto vácuo, um feixe monoenergético de elétrons é misturado a um feixe colimado e monoenergético de íons totalmente ionizados, conforme mostra a figura. As velocidades dos elétrons e dos íons são iguais. A abertura de um detector de fótons é apontada perpendicularmente à direção dos feixes misturados. Foram feitos três experimentos a baixas energias: o primeiro com um feixe de prótons, o segundo com um feixe de hélio totalmente ionizado e o terceiro com um feixe de oxigênio totalmente ionizado. Em um quarto experimento, usando um feixe de prótons relativísticos, o detector de fótons é apontado paralelamente à direção dos feixes misturados.
+
+Considerando essa situação experimental, determine 
+
+**a)** as energias máximas dos fótons em eV detectadas no primeiro, segundo e terceiro experimentos;
+
+**b)** um valor aproximado para o desvio percentual da máxima energia do fóton no quarto experimento com relação à máxima energia do fóton do primeiro experimento, considerando que a energia cinética dos íons, no referencial do laboratório, era de \(234,5 \, \text{MeV}\) no quarto experimento.
+
+**Descrição da imagem:**
+
+A imagem mostra um esquema de um feixe de íons e um feixe de elétrons entrando em um dispositivo com um imã de flexão. Após a interação, os feixes são direcionados a um detector de fótons. O feixe de íons é indicado como uma linha inclinada, enquanto o feixe de elétrons é uma linha horizontal. O imã de flexão está posicionado no ponto onde os dois feixes interagem. O detector de fótons é colocado de forma perpendicular à direção dos feixes misturados.
+
+\section*{Solução}
+
+\textbf{a) Determinação das energias máximas dos fótons nos três primeiros experimentos}
+
+Nos experimentos, um feixe de elétrons é misturado a um feixe de íons totalmente ionizados, ambos com a \textbf{mesma velocidade}, e o detector capta fótons emitidos perpendicularmente à direção dos feixes. A emissão de fótons ocorre quando um elétron é capturado por um íon totalmente ionizado, formando um íon hidrogenoide. A energia do fóton emitido corresponde à diferença de energia entre os níveis inicial (livre) e final (estado fundamental do íon hidrogenoide).
+
+A energia de ionização (ou energia necessária para remover o elétron do estado fundamental) de um íon hidrogenoide é dada por:
+
+\[
+E_n = -Z^2 \cdot 13{,}6\,\text{eV}
+\]
+
+onde \(Z\) é o número atômico (carga nuclear) do íon.
+
+Assim, a energia máxima do fóton emitido corresponde à energia de ligação do elétron no estado fundamental do íon hidrogenoide formado.
+
+\textbf{Primeiro experimento (prótons, \(Z=1\))}:
+
+\[
+E_{\text{máx}}^{(1)} = -(-Z^2 \cdot 13{,}6\,\text{eV}) = Z^2 \cdot 13{,}6\,\text{eV} = (1)^2 \cdot 13{,}6\,\text{eV} = 13{,}6\,\text{eV}
+\]
+
+\textbf{Segundo experimento (hélio totalmente ionizado, \(Z=2\))}:
+
+\[
+E_{\text{máx}}^{(2)} = Z^2 \cdot 13{,}6\,\text{eV} = (2)^2 \cdot 13{,}6\,\text{eV} = 4 \cdot 13{,}6\,\text{eV} = 54{,}4\,\text{eV}
+\]
+
+\textbf{Terceiro experimento (oxigênio totalmente ionizado, \(Z=8\))}:
+
+\[
+E_{\text{máx}}^{(3)} = Z^2 \cdot 13{,}6\,\text{eV} = (8)^2 \cdot 13{,}6\,\text{eV} = 64 \cdot 13{,}6\,\text{eV} = 870{,}4\,\text{eV}
+\]
+
+\textbf{Resposta da letra a):}
+
+\textbf{ANSWER:}
+
+\begin{itemize}
+    \item No primeiro experimento, \(E_{\text{máx}} = 13{,}6\,\text{eV}\).
+    \item No segundo experimento, \(E_{\text{máx}} = 54{,}4\,\text{eV}\).
