Triângulos
Os triângulos são polígonos com três vértices e três arestas. É o mais simples dos polígonos, mas guarda uma série de propriedades e características notáveis.
Um triângulo pode ser representado ou pelas coordenadas de seus vértices ou pela medida de seus três lados. A segunda representação pode ser deduzida a partir da primeira, mas no sentido oposto haveriam infinitas possibilidades.
// Definição da classe Ponto
class Triangle {
public:
Point A, B, C;
Triangle(const Point& P, const Point& Q, const Point& R) : A(P), B(Q), C(R) {}
}A representação através dos vértices pode levar a um caso especial: se os três pontos estiverem alinhados, o triângulo se degenera em um segmento de reta.
// Definição da classe Ponto
class Triangle {
public:
double a, b, c;
Triangle(double av, double bv, double cv) : a(av), b(bv), c(cv) {}
}Já na representação pelas medidas dos três lados, o número de casos especiais aumenta: além do caso degenerado (quanto a soma de dois lados coincide com o terceiro), há o perigo das medidas não formarem um triângulo de fato: a Desigualdade Triangular garante que, dadas as medidas a, b, c dos lados do triângulo, a soma de duas destas medidas é sempre maior do que a medida restante.
Os triângulos podem ser classificados pela medida de seus lados ou de seus ângulos internos.
Sejam a, b, c as medidas dos três lados de um triângulo. O triângulo é dito equilátero se a = b = c; isósceles se dois lados são iguais; ou escaleno se todos os três valores forem distintos.
class Triangle {
public:
// Membros e construtor
typedef enum { EQUILATERAL, ISOSCELES, SCALENE } Sides;
Sides classification_by_sides() const
{
if (a == b and b == c)
return EQUILATERAL;
if (a == b or a == c or b == c)
return ISOSCELES;
return SCALENE;
}
}Sejam BC, AC, AB os ângulos opostos aos lados a, b, c de um triângulo. O triângulo é dito retângulo se um dos três ângulo é igual a 90º; obtusângulo se um dos três ângulo é maior que 90º; ou acutângulo se todos os três ângulos forem menores que 90º (lembrando que AB + AC + BC = 180º).
É possível determinar os ângulos internos de um triângulo através da Lei dos Cossenos, enunciada abaixo.
class Triangle {
public:
// Membros e construtor
typedef enum { RIGHT, ACUTE, OBTUSE } Angles;
Angles classification_by_angles() const
{
auto AB = acos((c*c - a*a - b*b)/(-2*a*b));
auto AC = acos((b*b - a*a - c*c)/(-2*a*c));
auto BC = acos((a*a - b*b - c*c)/(-2*b*c));
auto right = PI / 2.0;
if (equals(AB, right) || equals(AC, right) || equals(BC, right))
return RIGHT;
if (AB > right || AC > right || BC > right)
return OBTUSE;
return ACUTE;
}
}Se for necessário verificar apenas se o triângulo é retângulo ou não, basta utilizar o Teorema de Pitágoras: o quadrado da hipotenusa (maior lado) é igual a soma dos quadrados dos outros lados (catetos). O Teorema de Pitágoras pode ser deduzido da Lei dos Cossenos fazendo c igual a hipotenusa e AB = 90º.
O perímetro de um triângulo é igual a soma das medidas dos seus lados.
class Triangle {
public:
// Membros e construtor
double perimeter() const
{
return a + b + c;
}
}A área delimitada pelo triângulo pode ser determinada de três maneiras. A primeira delas é computar a metade do produto entre a base (o comprimento de um dos lados do triângulo) e a altura (segmento de reta, perpendicular à base, com um ponto sobre a base e o outro no vértice oposto a esta). Contudo, na representação por pontos ou pelas medidas, esta abordagem é pouco prática, pois envolve o cálculo da altura.
A segunda maneira é utilizar a Fórmula de Heron, dada abaixo, onde A é a área do triângulo de lados a, b, c e s é o semiperímetro (metade do perímetro). Esta abordagem é a mais apropriada na representação do triângulo pela medida de seus lados.
class Triangle {
public:
// Membros e construtor
// Perímetro
double area() const
{
auto s = perimeter() / 2.0;
return sqrt(s*(s - a)*(s - b)*(s - c));
}
}Observe que, caso exista a possibilidade de overflow no produto dos quatro termos que estão dentro da raiz, deve-se tirar a raiz de cada fator antes de fazer o produto.
Existem variantes da fórmula de Heron que permitem o cálculo da área do triângulo em termos de outras medidas, como as medianas, as alturas ou os ângulos internos. Se ma, mb, mc são as medidas das medianas, então
Se ha, hb, hc são medidas as alturas, então
Por fim, sendo usando a notação de lados e ângulos já estabelecida, é possível computar a área, conhecidos os três ângulos e apenas um dos três lados:
A terceira maneira é computar a área a partir das coordenadas dos vértices. Se os vértices de um triângulo são P = (x1, y1), Q = (x2, y2), R = (x3, y3), a área A do triângulo é dada pela metade do módulo do determinante mostrado abaixo.
