magnetism

added a draft for magnetism chapter

astro-notebook.tex

@@ -38,6 +38,7 @@
 	\input{sys/optics.tex}
 	\input{sys/spherical-astronomy.tex}
 	\input{sys/objects.tex}
+	\input{sys/magnetism.tex}
 	\input{sys/maths.tex}
 	\input{sys/practical-astronomy.tex}
 	\input{sys/tables.tex}

sections/magnetism/connection.tex

@@ -0,0 +1,49 @@
+\subsection{Связь магнитных и электрических полей}
+
+Запишем закон Био-Савара-Лапласа для электрона:
+
+\setlength\intextsep{0.5cm}
+\setlength\columnsep{0.5cm}
+\begin{wrapfigure}[8]{r}{.3\textwidth}
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}
+    \def\r{1cm}
+    \coordinate (q) at (0,0);
+    \coordinate (v) at (\r,0);
+    \coordinate (r) at (1.5 * \r, 1.5 * \r);
+
+    \draw[thick, -latex] (q) -- node[pos=0, below] {$q$} node[pos=1, below] {$\Vec{v}$}(v);
+    \draw[thick, -latex] (q) -- node[pos=0.8, below] {$\Vec{r}$}(r);
+
+    \fill[] (q) circle (1.5pt);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+\end{wrapfigure}
+Для тока $I$ можно записать
+\begin{equation*}
+    I = \Vec{j} \cdot \Vec{dS} = q \cdot n \cdot v \cdot dS
+\end{equation*}
+Где $\Vec{j}$ -- плотность тока, $\Vec{dS}$ -- поперечное сечение проводника, $e, n, v$:  заряд, концентрация и скорость электронов. Тогда закон Био-Савара-Лапласа:
+\setlength{\abovedisplayskip}{3pt}\setlength{\belowdisplayskip}{1.5pt}\begin{equation*}
+    d\Vec{B} = \frac{\mu_0 e n v S [d \Vec{l} \times \Vec{r}]}{4 \pi r^3}, \quad
+    d\Vec{B} = \frac{\mu_0 e \overbracket[1pt][1pt]{n S dl}^{dN} [\Vec{v} \times \Vec{r}]}{4 \pi r^3}
+\end{equation*}
+Отсюда, если принять $dN = 1$, поле одного заряда:
+\begin{equation}
+    \boxed{\Vec{B} = \frac{\mu_0 e}{4 \pi} \cdot \frac{[\Vec{v} \times \Vec{r}]}{r^3}}
+    \label{eq:scmf}
+\end{equation}
+Вспомним формулу для величины напряженности электрического поля:
+\begin{equation*}
+    \Vec{E} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q \Vec{r}}{r^3}
+\end{equation*}
+Заметим, что если загнать скаляры в векторное произведение $\displaystyle\Vec{B} = \left[\Vec{v} \times \frac{\mu_0 q \Vec{r}}{4 \pi r^3}\right]$
+\begin{equation*}
+    \Vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 [\Vec{v} \times \Vec{E}] \Longrightarrow \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} = c^2 \Longrightarrow \boxed{\Vec{B} = \frac{[\Vec{v} \times \Vec{E}]}{c^2}}
+\end{equation*}
+\setlength{\abovedisplayskip}{12.0pt plus 3.0pt
+minus 7.0pt}
+\setlength{\belowdisplayskip}{12.0pt plus 3.0pt
+minus 7.0pt}
+
+Отсюда связь магнитного и электрического поля. 