+    \item No terceiro experimento, \(E_{\text{máx}} = 870{,}4\,\text{eV}\).
+\end{itemize}
+
+\textbf{b) Cálculo do desvio percentual da energia máxima do fóton no quarto experimento}
+
+No quarto experimento, utilizamos prótons relativísticos com energia cinética \(K = 234{,}5\,\text{MeV}\), e o detector de fótons está apontado \textbf{paralelamente} à direção dos feixes. Devido ao movimento relativístico dos íons, devemos considerar o efeito Doppler relativístico no aumento da energia dos fótons emitidos na direção do movimento.
+
+Primeiro, calculamos o fator de Lorentz (\(\gamma\)) e a velocidade (\(\beta = v/c\)) dos prótons:
+
+\[
+\gamma = \frac{E_{\text{total}}}{E_0} = \frac{E_0 + K}{E_0} = \frac{E_0 + K}{E_0} = 1 + \frac{K}{E_0}
+\]
+
+Onde \(E_0\) é a energia de repouso do próton (\(E_0 = 938{,}3\,\text{MeV}\)).
+
+Calculando \(\gamma\):
+
+\[
+\gamma = 1 + \frac{234{,}5\,\text{MeV}}{938{,}3\,\text{MeV}} = 1 + 0{,}25 = 1{,}25
+\]
+
+Calculando \(\beta\):
+
+\[
+\beta = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{(1{,}25)^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{1{,}5625}} = \sqrt{1 - 0{,}64} = \sqrt{0{,}36} = 0{,}6
+\]
+
+O efeito Doppler relativístico para a energia dos fótons emitidos na direção do movimento é dado por:
+
+\[
+E' = E \cdot \gamma (1 + \beta)
+\]
+
+Onde \(E\) é a energia do fóton no referencial do próton (13{,}6\,eV).
+
+Calculando \(E'\):
+
+\[
+E' = 13{,}6\,\text{eV} \times 1{,}25 \times (1 + 0{,}6) = 13{,}6\,\text{eV} \times 1{,}25 \times 1{,}6 = 13{,}6\,\text{eV} \times 2 = 27{,}2\,\text{eV}
+\]
+
+O desvio percentual em relação à energia máxima do primeiro experimento é:
+
+\[
+\text{Desvio percentual} = \left( \frac{E' - E_{\text{inicial}}}{E_{\text{inicial}}} \right) \times 100\%
+\]
+
+Onde \(E_{\text{inicial}} = 13{,}6\,\text{eV}\).
+
+Calculando o desvio percentual:
+
+\[
+\text{Desvio percentual} = \left( \frac{27{,}2\,\text{eV} - 13{,}6\,\text{eV}}{13{,}6\,\text{eV}} \right) \times 100\% = \left( \frac{13{,}6\,\text{eV}}{13{,}6\,\text{eV}} \right) \times 100\% = 100\%
+\]
+
+\textbf{Resposta da letra b):}
+
+\textbf{ANSWER:}
+
+O desvio percentual da máxima energia do fóton no quarto experimento em relação ao primeiro experimento é de \(100\%\).

exams/ita_2025/physics/essays/solutions/q1_solution.txt

@@ -0,0 +1,113 @@
+\section*{Questão 1}
+
+**Enunciado:**
+
+O *quantum* de fluxo magnético \(\Phi_0\) pode ser definido como metade do fluxo magnético obtido a partir da combinação da constante de Planck \(h\), da velocidade da luz \(c\) e da carga fundamental \(e\). Considere um elétron se movendo em uma órbita circular de raio \(R\), sob a ação de um campo magnético de modo que o fluxo magnético dentro de sua órbita é igual a \(\Phi_0\). Faça o que se pede nos itens a seguir.
+
+**a)** Obtenha a expressão para \(\Phi_0\).
+
+**b)** Sabendo que a velocidade do elétron é dada por \(\beta c\) \((\beta \ll 1)\), calcule o raio \(R\), em termos de \(h\), \(c\), \(\beta\) e \(m_e\), a massa do elétron.