Naturalmente, esta é a melhor abordagem para a representação do triângulo pelas coordenadas de seus vértices.
class Triangle {
public:
// Membros e construtor
double area() const
{
double det = (A.x*B.y + A.y*C.x + B.x*C.y) - (C.x*B.y + C.y*A.x + B.x*A.y);
return 0.5 * fabs(det);
}
}Um triângulo possui quatro lugares geométricos notáveis. O primeiro deles é o baricentro (centroide ou centro de massa), que é o ponto de interseção entre as três medianas (segmentos de reta que unem um vértice ao ponto médio do lado oposto). O baricentro divide uma mediana na proporção de 2:1, isto é, ele está a um terço de distância do lado oposto.
As coordenadas do baricentro podem ser computadas diretamente a partir das coordenadas dos vértices: serão a média aritmética entre as mesmas.
// Definição da classe Ponto
class Triangle {
public:
// Membros e construtor
Point barycenter() const
{
auto x = (A.x + B.x + C.x) / 3.0;
auto y = (A.y + B.y + C.y) / 3.0;
return Point(x, y);
}
};O ortocentro de um triângulo é o ponto de encontro de suas três alturas. O ortocentro pode mesmo estar fora do triângulo (no caso de um obtusângulo). No caso de um triângulo retângulo, o ortocentro sempre coincide com o vértice oposto à hipotenusa.
O incentro de um triângulo é o ponto de encontro de suas bissetrizes (retas que dividem um ângulo interno na metade). Além de ser sempre um ponto interior do triângulo, o incentro é o centro do círculo inscrito no triângulo, isto é, o maior círculo que cabe dentro do triângulo e que toca todos os seus três lados (os lados são tangentes ao círculo inscrito).
O raio do círculo inscrito é dado pela razão entre o dobro da área e o perímetro. As coordenadas do centro O do círculo inscrito são obtidas pela média ponderada das coordenadas x e y pelos comprimentos dos lados opostos. As fórmulas abaixo sintetizam estas afirmações.
// Definição da classe Ponto
class Triangle {
public:
// Membros e construtor
// Área e perímetro
// Raio do círculo inscrito
double inradius() const
{
return (2 * area()) / perimeter();
}
// Centro do círculo inscrito
Point incenter() const
{
auto p = perimeter();
auto x = (a*A.x + b*B.x + c*C.x)/p;
auto y = (a*A.y + b*B.y + c*C.y)/p;
return Point(x, y);
}
O circuncentro é o ponto de encontro entre as retas bisectoras perpendiculares (isto é, retas perpendiculares aos lados do triângulo que os interceptam nos pontos médios). O circuncentro é o centro do círculo circunscrito do triângulo, isto é, o círculo que passa pelos três vértices do triângulo.
O circuncentro, assim como o ortocentro, pode estar localizado do lado externo do triângulo. Um caso especial interessante é o do triângulo retângulo, onde o circuncentro se localiza no ponto médio da hipotenusa.
O raio do circuncentro é dado pela razão entre o produto das medidas de seus lados e o quádruplo de sua área. As coordenadas do circuncentro podem ser determinadas pelas expressões abaixo, onde |A|² = Ax² + Ay².
// Definição da classe Ponto
class Triangle {
public:
// Membros e construtor
// Área e perímetro
// Raio do círculo circunscrito
double circumradius() const
{
return (a * b * c)/(4 * area());
}
// Centro do círculo circunscrito
Point circumcenter() const
{
auto D = 2*(A.x*(B.y - C.y) + B.x*(C.y - A.y) + C.x*(A.y - B.y));
auto A2 = A.x*A.x + A.y*A.y;
auto B2 = B.x*B.x + B.y*B.y;
auto C2 = C.x*C.x + C.y*C.y;
auto x = (A2*(B.y - C.y) + B2*(C.y - A.y) + C2*(A.y - B.y))/D;
auto y = (A2*(C.x - B.x) + B2*(A.x - C.x) + C2*(B.x - A.x))/D;
return Point(x, y);
}A reta de Euler é uma reta especial associada ao triângulo, que passa pelo baricentro, ortocentro e circuncentro, que estão sempre alinhados.
A Lei dos Senos estipula uma relação entre os ângulos internos de um triângulo e seus lados opostos. Se A, B, C são os ângulos internos opostos aos lados a, b, c, e R é o raio do círculo circunscrito, então a razão entre o lado e o seno do ângulo oposto é igual a 2 vezes o raio R.
// Definição da classe Ponto
class Triangle {
public:
// Membros e construtor
// Raio do círculo circunscrito
double opposite_angle(double side) const
{
auto R = circumradius();
return asin(side/(2*R));
}
};- UVA
HALIM, Steve; HALIM, Felix. Competitive Programming 3, Lulu, 2013.
Math Open Reference. Orthocenter of a Triangle. Acesso em 27/07/2016.
Math Open Reference. Incenter of a Triangle. Acesso em 22/08/2016.
Wikipedia. Circumscribed Circle. Acesso em 27/07/2016.
Wikipedia. Heron's formula. Acesso em 22/09/2016.