sections/magnetism/induction.tex

@@ -0,0 +1,41 @@
+\subsection{Магнитное поле}
+
+Вектор магнитной индукции в данной точке вводится как \textit{векторное произведение} вектора направления электрического тока и радиус-вектора данной точки. 
+\begin{equation}
+	d \vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{I[d \vec{l}\times\vec{r}]}{r^3},
+	\label{eq:BSL-law}
+\end{equation}
+где константа $\mu_{0} = 4 \pi \cdot 10^{-7} \, \frac{\text{Тл} \, \text{м}}{\text{А}}$. Линии магнитного поля идут от северного полюса к южному. Магнит поворачивается во внешнем магнитном поле так, чтобы его собственное поле совпадало с внешним. Соответственно стрелка компаса поворачивается в соответствии с магнитным полем Земли. В общем-то говоря точная причина симметрии земного магнитного поля до сих пор неизвестна.
+
+Поток магнитного поля вводится как:
+\begin{equation}
+	d\Phi = \vec{B}d\vec{S}.
+\end{equation}
+В силу отсутствия в мире магнитных зарядов можно записать упрощенный вариант теоремы Гаусса:
+\begin{equation}
+    \Phi = \oiint_{S}{\Vec{B} \, d\Vec{S}} = 0
+\end{equation}
+Из курса электростатики известно, что электростатическое поле консервативно. То есть интергал поля по произвольному замкнутому контуру равен 0:
+\begin{equation*}
+    \oint{\Vec{E} \cdot d \Vec{l}} = 0
+\end{equation*}
+Для произвольной геометрической кривой с выбранным направлением обхода и произвольного контура тока справедлива теорема о циркуляции:
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}
+    \begin{scope}[very thick,decoration={
+    markings,
+    mark=between positions 0.05 and 1 step 2cm with {\arrow{latex}}}]
+    \draw[postaction={decorate}] plot [smooth cycle] coordinates {(0,0) (1,-1) (2, -1.3) (3, -2)(4, -2) (3,0.5) (1,1)};
+    \draw[postaction={decorate}] plot [smooth cycle] coordinates {(2.5,-0.5) (1.5,-2) (2, -2.8) (3, -3)(4, -3) (5,-0.5) (4,1)};
+    \end{scope}
+    \draw (7, -0.5) node[right, draw] {
+$\begin{aligned}
+    \oint_{\Omega}{\Vec{B} \cdot d \Vec{l}} = \mu_0 I
+\end{aligned}$};
+\draw (6.5, -2) node[right] {
+Теорема о циркуляции};
+    \node[] at (4.5, -3) {$\Omega$};
+    \node[] at (0.5, -1) {$I$};
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+Знак $I$ выбирается по знаку скалярного произведения $\Vec{n}$ и направления под которым ток пересекает плоскоть контура. Пользоваться теоремой следует аналогично теореме Гаусса, выбирая удобный для решения контур. 

sections/magnetism/lorenz-amp.tex

@@ -0,0 +1,21 @@
+\subsection{Сила Ампера и сила Лоренца}
+Связывающим компонентом между магнитными полями и токами является сила Ампера:
+\begin{equation}
+	d\vec{F}_A = I[d\vec{l}\times\vec{B}].
+\end{equation}
+Записав выражение силы Ампера для электрона можно получить так называемую силу Лоренца
+\begin{equation*}
+	\vec{F}_A = envS[d\vec{l}\times\vec{B}].
+\end{equation*}
+Однако учитывая единичность электрона $nSdl=1$ и что векторы $d\vec{l}$ и $\vec{v}$ сонаправлены, получим:
+\begin{equation}
+	\vec{F}_{\text{л}} = e[\vec{v}\times\vec{B}].
+\end{equation}
+Отсюда следует, что в однородном магнитном поле заряженные частицы будут двигаться по окружностям. Радиус кривизны такой траектории:
+\begin{equation}
+	\frac{m_e v^2}{R} = evB \, \Rightarrow \, R = \frac{m_e v}{eB}.
+\end{equation}
+Если же поделить радиус кривизны на скорость и умножить на $2\pi$ можно получить период облета по такой окружности. Обратная к данному периоду величина называется циклотронной частотой.
+\begin{equation}
+	f = \frac{eB}{2\pi m_e}.
+\end{equation}

sys/magnetism.tex

@@ -0,0 +1,5 @@
+\newpage
+\section{Магнетизм}
+\input{sections/magnetism/induction.tex}
+\input{sections/magnetism/connection.tex}
+\input{sections/magnetism/lorenz-amp.tex}