+
+**Descrição da imagem completa:**
+
+A imagem contém um cabeçalho com o título *FÍSICA* e apresenta constantes físicas com seus respectivos valores numéricos:
+
+- Aceleração local da gravidade \(g = 10 \, \text{m/s}^2\).
+- Velocidade da luz no vácuo \(c = 3,0 \times 10^8 \, \text{m/s}\).
+- Constante de gravitação universal \(G = 6,7 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2\).
+- Massa da Terra \(M_{\text{Terra}} = 6,0 \times 10^{24} \, \text{kg}\).
+- Raio da Terra \(R_{\text{Terra}} = 6,4 \times 10^6 \, \text{m}\).
+- Permissividade elétrica no vácuo \(\varepsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12} \, \text{C}^2 \cdot \text{N}^{-1} \cdot \text{m}^{-2}\).
+- Energia de ionização do átomo de hidrogênio \(I_H = 13,6 \, \text{eV}\).
+- Massa do próton \(m_p = 1,6 \times 10^{-27} \, \text{kg} = 938 \, \text{MeV}/c^2\).
+- Carga elementar \(e = 1,6 \times 10^{-19} \, \text{C}\).
+
+Segue-se o enunciado da questão e suas duas subquestões.
+
+\section*{Solução}
+
+\textbf{a) Obtenha a expressão para \(\Phi_0\).}
+
+O *quantum* de fluxo magnético \(\Phi_0\) é definido como metade do fluxo magnético obtido a partir da combinação das constantes \(h\), \(c\) e \(e\). Para encontrar a expressão de \(\Phi_0\), precisamos combinar essas constantes de forma a obter unidades de fluxo magnético \([\Phi] = \text{T} \cdot \text{m}^2 = \text{Wb}\).
+
+As unidades das constantes são:
+
+\begin{align*}
+[h] &= \text{J} \cdot \text{s} = \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1}, \\
+[c] &= \text{m} \cdot \text{s}^{-1}, \\
+[e] &= \text{C} = \text{A} \cdot \text{s}.
+\end{align*}
+
+Queremos encontrar uma combinação que resulte em unidades de fluxo magnético:
+
+\begin{align*}
+\Phi_0 &= \frac{1}{2} \times \frac{h}{e}.
+\end{align*}
+
+Portanto, a expressão para o *quantum* de fluxo magnético é:
+
+\begin{align*}
+\Phi_0 = \dfrac{h}{2e}.
+\end{align*}
+
+\textbf{b) Calcule o raio \(R\) em termos de \(h\), \(c\), \(\beta\) e \(m_e\).}
+
+O elétron se move em uma órbita circular de raio \(R\) sob a ação de um campo magnético \(B\), de forma que o fluxo magnético através da órbita é \(\Phi_0\):
+
+\begin{align*}
+\Phi_0 &= B \cdot \pi R^2.
+\end{align*}
+
+Logo, podemos expressar o campo magnético \(B\) em função de \(\Phi_0\) e \(R\):
+
+\begin{align*}
+B &= \dfrac{\Phi_0}{\pi R^2}.
+\end{align*}
+
+A força magnética fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular do elétron:
+
+\begin{align*}
+F_{\text{magnética}} &= F_{\text{centrípeta}}, \\
+e v B &= \dfrac{m_e v^2}{R}.
+\end{align*}
+
+Sabendo que a velocidade do elétron é \(v = \beta c\), substituímos na equação:
+
+\begin{align*}
+e (\beta c) B &= \dfrac{m_e (\beta c)^2}{R}, \\
+e \beta c B &= \dfrac{m_e \beta^2 c^2}{R}.
+\end{align*}
+
+Simplificando:
+
+\begin{align*}
+B &= \dfrac{m_e \beta c}{e R}.
+\end{align*}
+
+Substituindo a expressão de \(B\) encontrada anteriormente:
+
+\begin{align*}
+\dfrac{\Phi_0}{\pi R^2} &= \dfrac{m_e \beta c}{e R}.
+\end{align*}
+
+Multiplicando ambos os lados por \(\pi R^2\) e rearranjando:
+
+\begin{align*}
+\Phi_0 &= \dfrac{m_e \beta c}{e R} \cdot \pi R^2, \\
+\Phi_0 &= \dfrac{m_e \beta c \pi R}{e}.
+\end{align*}
+
+Isolando \(R\):
+
+\begin{align*}
+R &= \dfrac{e \Phi_0}{\pi m_e \beta c}.
+\end{align*}
+
+Substituindo \(\Phi_0 = \dfrac{h}{2e}\):
+
+\begin{align*}
+R &= \dfrac{e \left( \dfrac{h}{2e} \right)}{\pi m_e \beta c}, \\
+R &= \dfrac{h}{2 \pi m_e \beta c}.
+\end{align*}
+
+\textbf{ANSWER:} \(R = \dfrac{h}{2\pi m_e \beta c}\).

exams/ita_2025/physics/essays/solutions/q2_solution.txt

@@ -0,0 +1,149 @@
+\section*{Questão 2}
+
+Considere uma barra homogênea de comprimento \( L \) e massa \( M \), suspensa horizontalmente por uma corda vertical que tem um nó fixo no teto e outro numa das extremidades da barra (\( x = 0 \)). Uma massa \( m \) está pendurada na outra extremidade (\( x = L \)), e uma distribuição de forças é aplicada ao longo da barra, de forma que o sistema se encontra em equilíbrio estático. Essa distribuição pode ser descrita por \( N \) forças, que obedecem à relação de recorrência \(\vec{F}_n = \frac{\vec{F}_{n-1}}{2}\) (\( n = 0, 1, \ldots, N-1 \)), aplicadas nos pontos \( x_n = 2^{-n}L \). Calcule, em termos de \( M, m, g, L \) e \( N \):
+
+\begin{itemize}
+    \item **a)** a força \( F_0 \);
+    \item **b)** a força de tração da corda.
+\end{itemize}
+
+\section*{Solução}
+
+Para resolver o problema, vamos aplicar as condições de equilíbrio estático à barra. 
+
+**Equilíbrio de momentos:**
+
+Escolhemos o ponto \( x = 0 \) (onde a corda está presa) como eixo de rotação. A condição de equilíbrio de momentos é:
+
+\[
+\sum \tau = 0
+\]
+
+Os momentos atuantes são:
+
+1. Momento do peso da barra (\( M g \)) aplicado em seu centro de massa, em \( x = \dfrac{L}{2} \):
+\[
+\tau_{\text{barra}} = M g \cdot \dfrac{L}{2}
+\]
+
+2. Momento do peso da massa \( m \) pendurada em \( x = L \):
+\[
+\tau_{\text{massa}} = m g \cdot L
+\]
+
+3. Momentos das forças \( \vec{F}_n \) aplicadas em \( x_n = 2^{-n} L \):
+\[
+\tau_{\vec{F}} = -\sum_{n=0}^{N-1} F_n x_n
+\]
+(o sinal negativo indica que as forças \( \vec{F}_n \) produzem momento no sentido anti-horário, contrário aos pesos)
+
+Aplicando a condição de equilíbrio de momentos:
+\[
+M g \cdot \dfrac{L}{2} + m g \cdot L - \sum_{n=0}^{N-1} F_n x_n = 0
+\]
+
+**Cálculo da soma \( \sum_{n=0}^{N-1} F_n x_n \):**
+
+Sabemos que:
+\[
+F_n = \dfrac{F_{n-1}}{2} = F_0 \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n}
+\]
+\[
+x_n = 2^{-n} L = L \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n}
+\]
+
+Então:
+\[
+F_n x_n = F_0 \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n} \cdot L \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n} = F_0 L \left( \dfrac{1}{4} \right)^{n}
+\]
+
+A soma é uma série geométrica:
+\begin{align*}
+\sum_{n=0}^{N-1} F_n x_n &= F_0 L \sum_{n=0}^{N-1} \left( \dfrac{1}{4} \right)^{n} \\
+&= F_0 L \left[ \dfrac{1 - \left( \dfrac{1}{4} \right)^{N}}{1 - \dfrac{1}{4}} \right] \\
+&= F_0 L \left( \dfrac{1 - 4^{-N}}{\dfrac{3}{4}} \right) \\
+&= \dfrac{4}{3} F_0 L \left( 1 - 4^{-N} \right)
+\end{align*}
+
+Substituindo na equação de equilíbrio de momentos:
+\[
+M g \cdot \dfrac{L}{2} + m g \cdot L - \dfrac{4}{3} F_0 L \left( 1 - 4^{-N} \right) = 0
+\]
+
+Simplificando:
+\[
+\left( \dfrac{M g}{2} + m g \right) L = \dfrac{4}{3} F_0 L \left( 1 - 4^{-N} \right)
+\]
+
+Cancelando \( L \) dos dois lados:
+\[
+\dfrac{M g}{2} + m g = \dfrac{4}{3} F_0 \left( 1 - 4^{-N} \right)
+\]
+
+**Resposta para a letra a):**
+
+Isolando \( F_0 \):
+\begin{align*}
+F_0 &= \left( \dfrac{M g}{2} + m g \right) \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{1 - 4^{-N}} \\
+&= \left( \dfrac{3}{4} \left( \dfrac{M g}{2} + m g \right) \right) \cdot \dfrac{1}{1 - 4^{-N}}
+\end{align*}
+
+**ANSWER:**
+\[
+F_0 = \dfrac{3}{4} \left( \dfrac{M g}{2} + m g \right) \cdot \dfrac{1}{1 - 4^{-N}}
+\]
+
+---
+
+**Equilíbrio de forças verticais:**
+
+A condição de equilíbrio de forças na direção vertical é:
+\[
+T + \sum_{n=0}^{N-1} F_n = M g + m g
+\]
+onde \( T \) é a tensão na corda.
+
+Calculando \( \sum_{n=0}^{N-1} F_n \):
+\begin{align*}
+\sum_{n=0}^{N-1} F_n &= F_0 \sum_{n=0}^{N-1} \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n} \\
+&= F_0 \left[ \dfrac{1 - \left( \dfrac{1}{2} \right)^{N}}{1 - \dfrac{1}{2}} \right] \\
+&= F_0 \left( \dfrac{1 - 2^{-N}}{\dfrac{1}{2}} \right) \\
+&= 2 F_0 \left( 1 - 2^{-N} \right)
+\end{align*}
+
+Substituindo na equação de equilíbrio de forças:
+\[
+T + 2 F_0 \left( 1 - 2^{-N} \right) = M g + m g
+\]
+
+Isolando \( T \):
+
+\begin{align*}
+T &= M g + m g - 2 F_0 \left( 1 - 2^{-N} \right)
+\end{align*}
+
+Substituindo \( F_0 \) encontrado anteriormente:
+
+\begin{align*}
+T &= M g + m g - 2 \left[ \dfrac{3}{4} \left( \dfrac{M g}{2} + m g \right) \cdot \dfrac{1}{1 - 4^{-N}} \right] \left( 1 - 2^{-N} \right) \\
+&= M g + m g - \dfrac{3}{2} \left( \dfrac{M g}{2} + m g \right) \cdot \dfrac{1 - 2^{-N}}{1 - 4^{-N}}
+\end{align*}
+
+Para simplificar, reconhecemos que \( 4^{-N} = \left( 2^{-2} \right)^{N} = 2^{-2N} \), então \( 4^{-N} = \left( 2^{-N} \right)^{2} \). Porém, a simplificação pode variar dependendo do valor de \( N \).
+
+**Resposta para a letra b):**
+
+\[
+T = M g + m g - 2 F_0 \left( 1 - 2^{-N} \right)
+\]
+
+Substituindo o valor de \( F_0 \):
+
+\[
+T = M g + m g - \dfrac{3}{2} \left( \dfrac{M g}{2} + m g \right) \cdot \dfrac{1 - 2^{-N}}{1 - 4^{-N}}
+\]
+
+**ANSWER:**
+\[
+T = M g + m g - 2 F_0 \left( 1 - 2^{-N} \right)
+\]